Математика. Контрольная работа 3 семестр по дисциплине математика
 Скачать 36.27 Kb.
|
|
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Тульский государственный университет» КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 3 семестр ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» 4 вариант Тула 2022 1. Определить тип и решить дифференциальное уравнение:  Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.  Разделяем переменные:  Интегрируем обе части:    Общий интеграл дифференциального уравнения:  2. Определить тип и решить дифференциальное уравнение:     Это однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Пусть    Получили уравнение с разделяющимися переменными:      Общее решение дифференциального уравнения:  3. Определить тип и решить дифференциальное уравнение:  Это уравнение в полных дифференциалах  .У нас:   Общий интеграл ДУ:  Функцию  определяем из:   Отсюда:  Общий интеграл ДУ:  4. Найти решение задачи Коши:  Задано линейное однородное дифференциальное уравнение 3-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение:   Характеристическое уравнение имеет один простой действительный корень  и два комплексно-сопряжённых корня  Им соответствуют три линейно независимых решения:   Общее решение заданного однородного уравнения – линейная комбинация этих решений:  Тогда:   Из начальных условий:    Из  .Искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (решение задачи Коши):  5. Найти общее решение уравнения:  Задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Найдём сначала общее решение однородного ДУ:  Характеристическое уравнение:  его корни  - комплексно-сопряжённые вида  , общее решение в этом случае:  Значит (у нас  ):  Общее решение исходного неоднородного уравнения – сумма общего решения однородного и частного решения исходного. Найдём частное решение исходного методом неопределённых коэффициентов. По виду правой части исходного ДУ  ищем его в виде (учитываем, что  – не корень характеристического уравнения):     Подставляя в исходное ДУ, получим:   Отсюда:  Получаем частное решение:  Общее решение исходного дифференциального уравнения:  6. Исследовать на сходимость ряд  Это ряд с положительными членами, общий член ряда  Применим признак сходимости Даламбера. Рассмотрим предел  :  Так как этот предел существует и меньше единицы, то признаку Даламбера ряд сходится. 7. Исследовать на сходимость ряд  Это ряд с положительными членами. Общий член ряда  .Докажем расходимость заданного ряда с помощью интегрального признака Коши:  - неотрицательная невозрастающая функция при x>1 ; интеграл   - расходится, значит расходится и ряд .8. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд  Докажем абсолютную сходимость заданного знакочередующегося ряда. Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:  Для этого ряда с положительными членами применим признак сходимости Даламбера. Рассмотрим предел :  Так как этот предел существует и меньше единицы, то признаку Даламбера ряд сходится. Таким образом, заданный знакочередующийся ряд сходится абсолютно. 9. Найти область сходимости ряда  Радиус сходимости ряда:  Интервал сходимости:  При  получаем знакопеременный ряд  . Он сходится по признаку Лейбница: члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю: При  получаем ряд с положительными членами:  . Докажем расходимость этого ряда с помощью интегрального признака Коши:  - неотрицательная невозрастающая функция при x>1 ; интеграл  - расходится, значит расходится и ряд . Таким образом, область сходимости ряда:  10. Разложить по степеням  функцию Разложение функции в ряд Маклорена:  У нас  Разложим сначала функцию  .      И так далее… Получаем разложение  в ряд Маклорена: Берём  вместо : Поделив обе части на , получаем искомое разложение заданной функции: 11. Брошены две монеты, причем на первой выпала решка. Найти вероятность того, что на монетах выпало две решки. Обозначим события:    Вероятности событий  : Событие  – произведение событий  . Поскольку события независимые, то по теореме умножения вероятностей: В задаче фактически требуется определить условную вероятность события при условии выполнения события  . По теореме умножения вероятностей: Поскольку событие входит в событие , то   12. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий хотя бы одно нестандартное. Обозначим:  – вероятность события “проверяемое изделие стандартно”, по условию  . Поскольку события “проверяемое изделие стандартно” независимы при трёх испытаниях (трёх проверках), то вероятность того, что событие произойдёт все три раза при трёх испытаниях по теореме умножения вероятностей равна  .Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий хотя бы одно нестандартное, как вероятность противоположного события (по отношению к событию “все три изделия стандартны”), равна:  13. В партии из 12 деталей находятся 5 бракованных. Вынимают из партии наудачу 4 детали. Определить, какова вероятность того, что все окажутся бракованными. 4 детали из 12 можно выбрать  способами – число сочетаний из 12 элементов по 4: Это есть число всех элементарных исходов в результате опыта – выбор 4 деталей из 12:  . Подсчитаем число благоприятных исходов  для появления события “все выбранные 4 детали окажутся бракованными”. Это число равно  – числу сочетаний из 5 элементов (число всех бракованных деталей) по 4: Поделив это число на общее число элементарных исходов, получим искомую вероятность того, что все выбранные детали окажутся бракованными:  14. В спартакиаде участвуют: из первой группы 11 студентов, из второй – 14. Студент первой группы попадает в сборную университета с вероятностью 0,9, для студента второй группы эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что выбранный наудачу студент попадет в сборную университета. Обозначим события: A = {выбранный студент попадёт в сборную университета}  = {выбран студент первой группы} = {выбран студент второй группы}По условию задачи вероятности гипотез  равны (учитываем, что всего в спартакиаде участвуют 11+14 = 25 студентов):  Условные вероятности события A (при условии выполнения ) по условию задачи:  Вероятность того, что выбранный наудачу студент попадет в сборную университета, вычисляется по формуле полной вероятности:   15. Дано следующее распределение дискретной случайной величины Х:
Известно, что математическое ожидание  . Найти .Сначала находим значение , исходя из того, что в сумме все вероятности дают единицу: Математическое ожидание дискретной случайной величины X вычисляется по формуле:   По условию,  Отсюда:  |