математика методичкаdoc1. Контрольная работа 3 Минск бнту 2010 Министерство образования Республики Беларусь белорусский национальный технический

• Название: Контрольная работа 3 Минск бнту 2010 Министерство образования Республики Беларусь белорусский национальный технический
• Анкор: математика методичкаdoc1.doc
• Дата: 13.09.2018
• Размер: 2.71 Mb.
• Имя файла: математика методичкаdoc1.doc
• Тип: Контрольная работа; #24532
• страница: 3 из 4

Решение. Область V есть пирамида, ограниченная снизу плоскостью z=0, сверху плоскостью x+y+z=1 и с боков плоскостями x=0, y=0 (рис.2.7). Проекцией пирамиды на плоскость Oxy является треугольник, ограниченный прямыми x=0, y=0, x+y=1.

Для переменной z нижним пределом будет z=0 (плоскость Oxy), а верхним - значение z, полученное из уравнения плоскости x+y+z=1, то есть z=1xy. Поэтому получим:



Из свойств интеграла по фигуре следует, что объем V пространственной области Vравен
. (2.6)

Пример5.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , , .

Решение.Тело Vограничено снизу и сверху параболоидами вращения , , с боков - цилиндрической поверхностью , и плоскостью (рис.2.8). Проекция этого тела на плоскость Oxy есть область, ограниченная линиями , , (0x1).

Имеем


2.3. Замена переменных в кратном интеграле
а) Заменапеременныхвдвойноминтеграле. Если в двойном интеграле осуществляется замена переменных с помощью функций

x=x(u,v), y=y(u,v), (2.7)

которые отображают взаимно-однозначно область G плоскости Ouv на область D плоскости Oxy, то
, (2.8)
где – якобиан. (2.9)

При этом предполагается, что функции (2.7) имеют непрерывные частные производные по аргументам u, v и якобиан (2.9) отличен от нуля. В частности, при переходе к полярным координатам , , где x=cos, y=sin, якобиан |J(,)|= и формула (2.8) имеет вид:
. (2.10)

Если область D ограничена лучами, образующими с полярной осью углы ₁, ₂, и кривыми =₁() и =₂(), где _1<₂, _1<₂ (рис. 2.9), то
.

Если область D ограничена линией =() и начало координат лежит внутри области (рис. 2.10), то
.

Если область интегрирования не удовлетворяет указанным условиям, то для вычисления двойного интеграла надо предварительно разбить область на части, обладающие отмеченными выше свойствами.

Пример 1. Вычислить , если область D ограничена кривыми y=0, x²+y²=2ax, y=x, x²+y²=2bx (a<b).

Решение.Область D изображена на рис. 2.11. Уравнения прямых y=0 и y=x в полярной системе координат имеют вид =0 и =/4. Уравнения окружностей соответственно =2acos и =2bcos. Итак, область D заключена между лучами =0 и =/4 и кривыми =2acos и =2bcos. Тогда



Пример2.Вычислить площадь плоской области D, ограниченной окружностью x²+y²=2x и прямыми y=0 и .

Решение. Площадь плоской области D в полярной системе координат вычисляется по следующей формуле:
.
Уравнение окружности в полярной системе координат запишется в виде =2cos(0/3). Тогда:


б) Замена переменных в тройном интеграле.

Если
x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w), (2.11)

то


где – якобиан. (2.12)
При этом предполагается, что функции (2.11) имеют непрерывные частные производные по своим аргументам и якобиан J(u,v,w) отличен от нуля.

Формула преобразования тройного интеграла от декартовых координат x,y,z к цилиндрическим координатам , , z (рис.2.13), связанных с декартовыми соотношениями:

, имеет вид:
. (2.13)

Пример 3. Вычислить массу тела, если его плотность в каждой точке вычисляется по формуле и тело V ограничено параболоидом и плоскостью z=4
(рис. 2.14).

Рис. 2.14
Решение. Данная пространственная область V проектируется в область D плоскости Oxy, ограниченной окружностью . Вычислим тройной интеграл в цилиндрических координатах. Уравнение параболоида будет . Координаты , , z изменяются так: 02, 02, ²z4; плотность . Тогда масса M равна:

Формула преобразования тройного интеграла от декартовых координат x, y, z к сферическимr, ,  (рис.2.15), связанным с декартовыми соотношениями
(2.14)

имеет вид:


Пример 4. Вычислить тройной интеграл , где V ограничена сферой и конусом и является внутренней по отношению к конусу (рис.2.16).


