диф уравнениф. 3.1.(9) Дифференциальные уравнения. ДУ 2 порядка. 123 Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения 2 порядка
 Скачать 396.77 Kb.
|
|
123 9. Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения 2 порядка Соотношение , , , , , 0 n F x y y y y , связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию y и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если это уравнение можно разрешить относительно старшей производной 1 , , , , , n n y f x y y y y , то такое уравнение называется уравнением в нормальной форме. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение. Например, уравнение вида , , 0 F x y y или в нормальной форме , y f x y по определению есть дифференциальное уравнение первого порядка. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке вместе с производной в исходное уравнение обращает его в тождество. Общим решением уравнения , , 0 F x y y называется функция , y x C , удовлетворяющая двум условиям: 1. Обращает исходное уравнение в тождество. 2. Для любых значений 0 0 , x y существует единственное значение произвольной постоянной 0 C C , такое, что 0 0 0 , x C y . Под общим решением также понимается решение в неявной форме вида , , 0 x y C , которое иначе еще называют общим интегралом. Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция 0 φ , y x C , полученная из общего решения φ , y x C при конкретном значении постоянной интегрирования 0 C C Чтобы решение дифференциального уравнения приобрело конкретный смысл, его нужно подчинить некоторым дополнительным условиям. Условие, что при 0 x x функция y должна быть равна заданному числу 0 y y , называется начальным условием и записывается как 0 0 y x y . Задача отыскания решения дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной и удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши 124 0 0 , , y f x y y x y Если функции , f x y и , y f x y непрерывны по обеим переменным в окрестности точки 0 0 0 , M x y , то задача Коши имеет единственное решение. Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются дифференциальными уравнениями высших порядков. Например, дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае записывается в виде , , , 0 F x y y y или в нормальной форме , , y f x y y Решением дифференциального уравнения второго порядка называется всякая функция y x , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция 1 2 , , y x C C , где 1 2 , C C – произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям: 1. Функция 1 2 , , y x C C является решением дифференциального уравнения для каждого фиксированного значения констант 1 2 , C C 2. Каковы бы ни были начальные условия 0 0 0 0 , y x y y x y , существуют единственные значения произвольных постоянных 0 0 1 1 2 2 , C C C C , такие, что функция 0 0 1 2 , , y x C C является решением дифференциального уравнения второго порядка и удовлетворяет данным начальным условиям. Как и в случае уравнения первого порядка, задача отыскания решения дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши и имеет вид: 0 0 0 0 , , , , y f x y y y x y y x y 1.1. Типы уравнений, допускающие понижение порядка 1. Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно старшей производной имеет вид y f x и решается методом последовательного интегрирования. 125 2. Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее явно искомую функцию y f x , имеет вид 0 F x,y ,y и решается методом замены y p , где p p x ., тогда y p 3. Дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащее явно независимую переменную x , имеет вид 0 F y, y ,y и решается методом замены y p , где p p y . Тогда y p y p p Задача 9.1. Найти частное решение уравнения x x e dx dy y e ) 1 ( при начальном условии 1 ) 0 ( y Решение Имеем: dx e dy y e x x ) 1 ( . Разделяя переменные и интегрируя обе части, найдём общий интеграл dx e e dy y x x 1 , C e y x ) 1 ln( 2 1 2 Полагая 1 , 0 y x в общем интеграле, получим C 2 ln 5 , 0 , откуда находим 2 ln 5 , 0 C . Подставляя C в общий интеграл, окончательно имеем: 2 ln 5 , 0 ) 1 ln( 5 , 0 2 x e y Задача 9.2. Решить уравнение y y x y x 2 2 Решение Запишем уравнение в виде x y x y y 2 1 . Так как уравнение однородное, то положим x y u или x u y . Тогда u x u y . Подставляя в уравнение выражения для y и y , получим: 2 1 u dx du x Разделяем переменные: x dx u du 2 1 Отсюда интегрированием находим: C x u ln arcsin Заменяя u на x y , получим общий интеграл C x x y ln arcsin 126 Преобразуя выражение, мы делили обе части уравнения на произведение 2 1 u x , и поэтому могли потерять решения, которые обращают в нуль его сомножители. Поэтому исследуем