мат анализ, шпаргалки к экзамену. 1. 5 Авторы Пьявкин А. С., Эрлихман Б. Г., Носов А. П

• Название: 1. 5 Авторы Пьявкин А. С., Эрлихман Б. Г., Носов А. П
• Анкор: мат анализ, шпаргалки к экзамену
• Дата: 10.03.2022
• Размер: 0.52 Mb.
• Имя файла: Podskazki_po_matanu.docx
• Тип: Документы; #390951

ПОДСКАЗКИ МАТАН

СЕССИЯ 1/редакция 1.5

Авторы: Пьявкин А. С., Эрлихман Б. Г., Носов А. П.

Оглавление

I: Равномерная непрерывность функции одной переменной

Определение модуля непрерывности функции на множестве:

Для каждого назовем модулем непрерывности функции на множестве точную верхнюю грань модуля разности по всем точкам и , принадлежащим множеству и удовлетворяющая неравенству . (ссылаемся к «не превосходит» Соколовой)

Для обозначения указанной точной верхней грани обычно употребляют следующий символ:

Сам же модуль непрерывности функции на множестве принято обозначать символом

Примеры нахождения модуля непрерывности:

Нахождение модуля непрерывности на примере на сегменте [0, 1]
Пусть - две любые точки сегмента [0, 1] такие, что , где . Тогда, очевидно, , и из последнего неравенства, учитывая замечание к определению модуля непрерывности, мы получим, что:

С другой стороны, взяв , так что , мы получим, что

Значит,

Эквивалентные определения равномерной непрерывности функции на множестве:

1) – равномерно непрерывная при
2)

Сравнение непрерывности и равномерной непрерывности:

1) равномерно непрерывна на ,

2) непрерывна в любой точке ;

В первом случае δ зависит только от ε, а во втором же δ зависит от

Теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке:

Если непрерывна на [a, b] ⇒ равномерно непрерывна на [a, b]

Пусть существует такая – непрерывная на [a, b] и не равномерно непрерывная на [a, b]
Построим отрицание:
– ограничена, , но так как у нас , а
, (справа или слева( ))

и , но , при этом разница стремится к нулю, следовательно противоречие
!ВАЖНО: Не работает для функций, непрерывных на интервалах и полуинтервалах , так как может попасть в начало/конец, где неизвестно, непрерывна ли функция или нет.

II: Производная и дифференциал

Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную:

Производной функции в одной фиксированной точке называется предел при разностного отношения (при условии, что этот предел существует)

Теорема: ∃ непрерывна в (см. здесь.) – необходимое условие производной

Геометрический смысл производной:

Производная равна касательной, проведенной к графику в точке


Примечание 1: касательная – предельное положение секущей

Необходимое условие существования производной:

Теорема: ∃
Доказательство:

, ч. т. д.
Примечание: необходимое и достаточное условие непрерывности - , и как мы видим в теореме выше – оно выполняется

Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл:

Дифференцируемая функция – если определена в ;
если приращение функции можно представить, как , где A– зависит от и не зависит от , то – дифференцируема в , а (дифференциал )


Найдем приращение функции для

, где I-ый – это приращение функции, а II-ой – приращение аргумента.
– формула для вычисления

Геометрический смысл:


Он заключается в том, что быстрее, чем

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости:

Дифференцируемая функция – если определена в ;
если приращение функции можно представить, как , где A– зависит от и не зависит от , то – дифференцируема в , а (дифференциал )


– получено при доказательстве непрерывности
– приращение функции

Необходимое и достаточное условие - дифференцируема в ;
Доказывается через непрерывность и производную

Арифметические свойства производной:

– дифференцируема в точке , тогда:
1) ; 2) ; 3) ; 4) дифф-мы в

При этом выполняются равенства:
1)
2) 3)
4)

Доказательство (все происходит в точке ,):
1) Рассмотрим ,
3) Рассмотрим
4) Рассмотрим
!ВАЖНО: при потому что непрерывна в , а непрерывна, потому что дифференцируема в

Нахождение производных элементарных функций:

III: Производная и дифференциал сложной и обратной функции, заданных неявно и параметрически, высших порядков

Производная сложной функции. Дифференциал сложной функции:

Теорема: пусть дифференцируема в , дифференцируема в , тогда дифференцируема в и

Доказательство:



Подставляем в :

Рассмотрим и : По определению: – б. м.;

=

Следовательно: ,

Откуда производная: (получается при делении всего выражения на )

Дифференциал: ( и оба приращения аргумента)

Инвариантность формы первого дифференциала:

Теорема: представление первого дифференциала является универсальным и справедливо также и в случае, когда сам является дифференцируемой функцией вида некоторой независимой переменной , что и является инвариантностью его формы.

