Шпоры по дисциплине Высшая математика. 1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический смысл определенного интеграла

• Название: 1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический смысл определенного интеграла
• Анкор: Шпоры по дисциплине Высшая математика
• Дата: 02.08.2021
• Размер: 1 Mb.
• Имя файла: shpory_na_matna_2_sem.docx
• Тип: Документы; #225983
• страница: 3 из 5

23.Двойной интеграл. Основные понятия и определения

Рассмотрим в плоскости квадрируемую– измеримую(т. е. имеющую площадь) фигуру(область) , на которой определена некоторая функция . Осуществим далее n-разбиение области D на n пересекающихся, разве лишь, по линиям квадрируемых частичных областей так, чтобы:

1)

2) площадь равна нулю и составим сумму где – площадь ; – произвольная точка, принадлежащая .

Сумму вида будем называть интегральной суммой для функции f и фигуры D. (диаметр)– наибольшее расстояние между точками области ,наибольший из частичных диаметров– диаметр разбиения ( ):

Если существует конечный предел интегральных cумм при диаметре разбиения, стремящемся к нулю, независимо от способа разбиения области D на части и от выбора точек в частичных областях, то этот предел называется двойным интегралом от функции f по области D и обозначается .

Таким образом,

Функция в этом случае называется интегрируемой в области D.

Как и в случае определенного интеграла имеют место следующие условия интегрируемости:

необходимое: если функция интегрируема, то она ограничена, и

достаточное: если функция непрерывна, то она интегрируема.

23. Двойной интеграл и его геометрический и физический смыслы.

Геометрический смысл двойного интеграла:

Объем V цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z=f(x;y)≥0, снизу- замкнутой областью D в плоскости Oxy и с боков- цилиндрической поверхностью с направляющей- границей области D и образующей, параллельной оси Oz, выражается интегралом .

Физический смысл двойного интеграла:

Масса m_D материальной пластины D с поверхностной плотностью в точке M(x,y) рассчитывается по формуле:



23.Основные свойства двойного интеграла:( считаем рассматриваемые функции интегрируемыми)

1. 
   Интеграл от единичной функции выражает площадь области интегрирования: - площадь фигуры D
   
2. 
   Линейность: C=const
   

3. 
   Аддитивность:
   

4. 
   Монотонность: если в области D имеет место неравенство для любых (x,y) . В частности,для непрерывной на D функции f имеет место оценка:
   
5. 
   Теорема о среднем. Если функция f непрерывна в области D, то в области D найдётся точка такая,что – среднее значение функции f в области D
   

24. Тройной интеграл. Основные понятия. . , ; произвольная точка, принадлежащая G_i.

Символом d_i обозначим диаметр G_i- найбольшее расстояние между точками области G_i, наибольший из частичных диаметров – диаметром разбиения – символом λ_n:λ_n= .

Если теперь существует конечный предел интегральных сумм n σ при диаметре разбиения, стремящемся к нулю, независимо от способа разбиения области G на части и от выбора точек i M в частичных областях, то этот предел называется тройным интегралом от функции f по области G и обозначается .

Как и в случае определенного интеграла имеют место следующие условия интегрируемости: необходимое: если функция интегрируема, то она ограничена, и достаточное: если функция непрерывна, то она интегрируема.

Тройной интеграл в декартовых координатах и его свойства.

Объем: 1) 2) декартовые координаты

25. Криволинейные интегралы первого рода, их свойства и вычисление.

Предположим, что на плоскости Oxy задана гладкая кривая L. Тогда дл любой ее дуги определено понятие l_L*-длины дуги L^*. Произвольным образом осуществляем n-разбиение кривой L на n частей. Пусть далее на кривой L задана некоторая скалярная функция

F(x,y), (x,y) На каждой из полученных дуг L_i длиной произвольно выберем точку и составим интегральную сумму: . d_n- наибольшая из длин частичных дуг L_i. Если при n→+∞, d_n→0 существует конечный предел интегральных сумм и это т предел не зависит от способа разбиения кривой на части и от выбора точек, то такой предел –криволинейный предел первого рода. Свойства:

1. 
   Линейность:
   

2. 
   Аддитивность: если   в одной точке, то
   

3. 
   Монотонность: если   на  , то
   

Очевидно, что:  .

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла: 

.

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Вычисление:

Рассмотрим в пространстве гладкую параметризованную кривую L: ,

Тогда вычисление криволинейных интегралов сводится к нахождению определенных интегралов:

В случае КРИ-1 на плоскости, когда кривая задается с помощью непрерывно дифф.функции y=y(x) и xє[a;b]





26.Криволинейные интегралы 2 рода, их свойства и вычисления. Связь между КРИ-1 и КРИ-2

Если при n→+∞, d_n→0 существует конечный предел интегральных сумм и это т предел не зависит от способа разбиения кривой на части и от выбора точек, то такой предел –криволинейный предел первого рода. Свойства:

Вычисление:

Рассмотрим в пространстве гладкую параметризованную кривую L: ,

Тогда вычисление криволинейных интегралов сводится к нахождению определенных интегралов:

25. Приложения КРИ 1-го рода (длина кривой, площадь цилиндрической поверхности, масса кривой, статические моменты).

