Шпоры по дисциплине Высшая математика. 1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический смысл определенного интеграла
![]()
|
46. Схема Бернулли. Предельные теоремы: Пуассона,локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа: Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых возможно только два исхода: А-успех и ![]() В схеме Бернулли вероятность ![]() ![]() ![]() Если в схеме Бернулли вероятность р появления события А в каждом из n независимых крайне мала, а число испытаний n достаточно велико, то вероятность вычисляется приближённо по формуле Пуассона: ![]() ![]() Если в схеме Бернулли вероятность р появления события А в каждом из n независимых испытаний существенно отличается от 0 и 1 (близко ½), а число испытаний n достаточно велико, то для вычисления вероятности применяют приближённую локальную формулу Муавра-Лапласа: ![]() ![]() Если в схеме Бернулли вероятность р существенно отличается от 0 и 1, n достаточно велико, то вероятность ![]() ![]() ![]() ![]() 47. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Определение случайной величины. Под случайной величиной будем понимать величину, которая в результате случайного эксперимента одно и только одно возможное значение, которое заранее неизвестно и зависит от случайных причин. Более строго под случайной величиной понимают действительно значную функцию ξ, определенную на множестве Ω элементарных событий и такую, что для любой системы В открытых интервалов, В ![]() ![]() Таким образом для любой случайной величины определена функция : ![]() Основные свойства функции распределения случайной величины: ![]() F(x)- неубывающая, непрерывная слева функция, то есть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 48.49. Дискретные случайные величины и способы их задания. Биноминальное, геометрическое и распределение Пуассона. Случайная величина называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счётно ( т.е. если все ее значения можно занумеровать). Закон распределения ДСВ ![]()
Отметим, что ![]() Отсюда получаем функцию распределения ДСВ: ![]() График функции распределения ДСВ имеет ступенчатый вид, причем функция распределения терпит разрывы в точках ![]() ![]() Математическое ожидание дискретной СВ ![]() ![]() (предполагается,что ряд в правой части этого равенства абсолютно сходится) характеризует среднее значение СВ ![]() 1)СВ ![]() ![]() Биномиальный закон распределения имеет место в том случае, когда СВ ![]() ![]() ![]() 2) Дискретная СВ ![]() ![]() ![]() ![]() 3) Геометри́ческое распределе́ние — распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха». Пусть — бесконечная последовательность независимых случайных величин сраспределением Бернулли, то есть ![]() Построим случайную величину ![]() ![]() Функция вероятности случайной величины имеет вид: ![]() 50. Непрерывные случайные величины и способы их задания. Равномерное, показательное распределение. Случайная величина называется непрерывной (НСВ), если её функция распределения F(x)=P(ξ Функция p(x) называется плотностью распределения вероятностей НСВ ξ с функцией распределения F(x), если ![]() Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность вероятности имеет вид: ![]() ![]() 51. НСВ ξимеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если её плотность распределения постоянна на этом отрезке, а вне его равна нулю: ![]() Распределение НСВ ξ называется показательным с параметром λ>0, если её плотность распределения имеет следующий вид: ![]() ![]() ![]() ![]() Функция показательного распределения ![]() 52. Распределение НСВ ξ называется показательным с параметром λ>0, если её плотность распределения имеет следующий вид: ![]() ![]() ![]() ![]() Функция показательного распределения ![]() 53. Нормальный закон распределения (распределения Гаусса)Трех сигм Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность вероятности имеет вид: ![]() ![]() Вероятность отклонения случайной величины от математического ожидания на величину δ равна; ![]() ![]() Правило «трех сигм» для нормального распределения. Если СВ ξ распределена нормально с параметрами a и σ, то попадание ее в интервал (a-3σ, a+3σ) является практически достоверным событием, и, стало быть, вероятность противоположного со- бытия ничтожно мала и на практике таким событием пренебрегают. 54. .Свойства плотности распределения случайной величины. Функция ![]() ![]() ![]() ![]() Основные свойства плотности распределения НСВ: 1. ![]() ![]() 2. ![]() Геометрически это означает, что график плотности распределения лежит не ниже оси Ox и площадь под графиком плотности равна единице. 3. Вероятности попадания непрерывной случайной величины ξ в интервал, отрезок или полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы и равны: ![]() Геометрически вероятность ![]() ![]() ![]() 1) математическое ожидание M ξ характеризует среднее значение(центр рассеивания) СВ M ξ= ![]() 2) дисперсия Dξ = M(ξ2 )–( Mξ)2, которая характеризует величину (меру) рассеивания значений СВ около ее математического ожидания; 3) среднее квадратическое отклонение =D ξ которое (в отличие от дисперсии) имеет размерность СВ ξ Mξk– начальные моменты k-го порядка; M(ξ − Mξ)k– центральные моменты k-го порядка. 55. Графическое изображение статистических рядов Эмпирическая функция распределения. Гистограммой относительных частот для интервального ряда группированной выборки называют ступенчатую фигуру, составленную из прямоугольников, построенных на интервалах группировки так, что площадь каждого прямоугольника равна соответствующей данному интервалу относительной частоте. Площадь гистограммы относительных частот равна 1. При достаточно большом объеме выборки и достаточно малых интервалах группировки гистограмма относительных частот является статистической оценкой вида плотности распределения pξ(x). Полигоном частот группированной выборки называется ломаная с вершинами в точках ![]() ![]() Эмпирической функцией распределения случайной величины ξ называется функция F*(x), определяющая для каждого значения x относительную частоту наблюдения значений, меньших x (ξ Эмпирическая функция распределения является случайной: для разных выборок она получается разной. Выборочным средним ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 56. Интервальные оценки параметров распределения. Интервальные оценки параметров распределения Доверительной вероятностью, или надежностью, оценки называется вероятность γ, с которой выполняется неравенство ![]() ![]() Доверительным интервалом для параметра θ ГС называется интервал ( ![]() (надежностью) γ. В практике важную роль играет длина доверительного интервала, причем чем меньше его длина, тем точнее оценка. Если длина доверительного интервала достаточно вели- ка, то оценка малопригодна для практики. Выбор доверительной вероятности определяется конкретными условиями. Обычно используются значения 0,90; 0,95; 0,99; 0,9973. Значение α = 1 – γ называется уровнем значимости. То́чечная оценка в математической статистике — это число, вычисляемое на основе наблюдений, предположительно близкое к оцениваемому параметру. Пусть х1,х2,хn выборка из генеральной совокупности, соответствующей случайной величине x с неизвестным математическим ожиданием Mx =q и известной дисперсией ![]() ![]() произв сложн ф-и, Производная обратной функции равна =произведен произодн этой ф-и по промеж аргуенту на производн промеж аргум по осн аргументу. о ![]() ![]() ![]() |