Доказательство: пусть аргумент x дифференцируемой функции сам является дифференцируемой функцией , где является независимой переменной. Тогда для функций и дифференциалы представимы в виде

По правилу дифференцирования сложной функции

Подставив производную в получим

Здесь можно заменить на , из-за чего получится, что

Что схоже с представлением дифференциала функции , если была бы независимой производной.

Производная обратной функции:

Теорема: пусть , которая дифференцируема в , тогда , которая дифференцируема в , где ,

Доказательство: так как прямая функция непрерывна в , то обратная непрерывна в (доказанный факт – ссылка на слова Соколовой), т.е.

Тогда напишем производную по определению:

«Очень простое доказательство» - Соколова Т.В. (2020)

Пример:

Тогда – обратная арксинусу,

Отсюда вытекают условия, что

тогда , так как для выполнения

Производные высших порядков. Производные высших порядков для основных элементарных функций:

Вторая производная: пусть функция определена на всей (окрестности ), тогда можно рассматривать функцию , и если эта функция имеет производную в точке , то – вторая производная функции в точке

Производная n-го порядка: аналогично второй производной, можно найти производные следующих порядков. Тогда методом математической индукции можно найти производную n-го порядка.

Определение: пусть определена в . Тогда если , то

Производные высших порядков для элементарных функций:

1. 
   
   
2. 
   
   

3. 
   
   

Если:

Если ,

Если

4. 
   
   

5. 
   
   

, следовательно

Формула Лейбница:

Теорема: пусть и – дифференцируемы, т. е. , тогда , при том


, вне зависимости
от


Доказательство:

Вычисление производных и дифференциалов неявно заданных функций:

Говорят, что функция , , неявно задана уравнением , если для всех
Для вычисления производной функции следует тождество выше продифференцировать по (рассматривая левую часть как сложную функцию ), а затем полученное уравнение разрешить относительно .

Пример: , продифференцировав по тождество получим

Отсюда

Вычисление производных функций, заданных параметрически:

Функции, заданные параметрически, это функции вида

К примеру, формула задания окружности с радиусом и центром в точке

Теорема: если в точке производная , то в окрестности точки можно выразить как (обратная функция). Функция , тогда

Доказательство: Если мы возьмём производную функции в точке , тогда производная, как производная сложной функции , откуда как раз и получим .
Или же можно найти обратную производную . Тогда производная функции будет равна

Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы дифференциалов высших порядков:

Дифференциал второго порядка: пусть определена в точке . Тогда зависит от (точки) и (приращения). Фиксируем приращение . Тогда – второй дифференциал функции .

Вычислим второй дифференциал:

– первый дифференциал

Тогда можно найти дифференциал произведения:

Так как в нашем случае – независимая переменная и мы зафиксировали, то , тогда

То есть , если – независимая переменная.

Отсюда же, по индукции, можно получить, что

= 0, т. к. = 0, т.к. – независимая переменная

Следовательно, формула дифференциала n-го порядка для функции , где – независимая переменная:

Теперь рассмотрим случай, когда – сложная дифференцируемая функция.

В данном случае не всегда равна нулю.

только в случае, когда – линейная функция.
Тогда
Или
В данном случае дифференциал высших порядков можно считать инвариантным

Теперь найдём третий дифференциал:

Как видно из третьего и второго дифференциала сложной функции, они не схожи с формулой дифференциалов высшего порядка от функции , где – независимая переменная, что и показывает неинвариантность дифференциалов высшего порядка, в отличие от первого дифференциала.

IV: Теоремы о дифференцируемых функциях и их применение

Возрастание (убывание) функции в точке:

Рассмотрим функцию , определённую всюду в некоторой окрестности фиксированной в некоторой окрестности фиксированной точки .

Определение 1. Будем говорить, что функция возрастает в точке , если найдётся такая -окрестность точки , в пределах которой

при

и

при

Определение 2. Будем говорить, что функция убывает в точке , если найдётся такая -окрестность точки , в пределах которой

при

и

при

Необходимое условие, достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке:

Необходимое условие:
Теорема: если функция возрастает в , у нее , то

Доказательство: на языке приращений возрастание функции записывается, как , тогда
Примечание: , так как есть функция , где в , хотя функция возрастает

Достаточное условие:
Теорема: если функция дифференцируема в точке и её производная в этой точке положительна (отрицательна), то функция возрастает (убывает) в точке .

