Шпоры по дисциплине Высшая математика. 1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический смысл определенного интеграла

• Название: 1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический смысл определенного интеграла
• Анкор: Шпоры по дисциплине Высшая математика
• Дата: 02.08.2021
• Размер: 1 Mb.
• Имя файла: shpory_na_matna_2_sem.docx
• Тип: Документы; #225983
• страница: 2 из 5

12. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия. Уравнение относительно неизвестной функции и ее производных принято называть дифференциальным. Порядок старшей производной, существенно входящей в данное ДУ, называется порядком этого ДУ.

Если в определении ДУ искомая функция – функция одной переменной, то такое ДУ называется обыкновенным; если же функция нескольких переменных, и, стало быть, производные рассматриваются частные, то тогда говорят о ДУ с частными производными.

Решением ( на множестве Х) ДУ n-го порядка называется произвольная n раз дифференцируемая функция y=y(x), x X, удовлетворяющая этому ДУ, т.е. при подстановке которой ДУ превращается в верное тождество ( на мн-ве Х).

График решения ДУ наз. интегральной кривой этого ДУ.

Начальная задача Коши. Рассмотрим ДУ n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, и мн-во X×D, где XcR, dcRⁿ, на котором определена правая часть уравнения. Далее предположим, что в области X×D задана произвольная точка (x₀, y₀⁰, y₀¹, …, y₀^n-1) X×D. В области X×D рассматривается задача: среди решений ДУ найти такое, которое удовлетворяет следующим начальным условиям Коши:



Ф-ция y=ϕ(x, C₁, C₂, …, C_n), x X, зависящая от независимой переменной х и n произвольных постоянных C₁, …, C_n, называется общим решением ДУ, если она удовлетворяет слуддующим двум условиям: 1) при фиксированных значениях произвольных постоянных эта функция является решением (на множестве Х) этого ДУ;

2) в области X×D эта функция решает любую задачу Коши, иначе говоря, для любой точки (x₀, y₀⁰, y₀¹,…, y₀^(n-1) в области X×D система:

Решение, получающееся из общего при фиксированных значениях произвольных постоянных, принято называть частным.

Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым.

13. Дифференциальные уравнения первого порядка. Геометрическая интерпретация. Теорема существования.

.

Общий вид ДУ первого порядка, разрешенного относительно производной: .

Начальная задача Коши: найти решение ДУ , удовлетв. начальному условию: .

Вид общего решения: .

Геометрический смысл: Из геометрического смысла производной и ДУ получаем y'=f(x,y)=tgα-тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику интегральной кривой y=y(x) в точке (x,y) для любой точки(x,y),в которой правая часть ДУ определена.

Теорема существования и единственности решения.

Предположим, что правая часть ДУ непрерывна в некоторой области на плоскости по совокупности переменных, вместе с частной производной . Тогда в некоторой окрестности каждой точки решение задачи Коши и существует, и это решение единственно, т. е. в окрестности любой точки существует одна и только одна интегральная кривая ДУ , проходящая через эту точку.

14.15.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и однородные.

. ДУ с разделяющимися переменными интегрируем путем разделения переменных: (переменные с x в одной части, а

переменные с y – в другой) и последующим интегрированием:

В результате получим либо y = ϕ(х,С) – общее

решение, либо общий интеграл.
Однородные ДУ: . Решаем подстановкой y = u x,

y′= xu′+ u. Приходим к ДУ с разделяющимися переменными u = u(x, c) ⇒y = xu(x, c) –

общее решение (в некоторой области).
16.Линейные дифференциальные уравнения и способы их решения.

ДУ вида где а(х)≠0

ЛДУ интегрируется заменой y=uv y’=u’v+uv’ где u=u(x) новая неизвестная ф-я, v=v(x)вспомогательная ф-я

Выполняя подстановку a(x)(u’v+uv’)+b(x)(uv)+c(x)=0 и вынося u за скобки получаем a(x)u’v+u(a(x)v’+c(x)=0. Выбирая вспомог. ф-ю так, чтобы выражение в скобках обратилось в ноль, приходим к системе ДУ с разделяющимися переменными:

Уравнение Бернули. ДУ следующего вида a(x)y’+b(x)y+c(x)yⁿ=0.

Из 1 уравнения системы находим вспомогательную ф-ю v, после подстановки которой во второе уравнение вновь получаем ДУ с разделяющимися переменными.

17.Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка.

– общий вид ДУ второго порядка

- общий вид ДУ второго порядка, разрешённого относительно старшей производной

- начальные условия Коши

– вид общего решения

Существует два принципиально различных случая понижения порядка ДУ второго порядка:
1) ДУ второго порядка, в котором отсутствует неизвестная функция




Получаем F(x,p,

p= , dy= , y=

у=

2) ДУ второго порядка, в котором отсутствует независимая переменная





Получаем F(y,p,

p= , = , x=



18. Дифференциальные уравнения второго порядка. Общие понятия. Примеры.

Дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде F( )=0 –общий вид.

-общий вид дифференциального уравнения второго порядка, разрешенного относительно старшей степени.

- начальные условия Коши

–вид общего решения.

Существует два принципиально различных случая понижения порядка ДУ второго порядка- это, когда 1)отсутствует неизвестная функция у и 2)отсутствует независимая переменная х.

