045теоия вероят. Решение Вероятность, что сработает Вероятность, что не сработает 1 устройство
![]()
|
6) Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет ![]() ![]() ![]() а) все устройства; б) только одно устройство; в) хотя бы одно устройство.
Решение:
а) обозначим за А- сработают все устройства, тогда: Р(А)=р1·р2·р3=0,85·0,95·0,8=0,646 б) обозначим за В- сработает только одно устройство, тогда: В1-сработает первое устройство Р(В1)= ![]() В2-сработает второе устройство Р(В2)= ![]() В3-сработает третье устройство Р(В3)= ![]() Р(В)=Р(В1)+Р(В2)+Р(В3)=0,0085+0,0285+0,006=0,043 в) обозначим за С – сработает хотя бы одно устройство, тогда: противоположное ему событие ![]() Р( ![]() ![]() Р(С)=1- Р( ![]() Ответ: а) 0,646 б) 0,043 в) 0,9985 14) В ювелирный магазин изделия поступают от трех разных изготовителей в соотношении: m% всех поступающих изделий, составляют изделия первого изготовителя, n% – второго, остальные изделия третьего изготовителя. Вероятность того, что изделие, произведённое первым изготовителем, имеет скрытый дефект, равна ![]() ![]() ![]() а) Найти вероятность того, что наудачу выбранное изделие имеет скрытый дефект. б) Оказалось, что наудачу выбранное изделие имеет скрытый дефект. Какова вероятность того, что оно произведено вторым изготовителем?
Решение: обозначим: событие А –изделие имеет скрытый дефект; событие Н1 –изделие от 1 производителя; событие Н2 – изделие от 2 производителя; событие Н3 – изделие от 3 производителя. По условию задачи 45% всех изделий поступает от 1 производителя, следовательно Р(Н1) = 0,45, от 2 производителя – 35%, тогда Р(Н2) = 0,35 и от 3 производителя оставшиеся 20 % всех изделий, то есть Р(Н3) = 0,20. Очевидно, что P(H1) + P(H2) + P(H3) = 0,45+0,35+0,2=1. Вероятность того, что изделие, произведённое первым изготовителем, имеет скрытый дефект, равна 0,01, т.е. РН1(А)=0,01; вторым производителем – 0,05, т.е.РН2(А)=0,05 и третьим производителем – 0,01, т.е. РН3(А)=0,01. а) Учитывая, что событие А произойдет обязательно с одним из событий (гипотез) Нi , образующих полную группу, применим формулу полной вероятности: Р(А)= Р(Н1)· РН1(А)+ Р(Н2)· РН2(А)+ Р(Н3)· РН3(А)=0,45·0,01+0,35·0,05+ +0,20·0,01=0,0045+0,0175+0,002=0,024 б) Пусть оказалось, что случайно выбранное изделие имеет скрытый дефект. Найдём вероятность того, что оно произведено вторым изготовителем (гипотеза Н2). Используем для этого формулу Байеса: ![]() Ответ: Р(А)=0,024; РА(Н2)=0,729. 27) Вероятность того, что в результате проверки изделию будет присвоен знак «изделие высшего качества» равна p. 1. На контроль поступило n изделий. Какова вероятность того, что знак высшего качества будет присвоен ровно m изделиям. 2. При тех же условиях найти вероятность того, что в партии из N изделий знак высшего качества получат: а) ровно kизделий; б) не менее чем k1 , но не более, чем k2изделий.
Решение: вероятность того, что будет присвоен знак высшего качества по условию равен р=0,3. тогда вероятность того, что знак не будет присвоен q=1-р=1-0,=0,7. А= ![]() ![]() по формуле Бернулли находим: Р(А)=Р5(2)= ![]() 2) по условию N=30 р=0,3 q=0,7 а) Найдем вероятность Р30(12) приближенно с помощью локальной формулы Лапласа: ![]() Тогда Р30(12) ![]() б) вероятность того, что число попаданий будет не менее 8, но не более 20, вычисляем по формуле Лапласа: ![]() ![]() ![]() Тогда Р30(8;20) ![]() Ответ: 1) 0,0083 2) а) 0,078 б) 0,652 35) В лотерее на каждые 100 билетов приходится m1 билетов с выигрышем a1тыс. рублей, m2 билетов с выигрышем a2 тыс. рублей, m3 билетов с выигрышем a3 тыс. рублей и т.д. Остальные билеты из сотни не выигрывают. Составить закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найти его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Пояснить смысл указанных характеристик.
Решение: Число выигрышных билетов из 100 составляет: 5+10+12+15+18=60, значит, число невыигрышных билетов:100 – 60 =40. Согласно закону распределения х принимаем значения: х1=0 – невыигрышный билет, х2=5– выигрыш в 10 тыс.руб., х3= 2 в 8 тыс.руб., х4=12 в 6 тыс.руб., х5=15 в 4 тыс.руб., х6=18 в 2 тыс.руб. Соответствующие вероятности будут: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() р1= ![]()
![]() Таким образом, ожидаемый средний выигрыш на 1 билет составляет 2,26 т. р. Дисперсию случайной величины найдем двумя способами: ![]() ![]() ![]() ![]() Очевидно, что результаты вычислений дисперсии по обоим способам совпадают. Среднее квадратичное отклонение: ![]() Таким образом, =3,71 т. р. – характеристика разброса фактических значений выигрыша от найденного среднего значения, а =2,26 т. р. Это означает, что основные значения случайной величины выигрыша находятся в диапазоне ![]() Ответы.М (Х) = 2,26; D(Х) = 13,732; (Х) =3,71. 47) Вес одной порции мясного блюда должен составлять, а гр. В процессе приготовления возникают случайные погрешности, в результате которых вес порционного блюда является случайной величиной подчиненной нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением гр. Найти вероятность того, что: а) вес изделия составит от до гр.; б) величина погрешности веса будет менее гр.