Доказательство: пусть (для доказательство аналогично).

Так как (по определению производной)


то на основании определения предела функции по Коши: для положительного числа найдётся такое, что

при

или, что то же самое (при раскрытии модулей),

при

Таким образом, всюду в проколотой -окрестности точки

Но это и означает, что всюду в пределах -окрестности точки

при

и

при

т.е. по определению функция возрастает в точке .

Случай рассматривается аналогично.

!ВАЖНО: Условие одностороннее, т.е. функция возрастает, но никак наоборот, т.е.
функция возрастает , аналогично и для убывания (убывание функции не означает отрицательности производной)

Экстремумы. Теорема Ферма:

Определение: Точка называется точкой максимума функции , если , что выполняется неравенство и точкой минимума, если . Обе эти точки называются точками экстремума.

!ВАЖНО: В точке экстремума производная не обязательно дифференцируема и не обязательно меняет монотонность. Экстремум – локальное свойство функции.

Теорема (Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой в данной точке функции (теорема Фермá)): если функция имеет в точке имеет экстремум и дифференцируема, то производная в этой точке равна нулю. ( )

Доказательство: пусть , тогда по достаточному условию возрастания функция возрастает, то есть она не точка максимума. Аналогично для , она не точка минимума. Следовательно, если – точка экстремума, то единственное значение, которое может принять производная, это ноль ( , если – точка экстремума).

!ВАЖНО: Теорема также односторонняя, из нуля производной не следует, что точка – экстремум.

Знаешь ты, знаю я, знают он и она,

Знает целая страна, -

Производная в экстремуме нулю равна,

Нанананана,

Нанананана

(Научно-технический рэп – Лемма Ферма)

Теорема Ролля. Геометрический и физический смысл:

Теорема: пусть функция дифференцируема на интервале и непрерывна на отрезке , , тогда ,

Доказательство: Функция непрерывна на отрезке , следовательно, по теореме Вейерштрасса, , – наибольшее, – наименьшее.

Рассмотрим 2 случая:

1. 
   и совпадают с
   

Тогда = , так как , тогда на всём промежутке функция является константой ( ), следовательно, (т.к. функция не изменяется на всём интервале)

2. 
   или не совпадает с , следовательно, или , тогда или является экстремумом, а значит производная в данной точке равна нулю.
   

Физический смысл: пусть – время, – координата точки, движущейся по оси . Тогда в моменты времени и точка имеет одну и ту же координату , т.е. занимает на оси одно и то же положение. В промежутке времени от до точка каким-то образом движется и в момент возвращается в исходное положение. Ясно, что для того, чтобы вернуться назад, она должна в некоторый момент времени остановиться, то есть её скорость в этот момент времени равна нулю: . (Вкратце: если мы прошли через одни координаты, то где-то мы развернулись, то есть наша скорость изменила направление, изменив знак, тем самым пройдя через ноль)

Геометрический смысл: если график функции проходит в двух разных местах через одинаковые значения функции, то между этими точками есть касательная, параллельная оси .

Здесь Мишель Ролль, здесь-здесь-здесь Мишель Ролль

На концах отрезка все ровно, значит где-то внутри производная ноль

(Научно-технический рэп – Теорема Ролля)

Теорема Коши. Физический смысл:

Теорема: и – непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , , тогда такая, что

Доказательство: Данное в теореме равенство равносильно равенству (перемножение крест-накрест).

Тогда можно взять такую функцию . Производная данной функции должна быть равна нулю. Так как и – непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , то тоже непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале.

Теперь посмотрим на выполнение теоремы Ролля. Должно быть, что

Как видно . Следовательно, по теореме Ролля, найдётся такая точка , что , .

Мы можем разделить на потому что оно не равно нулю по условию, а , потому что если бы , то нашлась бы точка, в которой производная была бы равна нулю (опять теорема Ролля), а по условию такого быть не должно.

После деления мы как раз получим формулу из теоремы . Теорема доказана.

Физический смысл: Две материальные точки начинают движение и останавливаются в одно и то же время. В какой-то момент отношение мгновенных скоростей равно отношению перемещений.

