Шпоры по дисциплине Высшая математика. 1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический смысл определенного интеграла
![]()
|
1.Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический смысл определенного интеграла. Если существует конечный предел ![]() ![]() ![]() от выбора разбиения и б)выбора точек ξi на частичных промежутках, то это предел и называется определенным интегралом от функции f про промежутку [a;b] и обозначается ![]() ![]() Геометрический смысл. ![]() ![]() Интеграл по промежутку от неотрицательной на этом промежутке функции дает площадь соответствующей криволинейной трапеции, что по существу является определением площади криволинейной трапеции. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции вытекает из общего необходимого и достаточного условия единственности разделяющего числа. Напомним, что если числовое множество У расположено справа от числового множества , то для единственности Х числа, разделяющего Х и У , необходимо и достаточно выполнение условия ![]() 2.Основные свойства определенного интеграла. В дальнейшем будем считать рассматриваемые функции интегрируемыми на соответствующих промежутках. 1.Интеграл от единичной функции выражает длину отрезка [a;b]: ![]() ![]() ![]() 2. Линейность: ![]() 3.Аддитивность: ![]() 4.Монотонность: если f(x) ![]() ![]() ![]() ![]() 5. Теорема о среднем: если функция непрерывна на [a;b], то на отрезке существует точка С такая, что ![]() Геометрический смысл теоремы о среднем: если f(x)-нечётная функция, то ![]() если f(x)-чётная функция, то ![]() ![]() 3 Теорема о среднем Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка e, a < e < b, в которой производная функция f(x) равная нулю, f¢(e) = 0. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки. Ср знач ф-ии на отрезке Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка e a < e < b, такая, что ![]() Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке. Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа. Отношение ![]() 4. Интегралы с переменным верхним пределом. Пусть функция f(х) интегрируема на отрезке [a,b]. Для каждого x∈[a, b ] рассмотрим интеграл ![]() ![]() Пример: ![]() 5.Формула Ньютона-Лейбница. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Где ![]() ![]() ![]() Пример: ![]() 6.Замена переменной в определенном интеграле. ![]() для определённого: ![]() Функция y = f(x) называется четной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство f(-x) = f(x). Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство f(-x) = - f(x). Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах. Пусть f(x) непрерывна на отрезке[-a;a], т.е. на отрезке симметричном относительно начала координат. Тогда интеграл ![]() Доказательство: разобьем отрезок [-а;а] точкой 0, тогда по свойству аддитивности имеем ![]() 7. Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат. Примеры. 1)В полярных координатах ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2) S= ![]() ![]() ![]() Пример: Найти площадь фигуры D, ограниченной одной из сторон аркой циклоиды ![]() ![]() ![]() 8.Длина дуги кривой. Примеры. Под длиной s дуги кривой понимают предел вписанных в эту дугу длин ломаных, когда наибольшая из длин звеньев ломаных стремится к нулю. 1)Если рассматриваемая кривая L задана параметрически, то есть L: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример: Есть L: ![]() ![]() Решение: ![]() 2)Если кривая L задана явно как график функции y=y(x), ![]() ![]() ![]() Откуда: |L|=2 ![]() 3)Аналогично можно рассмотреть выражение для нахождения дуги в полярных координатах, если в качестве t принять полярный угол ϕ. Тут r=r(ϕ) , ![]() ![]() 9. Вычисление объемов тел вращения. Примеры. Предположим, что тело G получено вращением фигуры, ограниченной линиями: y =f (x) ≥0, y =0, х =a, x=b, вокруг оси Ox. Тогда S(х) =πy2(x) – площадь круга и объем VG=Vxвыражается формулой ![]() Аналогично ![]() Пример. Найти объем тела, образованного вращением дуги параболы ![]() прямой x =1 ![]() Решение: ![]() 10. Вычисление работы ![]() ![]() ![]() 11. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку. Примеры Понятие определенного интеграла было введено для конечного промежутка или отрезка, и непрерывной функции. Понятие определенного интеграла распространяется и на случай, когда промежуток бесконечен, или функция неограниченна в некоторой точке интервала. Такие интегралы называются несобственными. Несобственный интеграл 1 рода или по бесконечному промежутку. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на промежутке [а;+∞), и интегрируема на любом конечном отрезке [а;b], то есть интеграл ![]() ![]() ![]() ![]() Пример:1) ![]() ![]() Пусть функция f(x) определена и непрерывна в (a;+∞) таким образом, что существует первообразная F(x) и на основании формулы Ньютона-Лейбница имеем ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 1. Признак сравнения.(непредельный) Пусть функции f(x) и g(x) опеределены и непрерывны на отрезке [а;+∞) и связаны соотношением: f(x)≥g(x),тогда из сходимости интегралa ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 2. Признак сравнения. (предельный)Пусть функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на промежутке (а;+∞) ,и существует ![]() ![]() 12. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Пример. Несобственные интегралы 2 рода или от неограниченных функций. Пусть f(x) определена на отрезке [a;b),и в точке имеет разрыв второго рода, причем на любом промежутке [a;c] содержащем отрезок [a;b). Тогда несобственный интеграл 2 рода называется ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 3. Признак сравнения. Пусть f(x) и g(x) определены и непрерывны на промежутке [a b) и в точке b имеют разрыв 2 рода f(x)≥g(x). Из сходимости интеграла ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 4. Признак сравнения. Если f(x) и g(x) определены и непрерывны на промежутке (a;b),и в точке b имеют разрыв 2 рода, то существует предел отношения ![]() Геометрически НИ 1 рода представляет собой площадь криволинейной трапеции, а НИ 2 рода представляет собой бесконечно высокую криволинейную трапецию. |