Шпоры по дисциплине Высшая математика. 1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический смысл определенного интеграла
![]()
|
12. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Уравнение относительно неизвестной функции и ее производных принято называть дифференциальным. Порядок старшей производной, существенно входящей в данное ДУ, называется порядком этого ДУ. Если в определении ДУ искомая функция – функция одной переменной, то такое ДУ называется обыкновенным; если же функция нескольких переменных, и, стало быть, производные рассматриваются частные, то тогда говорят о ДУ с частными производными. Решением ( на множестве Х) ДУ n-го порядка называется произвольная n раз дифференцируемая функция y=y(x), x ![]() График решения ДУ наз. интегральной кривой этого ДУ. Начальная задача Коши. Рассмотрим ДУ n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, и мн-во X×D, где XcR, dcRn, на котором определена правая часть уравнения. Далее предположим, что в области X×D задана произвольная точка (x0, y00, y01, …, y0n-1) ![]() ![]() Ф-ция y=ϕ(x, C1, C2, …, Cn), x ![]() 2) в области X×D эта функция решает любую задачу Коши, иначе говоря, для любой точки (x0, y00, y01,…, y0(n-1) в области X×D система: ![]() Решение, получающееся из общего при фиксированных значениях произвольных постоянных, принято называть частным. Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым. 13. Дифференциальные уравнения первого порядка. Геометрическая интерпретация. Теорема существования. ![]() Общий вид ДУ первого порядка, разрешенного относительно производной: ![]() Начальная задача Коши: найти решение ДУ ![]() ![]() Вид общего решения: ![]() Геометрический смысл: Из геометрического смысла производной и ДУ получаем y'=f(x,y)=tgα-тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику интегральной кривой y=y(x) в точке (x,y) для любой точки(x,y),в которой правая часть ДУ определена. Теорема существования и единственности решения. Предположим, что правая часть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 14.15.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и однородные. ![]() ![]() переменные с y – в другой) и последующим интегрированием: ![]() В результате получим либо y = ϕ(х,С) – общее решение, либо общий интеграл. Однородные ДУ: ![]() y′= xu′+ u. Приходим к ДУ с разделяющимися переменными u = u(x, c) ⇒y = xu(x, c) – общее решение (в некоторой области). 16.Линейные дифференциальные уравнения и способы их решения. ДУ вида ![]() ЛДУ интегрируется заменой y=uv y’=u’v+uv’ где u=u(x) новая неизвестная ф-я, v=v(x)вспомогательная ф-я Выполняя подстановку a(x)(u’v+uv’)+b(x)(uv)+c(x)=0 и вынося u за скобки получаем a(x)u’v+u(a(x)v’+c(x)=0. Выбирая вспомог. ф-ю так, чтобы выражение в скобках обратилось в ноль, приходим к системе ДУ с разделяющимися переменными: ![]() Уравнение Бернули. ДУ следующего вида a(x)y’+b(x)y+c(x)yn=0. ![]() 17.Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка. ![]() ![]() ![]() ![]() Существует два принципиально различных случая понижения порядка ДУ второго порядка: 1) ДУ второго порядка, в котором отсутствует неизвестная функция ![]() ![]() Получаем F(x,p, ![]() p= ![]() ![]() ![]() у= ![]() 2) ДУ второго порядка, в котором отсутствует независимая переменная ![]() ![]() Получаем F(y,p, ![]() p= ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 18. Дифференциальные уравнения второго порядка. Общие понятия. Примеры. Дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде F( ![]() ![]() ![]() ![]() Существует два принципиально различных случая понижения порядка ДУ второго порядка- это, когда 1)отсутствует неизвестная функция у и 2)отсутствует независимая переменная х. Примеры: 1) ![]() 2) ![]() 3) ![]() ![]() 19.Линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Рассмотрим однородное ЛДУ L (у)=0 с постоянными коэффициентами, т. е. а1(х) ≡а1 , ..., an(x) ≡ an – действительные числа. Следуя идее Эйлера, ищем решение этого ЛДУ в виде , y=e xλ ,где λ – некоторое (в общем случае комплексное) число. Тогда y(k) = e x λ λ k .Подставляя выражения для искомой функции и ее производных в ЛДУ L(у )= 0, получаем: e x λ (λ n +a1 λ n-1+…+an-1 λ+an)=0, отсюда, сокращая на , ех λ ,приходим к характеристическому уравнению λn + a1 λ n-1+…+an-1 λ+an=0 для нахождения искомых чисел λ. Рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение имеет n различных действительных корней λ 1,…, λп. В этом случае решения y1 = e x λ1,…,уп = e x λп образуют фундаментальную систему решений однородного ЛДУ, так как их вронскиан отличен от нуля, и поэтому общее решение однородного ЛДУ L (у)= 0 в случае различных корней характеристического уравнения имеет вид у= уо.о (x) = C1 e x λ1 + Cne λnx. 20. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим однородное ЛДУ L (у)=0 с постоянными коэффициентами, т. е. а1(х) ≡а1 , ..., an(x) ≡ an – действительные числа. Следуя идее Эйлера, ищем решение этого ЛДУ в виде , y=e xλ ,где λ – некоторое (в общем случае комплексное) число. Тогда y(k) = e x λ λ k .Подставляя выражения для искомой функции и ее производных в ЛДУ L(у )= 0, получаем: e x λ (λ n +a1 λ n-1+…+an-1 λ+an)=0, отсюда, сокращая на , ех λ ,приходим к характеристическому уравнению λn + a1 λ n-1+…+an-1 λ+an=0 для нахождения искомых чисел λ. 21. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных в теории дифференциальных уравнений. Рассмотрим его на примере ЛДУ второго порядка: y′′+ p(x) y′+ q(x) y = f (x). при условии, что известна фундаментальная система решений одно- родного ЛДУ ( y = y1(х), y = y2 (х)). Тогда частное решение неоднородного ЛДУ ищется в виде y = yн (x) = C1(x) y1(x) + C2 (x) y2 (x), ![]() ( ) + C2 (х) y2′′(х) + p(x) y2′ (х) + q(x) y2 (х) + C1′(х) y1′(х) + C2′ (х) y′2 (х) ≡ ≡ f (х). Для нахождения С1(х) и С2(х) получаем систему ![]() y = yо.о (x) + yн (x) неоднородного ЛДУ имеет вид y = C y1(х) +C2 y2 (х) + y1(x) ∫ a(x)dx + y2 (x) ∫b(x)dx. 22. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Уравнение вида ![]() Общее решение уравнения (1) есть сумма общего реш ![]() ![]() ![]() 1. Если λ1 и λ2 действительные и разные, т. е. λ1 ≠ λ2 , то ![]() 2. Если λ1 и λ2 действительные и одинаковые, т. е. λ1 = λ2= λ , то ![]() 3. Если λ1 и λ2 комплексно-сопряженные числа, т. е. λ = α ± βi, где ![]() ![]() Метод отыскания частного решения y (x) * уравнение (1) рассмотрим для двух специальных видов f (x). Пусть ![]() ![]() Тогда, если число a совпадает с k корнями (k =1, 2) хар-го ур, то частное решение y* ур-я следует искать в виде ![]() ![]() ![]() Подставляя y* в уравнение (1) и сокращая обе части уравнения на ![]() Замечание 1. Если f (x) = ![]() Замечание 2. Если f(x)= ![]() ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() Тогда если комплексное число a ± ib совпадает с корнями хар-го ур-я, то частное решение y* следует искать в виде ![]() Если же комплексное число a ± ib не совпадает с корнями хар-го ур-я, то частное решение y* следует искать в виде ![]() При этом неопределенные коэффициенты M и N отыскиваются путем подстановки y* в уравнение с последующим приравн-eм коэффициентов при cosbx и sin bx и решением получившейся системы. Замечание 3. В частном случае, когда ![]() ![]() ![]() Замечание 4. Если ![]() ![]() ![]() ![]() |