Теорема Лагранжа. Геометрический и физический смысл. Формула конечных приращений:

Теорема: если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то найдётся такая точка , что выполнится равенство

Доказательство: возьмём формулу из теоремы Коши и примем в качестве функции функцию , то есть . Тогда, подставив обратно в формулу, получим , что и является искомой формулой теоремы Лагранжа.

Вид конечных приращений: если обозначить и возьмём какую-то точку , то получится

Геометрический смысл:

из приращений видно, что в точке касательная параллельна секущей.

Физический смысл: Мгновенная скорость в какой-то момент времени равна средней.

Перелети-переплыви туда-обратно Ла-Манш

Ты не найдёшь никого круче, чем Жозеф Луи Лагранж

Забудут Жоржа Помпиду (кого?), и даже Ассанжа

Но будут помнить и в аду теорему Лагранжа

Перелети-переплыви туда-обратно Ла-Манш

Ты не найдёшь никого круче, чем Жозеф Луи Лагранж

Забудут Жоржа Помпиду (кого?), и даже Ассанжа

Но будут помнить и в аду теорему Лагранжа

(Научно-технический рэп – Теорема Лагранжа)

Условие монотонности функции на отрезке. Условие постоянства функции на отрезке:

Определение: если функция определена на отрезке , то
Функция возрастает на отрезке , если ,
Функция убывает на отрезке , если ,

Замечание: Функция может возрастать (убывать) даже не имея производной ни в одной точке.

Теорема (достаточное условие возрастания (убывания) на отрезке): пусть непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , и для любого будет выполнятся, что , то функция возрастает на отрезке .

Доказательство: возьмём 2 любые точки (точки принадлежат отрезку). Тогда применим теорему Лагранжа к отрезку , так как непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале (так как и либо внутри отрезка , либо равны концам). Тогда, по теореме Лагранжа, найдётся такая точка , что

Так как , то , а следовательно, по условию, . Так как мы взяли, что , то и , следовательно и , откуда получим, что , а значит,

в купе с

Что и является возрастанием на отрезке по определению.

Аналогично доказательство и для убывания.

Теорема о постоянстве на отрезке: пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале и : (константа)

Доказательство: зафиксируем точку и возьмём , тогда на отрезке или выполняется условие теоремы Лагранжа. Тогда или такая, что . Значит , следовательно, функция является постоянной.

Достаточные условия экстремума:

Теорема (первое условие): пусть функция непрерывна в точке и дифференцируема на и (необязательно, чтобы функция была дифференцируема в самой точке ). Тогда , а , то – точка минимума, а если наоборот, точка максимума. (Если при переходе через точку производная меняет знак, то это точка экстремума. Когда с «-» на «+» – точка минимума, когда с «+» на «-» – точка максимума)

Доказательство (для точки максимума): рассмотрим отрезок . Внутри него функция дифференцируема во всех точках, тогда – непрерывна на данном отрезке и дифференцируема на интервале . По условию, производная , значит, функция на данном отрезке возрастает, значит . Аналогично получится, что . То есть, получается, что – точка максимума, ч.т.д.

(Вкратце: если мы отойдём на малое расстояние слева от , то, по условию, производная больше нуля, что значит, что на данном малом отрезке сама функция возрастает. Если же немного отступить от вправо, то там производная будет меньше нуля, что говорит об убывании функции. Отсюда можно заключить, что в самой функция ни возрастает, ни убывает, а – максимальное значение на проколотой окрестности, что и говорит, что она – точка максимума.)

Теорема (второе условие): пусть такова, что в ней существует первая производная и вторая производная (для существования второй производной первая должна быть определена на окрестности точки). Тогда – точка минимума. Если , то – точка максимума. Если , то ничего сказать нельзя.

Доказательство (для случая ):

В (в окрестности точки существует первая производная ).

Тогда, если , то . Значит, возрастает в точке . Тогда существует такое , что для всех выполняется, что , а для , т.е. в первом случае , а во втором .

В самой точке функция непрерывна, так как дифференцируема, что в итоге схоже с первым условием экстремума, а значит в – точка минимума.

(Вкратце: если вторая производная меньше нуля, то первая производная убывает, так как она в точке равна нулю, то первая производная меняет знак с плюса на минус, а значит сама функция переходит из возрастания в убывание, что значит, что в она имеет локальный максимум)

Теория (третье достаточное условие): Тоже самое, что и общая теорема об экстремумах и точках перегиба, см. здесь.