1. Вычисление длины l_i дуги L кривой: . 2. Вычисление массы материальной кривой L с линейной плотностью ρ(x,y,z), (x,y,z) L: 3. Для простоты ограничимся рассмотрением кривой L в плоскости Oxy. Вычисление статических моментов M_x, M_y материальной кривой L относительно координатных осей Ox и Oy соответственно:

,

координат центра тяжести (центра масс) кривой L: , ,

а также моментов инерции кривой L относительно осей Ox и Oy и начала координат соответственно: , , , где ρ(x,y) – линейная плотность распределения центра тяжести однородного дуги циклоиды:



площадь цилиндрической поверхности:

26. Приложения КРИ 2-го рода (площадь плоской фигуры, работа переменной силы).
1. Вычисление работы силового поля при перемещении материальной точки вдоль кривой L от точки А до точки В.

2. Вычисление площади плоской фигуры на основе теоремы Грина. Предположим, что в плоскости Oxy имеется односвязная область D (это значит, что в ней нет «дыр»), ограниченная кривой L.

Формула Грина. Если функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными 1го порядка в односвязной области D, то имеет место формула где L – граница области D и интегрирование ведется в полож-м направл. Из ф- лы Грина вытекает, что площадь области D может быть рассчитана при помощи криволин-го интеграла 2го рода:
27. Условия независимости КРИ-2 от пути интегрирования. Потенциал.

  Условия независимости криволинейного интеграла (второго рода) от формы пути интегрирования

Пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) непрерывны в некоторой области D пространства XYZ. Будем рассматривать в этой области только кусочно-гладкие кривые.

Возьмем в области D две произвольные точки А и В. Их можно соединять различными кривыми, лежащими в области D. По каждой из этих кривых интеграл   имеет, вообще говоря, свое значение.

Теорема. Для того, чтобы криволинейный интеграл  , где P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) – функции, непрерывные в области D, в этой области не зависел от формы пути, необходимо и достаточно, чтобы выражение    было полным дифференциалом некоторой функции (в области D).

Теорема. Если функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) в области D   имеют непрерывные частные производные первого порядка, то, для того чтобы выражение   в этой области было полным дифференциалом некоторой функции, необходимым и достаточным является выполнение условий:

  

в каждой точке области D.

27. Формула Грина и её физический смысл



Нахождение циркуляции плоского векторного поля, в физике – для решения двумерных потоковых интегралов.

Пример: Вычислить циркуляцию плоского векторного поля вдоль замкнутого контура L:y=0, ,x=1. Обход такой, что область слева. Решение: Р= Q=xy^2, то частная производная по Р=1,по Q=y^2.

28.

2 9.

30. Основные понятия теории поля. Потенциальные векторные поля. Циркуляция.

Векторное поле F называется потенциальным (безвихревым) в области D, если криволинейный интеграл

(циркуляция векторного поля) равен нулю по любой замкнутой кусочно-

гладкой кривой L, расположенной в области D (здесь – единичный

вектор касательной к кривой L).

Необходимым и достаточным условием потенциальности векторного поля в поверхностно-односвязной области D является равенство нулю его ротора во всех точках этой области:

rotF =0

Циркуляция векторного поля

Пусть векторное поле задано вектором F = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k,

(x, y, z)∈G, причем функции P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны в области G.

Пусть L – гладкая или кусочно-гладкая замкнутая ориентированная кривая, т. е. на ней выбрано определенное направление.

Циркуляцией векторного поля F(М) вдоль замкнутой ориентированной кривой L называется криволинейный интеграл второго рода:

=

31.Ротор и дивергенция векторного поля, их физический смысл и вычисление:

Дивергенция div (M) векторного поля в точке М называется предел отношения потока поля через замкнутую поверхность окружающую точку М,к объёму тела,ограниченного этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку М:

В случае, когда компоненты P=P(M), Q=Q(M), R=R(M) векторного поля непрерывны по совокупности переменных вместе со своими частными производными, дивергенция векторного поля в точке М определяется соотношением:





div - дивергенция есть скалярное произведение оператора Гамильтона на вектор

Дивергенция характеризует мощность источника в случае div , или стока в случае div находящегося в точке М.

Ротором (вихрем) векторного поля , (x,y,z) G, где функции P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z) и их производные первого порядка по координатам непрерывны в области G, называется вектором определяемый равенством:



Формальный определитель можно раскрывать только по первой строке