Решение. Перейдем в данном интеграле к сферическим координатам. Уравнение сферы запишется в виде r=2, а уравнение конуса =/4. В области  координаты r, ,  изменяются следующим образом: 0r2, 02, 0/4. Тогда


2.4. Криволинейные интегралы I и II рода
а)Криволинейныйинтегралподлинедуги ( криволинейныйинтегралIрода). Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой Г.

Разобьем дугу АВ произвольным образом на n элементарных дуг точками А=А_о, А₁, А₂, ..., А_n=В; пусть - длина дуги А_k-1А_k. На каждой элементарной дуге выберем произвольную точку M_k(_k; _k) и умножим значение функции f(_k; _k) в этой точке на длину соответствующей дуги.

Интегральнойсуммой для функции f(x,y) по длине дуги АВ называется сумма вида .

КриволинейныминтеграломподлинедугиАВ от функции f(x,y) (или криволинейныминтеграломIрода) называется предел интегральной суммы при условии, что max 0:
(ds - дифференциал дуги).

Криволинейный интеграл I рода в случае, когда кривая задана уравнением y=(x) (a  x  b),вычисляется по формуле .

Если f(x,y)>0, то криволинейный интеграл I рода представляет собой массукривойГ, имеющей переменную линейную плотность =f(x,y) (физическое истолкование).

Если f(x,y)0, то криволинейный интеграл I рода численно равен площадичастицилиндрическойповерхности, у которой направляющая Г лежит в плоскости xOy, а образующие перпендикулярны ей; эта цилиндрическая поверхность ограничена сверху поверхностью z=f(x,y), а снизу плоскостью xOy(геометрическое истолкование).

б)Криволинейныйинтегралпокоординатам (криволинейныйинтегралIIрода). Пусть в декартовой системе координат Oxyz задана линия Г, в точках которой определена векторная функция с координатами P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z).

Разобьем кривую Г на n частей Г_i точками M_i, . На каждой части разбиения Г_i выберем по одной точке K_i(x_i,y_i,z_i).

Составим так называемую интегральнуюсумму

где , слагаемыми которой являются скалярные произведения; вектор соединяет начало и конец части разбиения Г_i.

КриволинейныминтеграломIIрода от вектор-функции по кривой Г называется предел интегральной суммы _n при условии, что диаметр разбиения 0 (если этот предел конечен, не зависит от способа разбиения и от выбора точек K_i). Обозначение криволинейного интеграла II рода:



Физическийсмысл: криволинейный интеграл выражает работу силы при перемещении точки ее приложения вдоль кривой Г.

Если направление обхода кривой Г изменить на противоположное, то указанный интеграл изменит свой знак.

2.5. Поверхностные интегралы I и II рода
а)ПоверхностныйинтегралIрода. Пусть F(x,y,z) - непрерывная функция и z=f(x,y) - гладкая поверхность S, где f(x,y) задана в некоторой области D плоскости xOy. Поверхностным интегралом I рода называется предел интегральной суммы при условии, что max d_k0:
,
где - площадь k-го элемента поверхности S, точка принадлежит этому элементу, d_k - диаметр этого элемента, F(x,y,z) определена в каждой точке поверхности S.

Значение этого интеграла не зависит от выбора стороны поверхности S, по которой производится интегрирование.

Если проекция D поверхности S на плоскость xOy однозначна, то соответствующий поверхностный интеграл I рода вычисляется по формуле
.

б)ПоверхностныйинтегралIIрода. Пусть в декартовой системе координат Oxyz задана двусторонняяя поверхность S. Выберем определенную сторону поверхности S, задав определенное направление единичного вектора нормали , точка (x,y,z)S. И пусть в точках поверхности S определена вектор-функция с координатами P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z). Сделав разбиение Sна n частей T_i с площадямит S_i, составим интегральную сумму вида
,
где (x_i,y_i,z_i)T_i; означает скалярное произведение векторов и .