Примеры: 1)

2) (нет х)

3) (тут )


19.Линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Рассмотрим однородное ЛДУ L (у)=0 с постоянными коэффициентами, т. е. а₁(х) ≡а₁ , ..., an(x) ≡ an – действительные числа. Следуя идее Эйлера, ищем решение этого ЛДУ в виде , y=e ^xλ ,где λ – некоторое (в общем случае комплексное) число. Тогда y^(k) = e ^{x λ} λ ^k .Подставляя выражения для искомой функции и ее производных в ЛДУ L(у )= 0, получаем: e ^{x λ} (λ ⁿ +a₁ λ ^n-1+…+a_n-1 λ+a_n)=0, отсюда, сокращая на , е^{х λ} ,приходим к характеристическому уравнению λⁿ + a₁ λ ^n-1+…+a_n-1 λ+a_n=0 для нахождения искомых чисел λ. Рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение имеет n различных действительных корней λ ₁,…, λ_п. В этом случае решения y₁ = e ^{x λ1},…,у_п = e ^{x λп} образуют фундаментальную систему решений однородного ЛДУ, так как их вронскиан отличен от нуля, и поэтому общее решение однородного ЛДУ L (у)= 0 в случае различных корней характеристического уравнения имеет вид у= у_о.о (x) = C₁ e ^{x λ1} + C_ne ^λnx.
20. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим однородное ЛДУ L (у)=0 с постоянными коэффициентами, т. е. а₁(х) ≡а₁ , ..., an(x) ≡ an – действительные числа. Следуя идее Эйлера, ищем решение этого ЛДУ в виде , y=e ^xλ ,где λ – некоторое (в общем случае комплексное) число. Тогда y^(k) = e ^{x λ} λ ^k .Подставляя выражения для искомой функции и ее производных в ЛДУ L(у )= 0, получаем: e ^{x λ} (λ ⁿ +a₁ λ ^n-1+…+a_n-1 λ+a_n)=0, отсюда, сокращая на , е^{х λ} ,приходим к характеристическому уравнению λⁿ + a₁ λ ^n-1+…+a_n-1 λ+a_n=0 для нахождения искомых чисел λ.

21. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных в теории дифференциальных уравнений.

Рассмотрим его на примере ЛДУ второго порядка: y′′+ p(x) y′+ q(x) y = f (x). при условии, что известна фундаментальная система решений одно-

родного ЛДУ ( y = y1(х), y = y2 (х)). Тогда частное решение неоднородного ЛДУ ищется в виде y = yн (x) = C1(x) y1(x) + C2 (x) y2 (x), Подставляемy′′ + p(x) y′ + q(x) y = C1(х) y1′′(х) + p(x) y1′(х) + q(x) y1(х) +

( ) + C2 (х) y2′′(х) + p(x) y2′ (х) + q(x) y2 (х) + C1′(х) y1′(х) + C2′ (х) y′2 (х) ≡

≡ f (х). Для нахождения С1(х) и С2(х) получаем систему определяем C1′(х) = a(x) и C2′(х) = b(x)и интегрируем. yн (x) = y1(x) ∫ a(x)dx + y2 (x) ∫b(x)dx и общее решение

y = yо.о (x) + yн (x) неоднородного ЛДУ имеет вид

y = C y1(х) +C2 y2 (х) + y1(x) ∫ a(x)dx + y2 (x) ∫b(x)dx.

22. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Уравнение вида (1), где p и q – постоянные: f (x) – определенная на некотором интервале функция, называется линейным неоднор-м дифура-м 2-го порядка с пост-ми коэфф-ми. Если f (x) ≡ 0 , то уравнение называется линейным однор. дифуром.

Общее решение уравнения (1) есть сумма общего реш соотв-го однор-го ур-я и частного решения y* исходного неоднородного уравнения, т. е. . Однор ур-е y′′ + yp ′ + qy = 0 явл частным случаем неоднор-го и для его решения составл-ся хар-е уравнение . Решаем хар-е уравнение. Вид общего решения y(x)определяется корнями хар-го ур-я λ1 и λ2 .

1. Если λ1 и λ2 действительные и разные, т. е. λ1 ≠ λ2 , то

2. Если λ1 и λ2 действительные и одинаковые, т. е. λ1 = λ2= λ , то

3. Если λ1 и λ2 комплексно-сопряженные числа, т. е. λ = α ± βi, где , . Здесь C1 и C2 произв пост-е.

Метод отыскания частного решения y (x) * уравнение (1) рассмотрим для двух специальных видов f (x).

1. 
   Пусть – многочлен степени n, т. е. пусть уравнение имеет вид
   

Тогда, если число a совпадает с k корнями (k =1, 2) хар-го ур, то частное решение y* ур-я следует искать в виде , где– полный многочлен той же степени что и .

Подставляя y* в уравнение (1) и сокращая обе части уравнения на , получаем тождество, из которого, приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях, получаем систему для определения значений коэффициентов. Этот метод нахождения y* называется методом неопределенных коэффициентов.

Замечание 1. Если f (x) = , то следует проверять, совпадает ли число a = 0 с корнями характеристического уравнения.

Замечание 2. Если f(x)= , и в этом случае , где A = const .

2. 
   Пусть , т. е. пусть ур-е имеет вид .
   

Тогда если комплексное число a ± ib совпадает с корнями хар-го ур-я, то частное решение y* следует искать в виде ).

Если же комплексное число a ± ib не совпадает с корнями хар-го ур-я, то частное решение y* следует искать в виде .

При этом неопределенные коэффициенты M и N отыскиваются путем подстановки y* в уравнение с последующим приравн-eм коэффициентов при cosbx и sin bx и решением получившейся системы.

Замечание 3. В частном случае, когда и корни характеристического уравнения λ 2,1 = ±ib, то частное ре- шение y* уравнения следует искать в виде , если же λ 2,1 ≠ ±ib, то .

Замечание 4. Если или , y* все равно следует искать в общем виде, т. е. и с , и с .