Решение: а) ![]() ![]() б) ![]() ![]() Ф(2,66)=0,4961 Ответ: а) 0,9463 б) 0,99,22 59) По итогам выборочных обследований, для некоторой категории сотрудников, величина их месячного заработка xi тыс. рублей .и соответствующее количество сотрудников ni представлены в виде интервального статистического распределения. а) Построить гистограмму относительных частот распределения. б) Найти основные характеристики распределения выборочных данных: среднее выборочное значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение. в) Оценить генеральные характеристики по найденным выборочным характеристикам точечным образом. г) Зная, что значения признака X в генеральной совокупности подчинены нормальному закону распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (генерального среднего значения) с надежностью считая, что генеральная дисперсия равна исправленной выборочной дисперсии.
Решение: Найдем объем выборки n: ![]() то есть для обследования выбрано 85 сотрудников. а) Вычислим относительные частоты для каждого частичного интервала: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Контроль: ![]() В итоге получено следующее интервальное распределение относительных частот признака X:
Шаг разбиения h это длина каждого частичного интервала: h=3. Строим гистограмму относительных частот. На графике по горизонтальной оси ОX отложены частичные интервалы для признака X, а по вертикальной оси – значения относительных частот wi. ![]() б) Для нахождения характеристик выборки от заданного интервального распределения признака X перейдем к дискретному распределению, выбирая в качестве значений признака xi середины частичных интервалов:
Найдем основные характеристики этого распределения. Средняя выборочная (средняя месячная заработная плата в т. р.): ![]() ![]() ![]() ![]() Этот результат совпадает с результатом первого способа (иногда приближенно из-за округлений). Выборочное среднее квадратическое отклонение: ![]() то есть, в среднем составляет ± 2,828 тыс. рублей от среднего значения 7,995 тыс. рублей. в) Оценим неизвестные генеральные характеристики. Генеральное среднее значение: ![]() Генеральная дисперсия: ![]() ![]() г) Доверительный интервал для оценки генеральной средней a(средней зарплаты) с надежностью γ находим по формуле: ![]() По условию задачи n =82; ![]() ![]() Вычислим по этим данным доверительный интервал: ![]() ![]() Таким образом, с вероятностью 98% неизвестная генеральная средняя (математическое ожидание) находится в этом интервале: x = a∈(13,094; 14,564). Ответ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 62) С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течение ряда месяцев: X – величина месячной прибыли в т. р., Y – месячные издержки в процентах к объему продаж. Результаты выборки представлены в виде таблицы. По данным выборки: а) оценить тесноту линейной связи между признаками Х и Y; б) найти зависимость между признаками в виде уравнения линейной регрессии ![]() в) построить графически наблюдаемые выборочные значения признаков и прямую регрессии. г) Используя уравнение линейной регрессии, спрогнозировать величину месячных издержек в процентах к объему продаж, если величина месячной прибыли будет составлять Х = K т. р.
Решение: По условию имеется n=5 наблюдений для соответственных значений признаков Х и Y. Найдем средние значения признаков ![]() ![]() Вычисления будем вести с точностью до 0,001. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() а) Оценим тесноту линейной связи по коэффициенту линейной корреляции r: ![]() Так как r < 0, то связь обратная, то есть с ростом значений признака Х значения признака Y убывают. Так как ![]() ![]() б) Найдем уравнение линейной регрессии. Его параметры: ![]() ![]() В результате получим, что среднее значение издержек ![]() ![]() в) Изобразим графически данные значения (хi; уi) в виде точек на плоскости хОу (Рис. 4). Прямую регрессии у = –0,35х +32,75 строим по двум точкам: х = 0; у = – 0,35*0 +32,75 =32,75. х = 65; у = –0,35*70 +32,75 =8,25. Получены точки (0;32,75) и (70;8,25). ![]() На графике прямая регрессии убывает и проходит через точку A( ![]() ![]() г) Используя найденную зависимость, спрогнозируем величину месячных издержек, если месячная прибыль составит 75 тыс. руб.: у=-0,35*75+32,75=6,5, т.е. 6,5% к объему продаж. Ответ. Корреляционная зависимость между признаками Х и Y очень высокая, ее можно описать линейным уравнением регрессии: у = –0,35х + 32,75. Прогнозируемые издержки составят 6,5 % к объёму продаж. Список используемой литературы 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2006. – 479 с. 2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. –543 с. 3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. - М.: Айрис-пресс, 2006.-288с. 4. Кузнецов Б.Т. Математика: Учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004 . – 719 с. 5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероят-ностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2001. –400 с. 6. Красс М.С. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – М.: Дело, 2001. – 688 с. 7. Теория вероятностей. Задания для практических занятий / Сост.В.Г. Чередниченко– Новосибирск: СибУПК, 2006. – 32 с. |