следствия из равенств 0 x и 0 1 2 u Но 0 x не является решением уравнения, а из второго равенстваполучаем, что 0 1 2 2 x y , откуда x y . Непосредственной подстановкой проверяем, что функции x y x y , являются решениями данного уравнения. Эти решения не получить из общего интеграла и, следовательно, они являются особыми решениями. Задача 9.3. Решить уравнение 2 2 2 x e x xy y Решение 1. Уравнение является линейным по y(x). Полагаем v u y и u v v u y . После подстановки уравнение примет вид: 2 2 ) 2 ( x e x v x v u v u 2. Решаем вспомогательное уравнение 0 2 v x v , обращающее второе слагаемое в нуль независимо от значения u, т. е. v x dx dv 2 , откуда dx x v dv 2 или 1 2 ln C x v . Так как на данном этапе нас интересует любое решение вспомогательного уравнения, для упрощения положим 0 1 C и получим 2 x e v 3. Вернемся на один шаг назад и подставим полученную функцию в преобразованное подстановкой исходное уравнение. Второе слагаемое в нем обращается в нуль и имеем 2 2 2 x x e x e u , отсюда найдём функцию u : dx x du 2 , проинтегрировав обе части, получим C x u 2 4. Составим решение исходного уравнения в соответствии со сделанной подстановкой: 2 ) ( 2 x e C x v u y Задача 9.4. Найти общее решение уравнения x x y cos sin Решение Интегрируя последовательно данное уравнение, имеем: 1 sin cos C x x y , 2 1 cos sin C x C x x y 127 Задача 9.5. Проинтегрировать уравнение x x e y y e ) 1 ( Решение Сделаем подстановку ) (x p y , ) (x p y . Тогда имеем: x x x x e e p dx dp pe p e 1 , ) 1 ( Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, находим ) 1 ( , ln ) 1 ln( ln 1 1 x x e C p C e p Возвращаясь к переменной y , получим дифференциальное уравнение первого порядка ) 1 ( 1 x e C y . Отсюда интегрированием находим общее решение исходного уравнения 2 1 1 C e C x C y x Задача 9.6. Решить уравнение 1 ) 0 ( , 1 ) 0 ( , 2 3 y y y y Решение Сделаем замену ) ( y p y , p p y . Имеем 3 2y p p . Разделяя переменные, получим уравнение dy y pdp 3 2 , откуда 1 4 2 C y p или 1 4 C y y Используя начальные условия, находим 1 C : 0 1 1 , ) 0 ( ) 0 ( 1 1 1 4 C C C y y (дополнительно замечаем, что начальному условию соответствует положительный вариант зависимости). Таким образом, 2 y dx dy . Разделяя переменные и интегрируя, получим: 2 2 2 1 , 1 , C x y C x y dx y dy Учитывая начальные условия, находим 2 C : 1 , 1 ) 0 ( 2 2 C C y В итоге, искомое частное решение имеет вид 1 1 x y 128 1.2. Линейные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Системы дифференциальных уравнений Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ) имеет вид 0 y py qy , где , const p q . Для его решения составляется характеристическое уравнение 2 0 k pk q и находятся его корни. В зависимости от вида корней общее решение такого уравнения строится в одной из трех форм: 1. Дискриминант характеристического уравнения 0 D , тогда его корни 2 1 2 2 4 , p p k q действительные и разные: 1 2 k k . В этом случае общее решение имеет вид: 1 2 1 2 k x k x y x C e C e , где 1 2 , const C C 2. Дискриминант характеристического уравнения 0 D , тогда его корни 1 2 2 p k k действительные и равные: k 1 =k 2 . В этом случае общее решение имеет вид: 1 1 2 k x y x e C C x , где 1 2 , const C C 3. Дискриминант характеристического уравнения 0 D , тогда его корни 1 2 , k i , 2 p , 2 4 p q – комплексные числа. В этом случае общее решение имеет вид 1 2 cos sin x y x e C x C x , где 1 2 , const C C В частности, при 1,2 0 k i и общее решение записывается так: 1 2 cos sin y x C x C x , где 1 2 , const C C Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид y py qy f x , где , const p q , f x – заданная функция. Его общее решение складывается из суммы общего решения y соответствующего ему линейного однородного уравнения и частного решения y данного линейного неоднородного уравнения: о.о ч.н y x y x y x y x y x Иногда по функциональному виду правой части ЛНДУ можно предположить функциональный вид частного решения ЛНДУ, что сводит задачу отыскания частного решения к подбору подходящих значений 129 нескольких числовых коэффициентов с помощью систем линейных алгебраических уравнений. Это называется «ЛНДУ со специальной правой частью». Основные случаи приводятся в таблице (Здесь k Q x и k M x – многочлены с неизвестными коэффициентами). f x Корни характеристического уравнения Вид * ч.