Контрольная работа. Решение Разложение частного решения дифференциального уравнения при начальном условии имеет вид

• Название: Решение Разложение частного решения дифференциального уравнения при начальном условии имеет вид
• Дата: 13.10.2022
• Размер: 1.03 Mb.
• Имя файла: Контрольная работа.docx
• Тип: Решение; #731143

Контрольная работа (2-й семестр)
Задача 7. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .


Решение

Разложение частного решения   дифференциального уравнения при начальном условии   имеет вид:



В данном случае  , следовательно:





= 1













Следовательно, получили разложение

y(x)=1 + x+ x² + 0x³ ‒ x⁴ + 0x⁵ + x⁶ + … = 1 + x+ x² ‒ x⁴ + x⁶ ‒ x⁸ …

Ответ: три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения: 1, x, x²

Задача 8. Найти общее решение дифференциального уравнения.



Решение.

Дано дифференциальное уравнение:











Ответ: исходное дифференциальное уравнение


Задача 9. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ,

; , .

Решение.

Запишем данное дифференциальное уравнение в виде:













подставляем в

Ответ:



Задача 10.

Дана функция .

Показать, что .
Решение



=





Тогда, подставив найденные значения в , получим

= = 0

Ответ: данное тождество выполнено для заданной функции
Задача 11. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x, y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

z=x²+2xy +2y²; -1≤x≤1, 0≤y≤2.

Решение

1. Найдем частные производные.





2. Решим систему уравнений.

2×x+2×y = 0

2×x+4×y = 0

Получим:

а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:

x = ‒2×y

‒2×y = 0

Откуда y = 0

Данные значения y подставляем в выражение для x, получаем: x = 0

Количество критических точек равно 1: M₁(0;0)

3. Найдем частные производные второго порядка.







4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x₀;y₀).

Вычисляем значения для точки M₁(0;0)







AC - B² = 4 > 0 и A > 0 , то в точке M₁(0;0) имеется минимум z(0;0) = 0



Ответ: в точке M₁(0;0) имеется минимум z(0;0) = 0;

Задача 12.

Дана функция z=z(x, y), точка А(х₀, у₀) и вектор . Найти: 1) в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора .

.

Решение

Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:



Находим частные производные:





Тогда величина градиента равна:



Полный дифференциал функции: dU=(10·x+6·y)·dx + 6·x·dy

Найдем градиент в точке А(2;1)

или



Модуль grad(z) - наибольшая скорость возрастания функции:





Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:





Задача 13.

Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равно 0,9, второе – 0,95 и третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает:

а) только одно устройство;

б) только два устройства;

в) все три устройства.
Решение

а) только одно устройство (сработать может или 1-ое устройство, 2, 3 при этом не сработает, или 2-ое сработает, 1, 3 при этом не сработают, или 3-ие устройство сработает, а 1,2 не сработает):

Р₁(А)= 0,9 × (1 ‒ 0,95) × (1 ‒ 0,85) + (1 ‒ 0,9) × 0,95 × (1 ‒ 0,85) +

+ (1 ‒ 0,9) × (1 ‒ 0,95) × 0,85 = 0,00675 + 0,01425 + 0,00425 =0,02525
б) только два устройства (сработать могут или 1-ое и 2-ое устройство, 3 при этом не сработает, или 2-ое и 3-ие сработают, 1-ое при этом не сработают, или 1-ое и 3-ие устройство сработает, а 2 не сработает):

Р₂(А)= 0,9 × 0,95 × (1 ‒ 0,85) + (1 ‒ 0,9) × 0,95 × 0,85 +

+ 0,9 × (1 ‒ 0,95) × 0,85 = 0,12825 + 0,08075 + 0,03825 =0,24725
в) все три устройства

Р₃(А)= 0,9 × 0,95 × 0,85 = 0,72675
Ответ: Р₁(А)= 0,02525, Р₂(А)= 0,24725, Р₃(А)= 0,72675

Задача 14. Случайная величина Х задана функцией распределения (интегральной функцией) F(x). Найти плотность вероятности (дифференциальную функцию), математическое ожидание и дисперсию. Построить графики интегральной и дифференциальной функций.



Решение

Случайная величина Х задана функцией распределения F(x):



Найдем плотность распределения f(x), как производную от функции распределения F(x): f(x) = dF(x)/dx = ½

Плотность распределения f(x):


Математическое ожидание:

подставляя, получаем

Дисперсия:

подставляя, получаем



Среднеквадратическое отклонение:



Графики интегральной и дифференциальной функций:


Задача 15. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания a нормального распределения с надёжностью 0,96, зная выборочную среднюю . Объем выборки n и среднее квадратическое отклонение σ.

Решение

Стандартная ошибка выборки:



Доверительный интервал для генерального среднего:



Поскольку n>30, то определяем значение t_kp по таблицам функции Лапласа.

В этом случае 2Ф(t_kp) = γ Ф(t_kp) = γ/2 = 0,96/2 = 0,48

По таблице функции Лапласа найдем, при каком t_kp значение Ф(t_kp) = 0,48

t_kp(γ) = (0,48) = 2,06



(75,13 – 2,06; 75,13 + 2,06) = (73,07; 77,19)

Ответ: с вероятностью 0,96 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала (73,07; 77,19)