КР теория вероятности. 052Теория вероят.. Решение Вероятность, что сработает Вероятность, что не сработает 1 устройство
![]()
|
1. Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет ![]() ![]() ![]() а) все устройства; б) только одно устройство; в) хотя бы одно устройство.
Решение:
а) обозначим за А- сработают все устройства, тогда: Р(А)=р1·р2·р3=0,7·0,85·0,9=0,5355 б) обозначим за В- сработает только одно устройство, тогда: В1-сработает первое устройство Р(В1)= ![]() В2-сработает второе устройство Р(В2)= ![]() В3-сработает третье устройство Р(В3)= ![]() Р(В)=Р(В1)+Р(В2)+Р(В3)=0,015+0,0255+0,0405=0,0765 в) обозначим за С – сработает хотя бы одно устройство, тогда: противоположное ему событие ![]() Р( ![]() ![]() Р(С)=1- Р( ![]() Ответ: а) 0,5355 б) 0,0765 в) 0,9955 15. В ювелирный магазин изделия поступают от трех разных изготовителей в соотношении: m% всех поступающих изделий, составляют изделия первого изготовителя, n% – второго, остальные изделия третьего изготовителя. Вероятность того, что изделие, произведённое первым изготовителем, имеет скрытый дефект, равна ![]() ![]() ![]() а) Найти вероятность того, что наудачу выбранное изделие имеет скрытый дефект. б) Оказалось, что наудачу выбранное изделие имеет скрытый дефект. Какова вероятность того, что оно произведено вторым изготовителем?
Решение: обозначим: событие А –изделие имеет скрытый дефект; событие Н1 –изделие от 1 производителя; событие Н2 – изделие от 2 производителя; событие Н3 – изделие от 3 производителя. По условию задачи 30% всех изделий поступает от 1 производителя, следовательно Р(Н1) = 0,30, от 2 производителя – 45%, тогда Р(Н2) = 0,45 и от 3 производителя оставшиеся 25 % всех изделий, то есть Р(Н3) = 0,25. Очевидно, что P(H1) + P(H2) + P(H3) = 0,3 + 0,45 + 0,25 = 1. Вероятность того, что изделие, произведённое первым изготовителем, имеет скрытый дефект, равна 0,02, т.е. РН1(А)=0,02; вторым производителем – 0,05, т.е.РН2(А)=0,05 и третьим производителем – 0,05, т.е. РН3(А)=0,05. а) Учитывая, что событие А произойдет обязательно с одним из событий (гипотез) Нi, образующих полную группу, применим формулу полной вероятности: Р(А)= Р(Н1)· РН1(А)+ Р(Н2)· РН2(А)+ Р(Н3)· РН3(А)=0,30·0,02+0,45·0,05+ +0,25·0,05=0,006+0,0225+0,0125=0,041 б) Пусть оказалось, что случайно выбранное изделие имеет скрытый дефект. Найдём вероятность того, что оно произведено вторым изготовителем (гипотеза Н2). Используем для этого формулу Байеса: ![]() Ответ: Р(А)=0,041; РА(Н2)=0,549. 30. Вероятность того, что в результате проверки изделию будет присвоен знак «изделие высшего качества» равна p. 1. На контроль поступило n изделий. Какова вероятность того, что знак высшего качества будет присвоен ровно m изделиям. 2. При тех же условиях найти вероятность того, что в партии из N изделий знак высшего качества получат: а) ровно kизделий; б) не менее чем k1 , но не более, чем k2изделий.
Решение: вероятность того, что будет присвоен знак высшего качества по условию равен р=0,5. тогда вероятность того, что знак не будет присвоен q=1-р=1-0,5=0,5. А= ![]() ![]() по формуле Бернулли находим: Р(А)=Р5(3)= ![]() 2) по условию N=31 р=0,5 q=0,5 а) Найдем вероятность Р24(9) приближенно с помощью локальной формулы Лапласа: ![]() Тогда Р31(13) ![]() б) вероятность того, что число попаданий будет не менее 7, но не более 26, вычисляем по формуле Лапласа: ![]() ![]() ![]() Тогда Р24(5;15) ![]() Ответ: 1) 0,039 2) а) 0,096 б) 0,9986 32. В лотерее на каждые 100 билетов приходится m1 билетов с выигрышем a1тыс. рублей, m2 билетов с выигрышем a2 тыс. рублей, m3 билетов с выигрышем a3 тыс. рублей и т.д. Остальные билеты из сотни не выигрывают. Составить закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найти его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Пояснить смысл указанных характеристик.
Решение: Согласно закону распределения х принимаем значения: х1=0 – невыигрышный билет, х2=20 – выигрыш в 20 тыс.руб., х3= в 35 тыс.руб., х4= в 10 тыс.руб., х5=15 тыс.руб., х6=18 тыс.руб. Соответствующие вероятности будут: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() р1= ![]()
![]() ![]() ![]() Ответ: М(х)=9,39; D(x)=196,657; ![]() 47. Вес одной порции мясного блюда должен составлять, а гр. В процессе приготовления возникают случайные погрешности, в результате которых вес порционного блюда является случайной величиной подчиненной нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением гр. Найти вероятность того, что: а) вес изделия составит от до гр.; б) величина погрешности веса будет менее гр.
Решение: а) ![]() ![]() б) ![]() ![]() Ф(2,66)=0,4961 Ответ: а) 0,9463 б) 0,99,22 57. По итогам выборочных обследований, для некоторой категории сотрудников, величина их месячного заработка xi тыс. рублей .и соответствующее количество сотрудников ni представлены в виде интервального статистического распределения. а) Построить гистограмму относительных частот распределения. б) Найти основные характеристики распределения выборочных данных: среднее выборочное значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение. в) Оценить генеральные характеристики по найденным выборочным характеристикам точечным образом. г) Зная, что значения признака X в генеральной совокупности подчинены нормальному закону распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (генерального среднего значения) с надежностью считая, что генеральная дисперсия равна исправленной выборочной дисперсии.
Решение: Найдем объем выборки n: ![]() то есть для обследования выбрано 60 сотрудников. а) Вычислим относительные частоты для каждого частичного интервала: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Контроль: ![]() В итоге получено следующее интервальное распределение относительных частот признака X:
Шаг разбиения h это длина каждого частичного интервала: h=1. Строим гистограмму относительных частот. На графике по горизонтальной оси ОX отложены частичные интервалы для признака X, а по вертикальной оси – значения относительных частот wi. ![]() б) Для нахождения характеристик выборки от заданного интервального распределения признака X перейдем к дискретному распределению, выбирая в качестве значений признака xi середины частичных интервалов:
Найдем основные характеристики этого распределения. Средняя выборочная (средняя месячная заработная плата в т. р.): ![]() Выборочная дисперсия: ![]() ![]() ![]() Этот результат совпадает с результатом первого способа (иногда приближенно из-за округлений). Выборочное среднее квадратическое отклонение: ![]() то есть, в среднем составляет ± 2,65 тыс. рублей от среднего значения 14,2 тыс. рублей. в) Оценим неизвестные генеральные характеристики. Генеральное среднее значение: ![]() Генеральная дисперсия: ![]() ![]() г) Доверительный интервал для оценки генеральной средней a(средней зарплаты) с надежностью γ находим по формуле: ![]() По условию задачи n =60; ![]() ![]() Вычислим по этим данным доверительный интервал: ![]() ![]() Таким образом, с вероятностью 85% неизвестная генеральная средняя (математическое ожидание) находится в этом интервале: x = a∈(13,7; 14,7). Ответ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 69. С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течение ряда месяцев: X – величина месячной прибыли в т. р., Y – месячные издержки в процентах к объему продаж. Результаты выборки представлены в виде таблицы. По данным выборки: а) оценить тесноту линейной связи между признаками Х и Y; б) найти зависимость между признаками в виде уравнения линейной регрессии ![]() в) построить графически наблюдаемые выборочные значения признаков и прямую регрессии. г) Используя уравнение линейной регрессии, спрогнозировать величину месячных издержек в процентах к объему продаж, если величина месячной прибыли будет составлять Х = K т. р.
Решение: По условию имеется n=5 наблюдений для соответственных значений признаков Х и Y. Найдем средние значения признаков ![]() ![]() Вычисления будем вести с точностью до 0,001. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() а) Оценим тесноту линейной связи по коэффициенту линейной корреляции r: ![]() Так как r < 0, то связь обратная, то есть с ростом значений признака Х значения признака Y убывают. Так как ![]() ![]() б) Найдем уравнение линейной регрессии. Его параметры: ![]() ![]() В результате получим, что среднее значение издержек ![]() ![]() в) Изобразим графически данные значения (хi; уi) в виде точек на плоскости хОу (Рис. 4). Прямую регрессии у = –0,37х +48 строим по двум точкам: х = 0; у = – 0,37*0 +48 =48. х = 105; у = –0,37*105 + 48 =9,15. Получены точки (0;48) и (105;9,15). ![]() На графике прямая регрессии убывает и проходит через точку A( ![]() ![]() г) Используя найденную зависимость, спрогнозируем величину месячных издержек, если месячная прибыль составит 110 тыс. руб.: у=-0,37*110+48=7,3, т.е. 7,3% к объему продаж. Ответ. Корреляционная зависимость между признаками Х и Y очень высокая, ее можно описать линейным уравнением регрессии: у = –0,37х + 48. Прогнозируемые издержки составят 7,3 % к объёму продаж. Список используемой литературы 1. Высшая математика: учебник / В.С. Шипачев. — М. : ИНФРА-М, 2018. — 479 с. — (Высшее образование). — www.dx.doi.org/10.12737/5394. - Режим доступа: http://znanium.com/go.php?id=945790 2. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие / Бирюкова Л.Г., Бобрик Г.И., Матвеев В.И., - 2-е изд. - М.:НИЦ ИНФРА-М, 2017. - 289 с.: 60x90 1/16. - (Высшее образование: Бакалавриат) (Переплёт 7БЦ) ISBN 978-5-16-011793-5. - Режим доступа: http://znanium.com/go.php?id=370899 3. Теория вероятностей, математическая статистика, математическое программирование: Учебное пособие / Белько И.В., Морозова И.М., Криштапович Е.А. - М.:НИЦ ИНФРА-М, Нов. знание, 2016. - 299 с.: 60x90 1/16. - (Высшее образование: Бакалавриат) (Переплёт 7БЦ) ISBN 978-5-16-011748-5. - Режим доступа: http://znanium.com/go.php?id=542521 4. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы: Учебник / Кацман Ю.Я. - Томск:Изд-во Томского политех. университета, 2013. - 131 с.: ISBN 978-5-4387-0173-6 5. Теория вероятностей: Учебник / Р.Ш. Хуснутдинов. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 175 с.: 60x88 1/16. - (Высшее образование: Бака-лавриат). (обложка) ISBN 978-5-16-005312-7, 500 экз. 6. Теория вероятностей. Примеры и задачи/ВасильчикМ.Ю., Арка-шовН.С., КовалевскийА.П. и др., 2-е изд. - Новосиб.: НГТУ, 2014. - 124 с.: ISBN 978-5-7782-2487-2 |