ПоверхностныминтеграломIIрода от вектор-функции по выбранной стороне поверхности S называется предел интегральной суммы _n при 0 ( - диаметр разбиения), если этот предел существует; конечен, не зависит от способа разбиения и от выбора точек (x_i,y_i,z_i). Обозначение:

Физическийсмысл. Указанный интеграл выражает массу жидкости единичной плотности, протекающей через поверхность S в направлении вектора нормали со скоростью за единицу времени, то есть так называемый поток вектор-функции (или векторного поля) через S в направлении .
2.6. Вычисление криволинейных интегралов
I и II рода
Пусть функция f(x,y,z) определена и непрерывна в точках дуги АВ кусочно-гладкой пространственной кривой. Если уравнение дуги АВ задано параметрическими уравнениями
x=x(t), y=y(t), z=z(t), (t₀tt₁) ,
то
(2.15)
В случае плоской кривой АВ
. (2.16)
Механический смысл криволинейного интеграла I рода: если f(x,y,z)>0, то представляет собой массу кривой, имеющей переменную линейную плотность ()=f(x,y,z).

Пример 1. Вычислить массу отрезка прямой, заключенного между точками А(0;-2), В(4;0), если .

Решение. Найдем уравнение прямой АВ: y=0,5x-2; тогда .

Отсюда .

Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны в точках дуги АВ кусочно-гладкой пространственной кривой. Если уравнение дуги АВ задано параметрически x=x(t), y=y(t), z=z(t), (t₀tt₁), то
(2.17)
В случае плоской кривой АВ
(2.18)

Пример 2. Найти работу силы вдоль части кривой (линия пересечения поверхностей и ) от точки до точки .

Решение. . – параметрическое задание пути . По формуле (2.17)





Пример 3. Вычислить работу силы вдоль части кривой . Движение от точки A к точке B – по ходу часовой стрелки.

Решение. – параметрическое задание части кривой ( в роли параметра t). По формуле (2.18)

.
2.7. Вычисление поверхностных интегралов I и II рода.
Связь между ними
а)ПоверхностныйинтегралIрода (ПОВИ-1). Если поверхность Т задана уравнением z=z(x,y), (x,y)DOxy, причем z(x,y) имеет непрерывные частные производные, а проекция D поверхности Т на плоскость Oxy имеет кусочно-гладкую границу, и если в точках поверхности Т задана непрерывная функция f(x,y,z), то интеграл от f(x,y,z) по площади поверхности Т (I рода) существует и вычисляется по формуле:

(2.19)
(Справа в этой формуле стоит двойной интеграл).

Аналогичные формулы можно получить, проектируя поверхность T на другие координатные плоскости.

б)ПоверхностныйинтегралIIрода (ПОВИ-2). Если поверхность Т задана так же, как в предыдущем пункте а), то поверхностный интеграл II рода существует и сводится к двойному интегралу по проекции D поверхности Т на плоскость Oxy следующим образом:
. (2.20)
Знак “+” в формуле (2.20) берется, если нормаль к выбранной стороне поверхности Т образует острый угол с осью Oz; знак “-” - в случае тупого угла.

Формулы, аналогичные (2.20), имеют место и для поверхностных интегралов II рода таких, как: . При этом нужно спроектировать поверхность Т на плоскости Oyz и Ozx соответственно.

в)СвязьмеждуПОВИ-1 иПОВИ-2). Имеет место формула
(2.21)
связывающая поверхностные интегралы II рода (слева) и I рода (справа). Здесь , ,  есть углы, образованные с осями Ox, Oy, Ozнормалью к выбранной стороне поверхности Т в точке (x,y,z).

Пример1.Вычислить массу плоской пластины Т: , расположенной в I октанте (рис. 2.17) и имеющей поверхностную плотность .

Решение. Уравнение поверхности Т:
(x,y)D есть проекция Т на плоскость Oxy. По формуле (2.19):




где S_D – площадь фигуры D. А так как D – это OAB, то – . Итак, (кг).

Пример 2. Вычислить поток П векторного поля ( - единичный направляющий вектор оси Oz) через верхнюю сторону нижней половины сферы Т: .

Решение.Уравнение нижней полусферы:

. Нормаль к выбранной стороне образует острый угол с Oz, поэтому по формуле (2.20) имеем:
.

Здесь D – проекция Т на плоскость Oxyесть круг . Пе-

рейдем в последнем двойном интеграле к полярным координатам x=rcos, y=rsin, 02, 0rR. В итоге: