теория вероятностей. Теория вероятностей.ТРЗ. Теория вероятностей

• Название: Теория вероятностей
• Анкор: теория вероятностей
• Дата: 03.05.2023
• Размер: 282.5 Kb.
• Имя файла: Теория вероятностей.ТРЗ.doc
• Тип: Документы; #1106378
• страница: 1 из 4

Министерство транспорта РФ

Филиал Новороссийской государственной
морской академии

в г. Ростове-на-Дону


Теория вероятностей
Типовое расчётное задание

Ростов-на-Дону

2001 г.

Составитель Л.В. Сахарова

УДК 517

С 221

Теория вероятностей. Типовое расчётное задание. Ростов-на-Дону: Типография ООО "ВУД", 2001. - 25 с.


Пособие содержит 180 задач по теории вероятностей, сгруппированных в 6 заданий по 30 вариантов соответственно основным темам курса, включая элементы статистики. Предназначено для составления вариантов типовых расчётных заданий. Может быть использовано для организации самостоятельной аудиторной и индивидуализированной домашней работы курсантов.


Печатается по решению общенаучной кафедры филиала НГМА в г. Ростове-на-Дону

Рецензент: начальник общенаучной кафедры филиала НГМА,
доцент, к.ф.-м.н. Н.Ю.Сафонцева

Типография ООО "ВУД", 2001

Задание №1. Непосредственный подсчёт вероятностей. Правила сложения и умножения вероятностей

1) Имеется 5 билетов стоимостью по 1 рублю, 3 билета – по 3 рубля и 2 – по 5 рублей. Наугад берутся 3 билета. Определить вероятность того, что а) хотя бы 2 из этих билетов имеют одинаковую стоимость; б) все 3 билета стоят 7 рублей.

2) Человек, принадлежащий к определённой группе населения, с вероятностью 0,2 оказывается брюнетом, с вероятностью 0,3 – шатеном, с вероятностью 0,4 – блондином и с вероятностью 0,1 – рыжим. Выбирается наугад группа из 6 человек. Найти вероятность того, что в составе группы а) не менее 4 блондинов; б) хотя бы 1 рыжий.

3) В урне 2 белых и 3 чёрных шара. Два игрока поочерёдно вынимают из урны по шару, не кладя их обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит белый шар. Найти вероятность того, что выиграет первый игрок.

4) В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

5) В урне 5 белых, 3 чёрных и 4 красных шара. Три из них вынимаются наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них будут одноцветными.

6) Два стрелка независимо один от другого делают по два выстрела каждый по своей мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка 0,6, для второго 0,7. Выигравшим соревнование считается тот стрелок, в мишени которого будет больше пробоин. Найти вероятность того, что выиграет первый стрелок.

7) На девяти карточках написаны цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Две из них вынимаются наугад и укладываются на стол в порядке появления, затем читается полученное число, например, 07, 14 и т.п. Найти вероятность того, что число будет чётным.

8) Из 15 билетов выигрышными являются 3. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 4 билетов а) два выигрышных, б) хотя бы один выигрышный.

9) Имеется n экзаменационных билетов, каждый из которых содержит два вопроса. Экзаменующийся знает ответ не на все 2n вопросов, а только на k < 2n. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса своего билета или на один вопрос своего билета и один (по выбору преподавателя) дополнительный вопрос из другого билета.

10) Производится стрельба по некоторой мишени, вероятность попадания в которую при каждом выстреле равна 0,2. Стрельба прекращается при первом попадании. Найти вероятность того, что будет произведено а) 4 выстрела; б) не более трёх выстрелов.

11) Полная колода карт (52 листа) делится наугад на 2 равные пачки по 26 листов. Найти вероятности следующих событий:

А – в каждой из пачек окажется по 2 туза;

В – в одной пачке не будет ни одного туза, а в другой – все 4;

С – в одной из пачек будет один туз, а в другой – 3.

12) В первом ящике находятся шары с номерами 1, 2, 3, 4, 5; во втором – с номерами 6, 7, 8, 9, 10. Из каждого ящика вынуто по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номеров будет а) не меньше 7; б) больше 12.

13) Бросаются одновременно 2 игральные кости. Найти вероятность того, что а) произведение выпавших очков чётное; б) сумма выпавших очков не превосходит 5.

14) По железнодорожному мосту независимо один от другого производят серийное бомбометание 3 самолёта. Каждый самолёт сбрасывает серию бомб. Вероятность попадания хотя бы одной бомбы из серии для первого самолёта 0,3, для второго – 0,4, для третьего – 0,15. Найти вероятность того, что мост будет разрушен.

15) Бросаются одновременно 2 игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

А – сумма выпавших очков равна 5;

В – сумма выпавших очков меньше, чем их произведение.

16) Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,54. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле для первого из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,3.

17) Стрелок выстрелил 3 раза по удаляющейся от него мишени. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,6, а после каждого выстрела она уменьшается на 0,1. Вычислить а) вероятность попадания в мишень хотя бы один раз; б) вероятность попасть в мишень один раз и два раза промахнуться.

18) На 7 карточках написано по одной букве: Л, О, К, А, Т, О, Р. Наугад извлекаются 4 карточки одна за другой. Найти вероятность того, что в порядке поступления первых четырёх букв образуется слово "РОТА", если а) выбранные карточки не возвращаются; б) выбранные карточки возвращаются и перемешиваются перед каждым следующим извлечением.

19) В большой партии изделий доля дефектных изделий составляет 20%. Каков объём случайной выборки, в которую с вероятностью не меньшей 0,96 попадёт хотя бы одно дефектное изделие.

20) На плоскость, разграфлённую параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 4 см, наудачу брошен круг радиусом 1 см. Найти вероятность того, что круг не пересечёт ни одной из прямых.

21) На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 см и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадёт также и в кольцо, образованное построенными окружностями.

22) В области, ограниченной эллипсом , разбросаны пять кружков радиуса 0,1. Известно, что кружки не пересекаются друг с другом и с эллипсом. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу в эллипс, не попадёт ни в один из кружков.

23) Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что их произведение будет не больше единицы, а частное не больше 2.

24) Внутрь круга радиусом 2 см наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг а) квадрата; б) правильного треугольника.

25) Два лица имеют одинаковую вероятность придти к указанному месту в любой момент между 5 и 6 часами. Определить вероятность того, что время ожидания одним другого будет не больше 15 минут.

26) На отрезке ОА длиной 10 см числовой оси Ох наудачу поставлены две точки В(х) и С(у), причём у  х. Найти вероятность того, что длина отрезка ВС будет меньше длины отрезка ОВ.

27) В круге радиусом R проводятся хорды параллельно заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды не больше R, если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным выбранному направлению.

28) На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата а бросается наудачу монета диаметром 2r < а. Найти вероятность того, что а) монета попадёт целиком внутрь одного квадрата; б) монета пересечёт не более одной стороны квадрата.

29) Два теплохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих теплоходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из теплоходов придётся ожидать освобождения причала, если время стоянки первого теплохода – 1 час, а второго – 2 часа.

30) Игрок А поочерёдно играет с игроками В и С, имея вероятность выигрыша в каждой партии 0,3 и прекращает игру после первого проигрыша или после двух партий, сыгранным с любым из игроков. Определить вероятность выигрыша игроков В и С.

Задание №2. Формула полной вероятности

1) Группа студентов состоит из "а" отличников, "b" хорошо успевающих и "с" занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

2) В ящике имеется 5 деталей, изготовленных заводом №1 и 10 деталей, изготовленных заводом №2. Сборщик последовательно вынимает из ящика детали одну за другой. Найти вероятность того, что во второй раз будет извлечена деталь, изготовленная заводом №1.

3) В группе из 20 курсантов, пришедших на экзамен, 5 подготовленных отлично, 8 подготовленных хорошо, 4 подготовленных удовлетворительно и 3 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 25 вопросов. Отлично подготовленный курсант может ответить на все вопросы, хорошо подготовленный – на 20 вопросов, удовлетворительно – на 14, плохо – на 10 вопросов. Найти вероятность того, что вызванный наугад курсант ответит на три произвольно заданных вопроса.

4) Сборщик получил три коробки одинаковых деталей, изготовленных заводом №1 и пять коробок деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,8, а завода №2 – 0,7. Из наудачу взятой коробки сборщик наудачу извлёк деталь. Найти вероятность того, что извлечённая деталь стандартна.

5) В пирамиде 8 винтовок, 5 из них снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с прицелом, равна 0,9; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,6. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведёт один выстрел из наудачу взятой винтовки.

6) Для контроля продукции из трёх партий деталей взята наудачу для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 1/3 деталей бракованные, во второй – 1/8 деталей бракованные, в третьей – все доброкачественные.

7) Имеются две стопки тетрадей; в первой стопке 10 тетрадей в линию и 5 в клетку, во второй стопке 12 тетрадей в линию и 3 в клетку. Из первой стопки во вторую переложили наугад одну тетрадь, после чего взяли из второй стопки наугад тетрадь. Какова вероятность того, что взята тетрадь в клетку?

8) Сборщик получил 3 ящика деталей: в I ящике 40 деталей, из них 20 окрашенных, во II ящике – 50 деталей, из них 40 окрашенных, в III ящике 30 деталей, из которых 25 окрашенных. Найти вероятность того, что наудачу извлечённая деталь из наудачу взятого ящика окажется окрашенной.

9*) В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 20 шаров из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

10*) Из ящика, содержащего 5 белых и 3 чёрных шара, наугад переложено 2 шара в ящик, содержащий 2 белых и 2 чёрных шара, после чего из второго ящика извлекается наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар чёрный.

11) Из 15 стрелков 4 попадают в мишень с вероятностью 0,8, 6 – с вероятностью 0,7, 3 – с вероятностью 0,6 и 2 – с вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что наудачу выбранный стрелок произвёл выстрел, но в мишень не попал.

12) Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате – 0,08, на втором – 0,04. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь стандартна.

13) С первого автомата на сборку поступает 30% деталей, со второго – 50%, с третьего – 20% деталей. Среди деталей первого автомата 0,3% бракованных, со второго – 0,2%, с третьего – 0,5% бракованных. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь – бракованная.

14) Имеется две партии одинаковых изделий по 15 и 12 штук, причём в каждой партии по 2 изделия бракованных. Наудачу взятое изделие из первой партии переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность того, что извлечённое изделие – не бракованное.

15) Купили 3 коробки шоколадных конфет-ассорти. В одной коробке 18 конфет, из которых 6 с ликёром, во второй коробке 24 конфеты, из которых 6 с ликёром, в третьей коробке 28 конфет, из которых половина с ликёром. Из наудачу выбранной коробки взята наудачу одна конфета. Какова вероятность того, что она с ликёром.

16) В ящике содержится 15 изделий фабрики №1, 18 изделий фабрики №2 и 20 – фабрики №3. Среди изделий фабрики №1 80% – высшего сорта, для изделий фабрик №2 и №3 этот показатель равен соответственно 70% и 60%. Найти вероятность того, что извлечённое наудачу из ящика изделие окажется высшего сорта.

17) В каждой из двух урн содержится по 2 чёрных и 8 белых шаров. Из первой урны наудачу извлечён шар и переложен во вторую, после чего из второй урны извлекли наудачу один шар. Какова вероятность того, что он белый?

18) Рабочему принесли 3 ящика деталей завода №1 и 2 ящика – завода №2. Среди деталей завода №1 60% окрашенных, а среди деталей завода №2 – половина окрашенных. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь из наудачу выбранного ящика окажется окрашенной.

19) Человек возвращается с работы домой либо автобусом либо трамваем. В 2/3 случаев он выбирает автобус, в 1/3 – трамвай. Если он едет автобусом, то в 70% случаев он возвращается домой к 6 часам, если же трамваем, то лишь в 60% случаев он возвращается домой к 6 часам. Какова вероятность того, что в наудачу взятый день он вернётся домой к 6 часам?

20) В партии 600 лампочек, из них 200 изготовлены на первом заводе,
250 – на втором, 150 – на третьем. Вероятность того, что лампочка окажется стандартной для первого завода равна 0,95, для второго – 0,9, для третьего – 0,92. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампочка окажется нестандартной?

21) Литьё в болванках для дальнейшей обработки поступает из двух заготовительных цехов: 60% из первого цеха и 40% из второго. При этом продукция первого цеха содержит 10% брака, а второго – 20% брака. Найти вероятность того, что одна наугад взятая болванка не будет бракованной.

22) В коробке содержится 8 синих и 4 красных фломастеров. Человек вынимает последовательно один за одним фломастеры, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что во второй раз будет извлечён красный фломастер.

23) Электролампа может принадлежать к одной из трёх партий с вероятностью 0,3; 0,5 и 0,2. Стандартные по продолжительности горения лампы в первой партии составляют 80%, во второй – 70%, в третьей – 90%. Определить вероятность того, что наудачу взятая лампа окажется стандартной.

24*) Имеются 2 стопки тетрадей. В первой стопке 8 тетрадей в клетку и 4 в линию, во второй – 10 тетрадей в клетку и 2 в линию. Две наудачу взятые тетради переложены из первой стопки во вторую, после чего взята наудачу одна тетрадь из первой стопки. Какова вероятность того, что эта тетрадь – в клетку.

25) Из стопки тетрадей, в которой содержатся 12 тетрадей в клетку и 8 тетрадей в линию, последовательно вынимают тетради одну за другой, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что вторая вынутая тетрадь окажется в клетку.

26) Из коробки, в которой находятся 5 красных, 3 синих и 2 зелёных карандаша переложен наудачу один карандаш в коробку, в которой уже имеются 8 красных, 4 синих и 3 зелёных карандаша, после чего из второй коробки извлекается наудачу один карандаш. Какова вероятность того, что он синий.

27) В коробке находятся 6 красных, 2 синих и 3 зелёных карандаша. Наудачу один за одним извлекаются карандаши, которые обратно не возвращаются. Какова вероятность того, что во второй раз будет извлечён красный карандаш?

28) Из коробки, в которой находятся 10 красных и 5 синих карандашей, переложен наудачу один карандаш в коробку, в которой находятся 6 красных и 3 синих карандаша, после чего из второй коробки извлекаются наудачу 2 карандаша. Какова вероятность того, что они оба красные?

29) Из коробки, в которой имеются 7 красных и 3 синих карандаша, переложены наудачу два карандаша в коробку, содержащую 5 красных и 4 синих карандаша, после чего из второй коробки извлекают наудачу один карандаш. Какова вероятность того, что он синий?

30) Имеются две коробки карандашей. В первой коробке содержатся 4 красных и 4 синих карандаша, во второй – 6 красных и 3 синих карандаша. Из первой коробки наудачу переложен карандаш во вторую коробку, после чего из второй коробки извлечены наудачу два карандаша. Какова вероятность того, что они одного цвета?

Задание №3. Формула Бернулли. Асимптотические формулы Лапласа

1) Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна 0,3. Определить вероятность того, что из 50 конденсаторов в течение времени Т выйдут из строя а) ровно 18; б) не менее 10; в) от 8 до 12.

2) Вероятность появления события в каждом из 200 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится а) ровно 120 раз; б) не более 120 раз; в) от 140 до 160 раз.

3) Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что при 40 выстрелах число попаданий будет а) ровно 25; б) не менее 32 и не более 36.

4) В ОТК поступила партия изделий. Вероятность того, что наудачу взятое изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 100 проверенных изделий стандартными окажутся а) ровно 80; б) не менее 84.

5) Вероятность появления некоторого события в каждом из 18 испытаний равна 0,2. Определить вероятность появления этого события а) по крайней мере 3 раза; б) от 6 до 10 раз.

6) Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,9. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах стрелок поразит мишень а) ровно 95 раз; б) от 80 до 95 раз.

7) На склад магазина поступают изделия, из которых 80% оказываются высшего сорта. Найти вероятность того, что из 100 наудачу взятых изделий высшего сорта окажутся а) не менее 90; б) от 70 до 80.

8) Что вероятнее выиграть у равносильного противника: не менее трёх партий из четырёх или не менее пяти партий из восьми?

9) Вероятность выхода из строя каждого прибора равна 0,2. Сколько таких приборов нужно испытать, чтобы с вероятностью не менее 0,9 получить не меньше трёх отказов?

10) Для победы в волейбольном соревновании команде достаточно выиграть три партии из пяти. найти вероятность выигрыша команды, если вероятность её выигрыша в каждой отдельной игре равна 0,6.

11) Прибор состоит из десяти узлов. Вероятность безотказной работы в течение времени t для каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что за время t откажут а) ровно 2 узла; б) не менее 2 узлов.

12) Вероятность выхода из строя за время t одной детали равна 0,2. Определить вероятность того, что из 100 деталей в течение времени t выйдут из строя а) ровно 17; б) не более 28 деталей.

13) Вероятность выплавки стабильного сплава в дуговой вакуумной установке равна 0,9 в каждой отдельной плавке. Произведено 100 плавок. Найти вероятность того, что в них будет получено стабильных сплавов а) ровно 87; ) от 87 до 90.

14) Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие появится а) ровно 76 раз; б) от 76 до 84 раз.

15) Вероятность появления события в каждом из 100 испытаний равна 0,4. Найти вероятность того, что событие появится а) ровно 36 раз; б) не менее 44 раз.

16) В большой партии изделий брак составляет 20%. Какова вероятность того, что из 200 взятых наудачу изделий бракованных окажется а) ровно 36 штук; б) от 40 до 50.

17) Вероятность детали пройти испытание на прочность равна 0,9. Какова вероятность того, что из 100 деталей пройдут испытание а) ровно 92; б) от 90 до 95.

18) Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что при 20 выстрелах в мишень будет а) ровно 15 попаданий; б) не менее 16 попаданий.

19) По некоторой цели производится 50 независимых выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,2. Найти вероятность того, что в цель попадут а) 8 снарядов; б) 0т 8 до 12 снарядов.

20) Найти вероятность того, что при 50 бросаниях игральной кости "шестёрка" выпадает а) ровно 8 раз; б) от 6 до 9 раз.

21) Стрелок поражает мишень с вероятностью 3/4. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах число попаданий а) равно 70; б) в пределах от 70 до 80.

22) Вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний равна 0,4. Найти вероятность того, что в 40 испытаниях событие А появится а) ровно 15 раз; б) не менее 15 раз.

23) В партии изделий, поступивших в продажу, высшего сорта 60%. Какова вероятность того, что из 60 изделий, отобранных на проверку, высшего сорта оказались а) ровно 32; б) не менее 32.

24) Вероятность детали пройти испытание при перегрузочном режиме равна 0,4. Найти вероятность того, что из 80 деталей той же партии пройдут испытание а) ровно 30; б) от 30 до 36.

25) Вероятность изделия некоторой партии отработать гарантированный изготовителем срок равна 0,9. Найти вероятность того, что из 300 изделий этой партии гарантированный срок отработают а) ровно 270; б) от 270 до 280.

26) Производится 5 выстрелов по резервуару с горючим, причём первое попадание вызывает течь, а второе – воспламенение горючего. Какова вероятность того, что резервуар будет подожжён, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,2.

27) На автобазе 12 автобусов. Вероятность выхода на линию каждого из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы, если для этого необходимо иметь 6 автобусов.

28) В некоторой отрасли производства 3/4 работающих имеют среднее техническое образование. Для некоторого обследования случайным образом отобраны 300 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц со средним техническим образованием будет а) ровно 200 человек; б) от 200 до 230 человек.

29) Что вероятнее выиграть у равносильного противника: 3 партии из четырёх или 5 из восьми?

30) Партия из 100 деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали из 5 проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть не принятой, если она содержит 5% бракованных деталей?