н y y x n e P x 0 – не корень * n y Q x 0 – корень кратности r 1,2 r * r n y x Q x x n e P x – не корень * x n y e Q x – корень кратности r (r=1,2) * r x n y x e Q x cos sin A x B x i – не корень * cos sin y x C x D x i – корень кратности r 1,2 r * cos sin r y x x C x D x cos sin n m P x x R x x i – не корень * cos sin k k y x Q x x M x x max , k n m i – корень кратности r 1,2 r * y x cos sin r k k x Q x x M x x max , k n m cos sin x n m e P x x R x x i – не корень * y x cos sin x k k e Q x x M x x max , k n m i – корень кратности r 1,2 r * y x cos sin r x k k x e Q x x M x x max , k n m Суть метода вариации произвольной постоянной заключается в том, что общее решение ЛНДУ ищется в виде, когда вместо произвольных постоянных 1 2 , C C подставляются соответствующие им функции 1 C x , 2 C x . Если 1 y x и 2 y x – частные решения ЛОДУ, то общее решение ЛНДУ ищется в виде 130 о.н 1 1 2 2 y C x y x C x y x . Неизвестные функции 1 C x , 2 C x находятся из системы уравнений 1 1 2 2 1 1 2 2 0, ( ). C x y x C x y x C x y x C x y x f x Для ЛНДУ справедлив принцип суперпозиции решений. Пусть правая часть ЛНДУ равна сумме двух функций: 1 2 y py qy f x f x . Тогда частное решение ЛНДУ находится как сумма частных решений уравнений 1 2 ; y py qy f x y py qy f x , то есть 1 2 y x y x y x . Этот принцип сохраняется и для большего числа слагаемых функций. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами записывается следующим образом: ), ( ), ( 2 2 22 1 21 2 1 2 12 1 11 1 t f x a x a dt dx t f x a x a dt dx где ij a – заданные числа, а ) (t f i – заданные функции. Система решается путём сведения к одному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами. Задача 9.7. Найти общее решение уравнения 0 3 2 y y y Решение Составляем характеристическое уравнение 0 3 2 2 k k Находим его корни 3 , 1 2 1 k k . Так как они действительные и различные, то получим общее решение: x x e C e C y 3 2 1 Задача 9.8. Найти общее решение уравнения 0 4 4 y y y Решение Характеристическое уравнение имеет вид 0 4 4 2 k k , откуда 2 2 1 k k , следовательно, общее решение выглядит так: x x e x C e C y 2 2 2 1 Задача 9.9. Найти общее решение уравнения 0 13 4 y y y Решение Характеристическое уравнение имеет вид 0 13 4 2 k k . Находим корни этого уравнения: i k i k 3 2 , 3 2 2 1 . Тогда общее решение запишется в виде ) 3 sin 3 cos ( 2 1 2 x C x C e y x 131 Задача 9.10. Найти общее решение уравнения x x y y y sin 3 cos 2 Решение Найдём сначала общее решение однородного уравнения 0 2 y y y Характеристическое уравнение имеет вид: 0 2 2 k k , его корни вещественные числа 2 , 1 2 1 k k . Поэтому общее решение однородного уравнения будет x x e C e C y 2 2 1 Исходя из «специального» вида правой части исходного уравнения, частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде x B x A y sin cos Найдём производные: x B x A y cos sin ) ( , x B x A y sin cos ) ( Подставим их в исходное уравнение и приравняем коэффициенты при тригонометрических функциях в левой части равенства, так получим систему для определения неизвестных коэффициентов x x x B A B x A B A sin 3 cos sin ) 2 ( cos ) 2 ( , 3 2 1 2 B A B A B A 1 0 B A Следовательно, общее решение уравнения (8.8) имеет вид: x e C e C y y y x x sin 2 2 1 Задача 9.11. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 1 2 2 x e y y y x методом вариации произвольной постоянной. Решение Находим общее решение однородного уравнения 0 2 y y y Соответствующее характеристическое уравнение 0 1 2 2 k k имеет корни 1 2 1 k k . Следовательно, x x e x C e C y 2 1 Тогда, следуя методу вариации произвольной постоянной, частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: x x e x x C e x C y ) ( ) ( 2 1 , где функции ) ( ), ( 2 1 x C x C определим из системы уравнений: 1 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 2 2 1 2 1 x e e xe x C e x C xe x C e x C x x x x x x 132 Решая систему методом исключений, найдём 1 1 ) ( , 1 ) ( 2 2 2 1 x x C x x x C Отсюда интегрируя, находим 3 2 2 1 ) 1 ln( 5 , 0 1 ) ( C x dx x x x C , 4 2 2 1 ) ( C x arctg x dx x C Так как необходимо найти какое-либо частное решение, то можно положить 0 4 3 C C , тогда x x xe x arctg e x y ) ( ) 1 ln( 5 , 0 2 Итак, окончательно общее решение уравнения имеет вид: x x x x xe x arctg e x xe C e C y y y ) ( ) 1 ln( 5 , 0 2 2 1 Задача 9.12. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 1 , 1 1 2 2 1 x dt dx x dt dx Решение Из первого уравнения системы выразим 1 1 2 dt dx x . Дифференцируя обе части данного равенства по t , получим 2 1 2 2 dt x d dt dx . Подставляя это выражение во второе уравнение системы, получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. 1 1 2 1 2 x dt x d . Его общее решение 1 ) ( 2 1 1 t t e C e C t x Подставляя выражение ) ( 1 t x в выражение для 2 x , получим 1 ) ( 2 1 2 t t e C e C t x Таким образом, общее решение системы имеет вид: 1 ) ( 2 1 1 t t e C e C t x , 1 ) ( 2 1 2 t t e C e C t x |