Правило Лопиталя. Случай . Раскрытие неопределённостей различных видов с помощью правила Лопиталя:

Теорема (случай ): пусть есть две функции и , дифференцируемые в проколотой окрестности точки (не включающей в себя саму точку) ( ). При этом . Тогда если существует предел отношения производных, то и существует предел отношения функций , т.е.

Доказательство: Доопределим функции в точке : , , где
и . Тогда эти функции будут непрерывны в .

Теперь возьмём (в проколотой окрестности), где функция определена и дифференцируема. Рассмотрим функции на промежутке или . Тогда на данном отрезке функции непрерывны и дифференцируемы на данном интервале.

Применим теорему Коши. Тогда существует такая точка , что

Так как мы приняли, что и , то получим, что

Устремляем . Так как , то и . Тогда получим

Так как нет разницы, писать ли или (так как это просто буква переменной), а и в любых точках, кроме совпадают с и , что значит, что их пределы равны, то получим окончательно

Случай , и : можно сделать замену: если , то . Тогда получится*

*Если существует предел

Тогда

!ВАЖНО: Правило Лопиталя действует только в одну сторону. Это значит, что перейти от производных к функциям нельзя.

Случай , и :

Случай :

. Если , то это случай . Если , то нет неопределённости (либо предела нет, либо выражение бесконечно большое).

Случай степенно-показательной функции:

даёт неопределённости типов или .

1. 
   
   

Неопределённость типа 2-го замечательного предела.

2. 
   
   

:

1. 
   
   

2. 
   
   

Замечание: Правило Лопиталя можно использовать сколько угодно раз.

Раскрытие неопределённости :

Обозначим , , при

Раскрытие неопределённости :

Раскрытие неопределённости :

V: Формула Тейлора

Формула Тейлора для многочленов:

Рассмотрим произвольный многочлен степени n:

, где – любое фикс. число

Возьмем , тогда:
Это называется разложение по степеням

Пусть , тогда , т. к. все остальные члены обнуляются

Возьмём производные от разложения:

Пусть раз дифференцируема в , тогда:

Правая часть не зависит от

Остаточный член в форме Лагранжа:

Рассмотрим формулу Тейлора в

Обнуляется всё, кроме
В точке
Остаточный член – разность между значением функции и разложением Тейлора

Предположим, что имеет на все производные порядка , а на

– произвольная степень;

зафиксируем и рассмотрим функцию , где будем менять

Возьмем производную (она существует, т.к. на дифференцируема, а производные до порядка непрерывны)

По теореме Ролля:

Мы можем выразить ; подставляя , получим значения

При получается форма Лагранжа:

, где – промежуточная точка между и

Остаточный член в форме Лагранжа:

Формула Тейлора для дифференцируемых функций с остаточным членом в форме Пеано. Единственность разложения:

на имеет непрерывные производные порядка

Это означает, что можно разложить до порядка и записать в форме Лагранжа:

при , следовательно:
Подставим в остаточный член:

Остаточный член стремится к 0 и

- Пеано

Докажем единственность разложения: если два разложения по степеням по Пеано, то они имеют одинаковые коэффициенты:

Доказательство:

Приравняем функции и устремим к , тогда все слагаемые, кроме обнулятся

Получаем, что

делим на и устремляем

Данное действие можно совершать раз; в итоге получим, что

Разложение единственное, ч. т. д.

Формула Маклорена для основных элементарных функций с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа:

Маклорен – формула Тейлора с центром в точке . Она дает представление функции в окрестности точки .

Пеано:
Лагранж:

Основные элементарные функции:

:
Формула Маклорена:
Пеано:
Лагранж: , где

Формула Маклорена: , где – нечётное число
Пеано:
Лагранж: , где

Формула Маклорена: , где – чётное число
Пеано:
Лагранж: , где

Формула Маклорена:
Пеано:
Лагранж: , где

, где – вещественное число =
=
Формула Маклорена:
Пеано:
Лагранж: где

Формула Маклорена:
Пеано:
Лагранж: где

VI: Применение формулы Тейлора

Разложения по формуле Тейлора с помощью в окрестности произвольной точки с помощью стандартных разложений

Алгоритм решения:
1. Производим замену переменной , исходная задача сводится к представлению формулой Маклорена функции до того же порядка , что и исходная функция

2. Решается задача представления формулой Маклорена функции

3. Выполняется обратная замена, т. е.

Пример: по

Вычисление пределов с помощью теоремы Тейлора

Предел функции вида

Пусть

Делим числитель и знаменатель на

Предел функции вида

Выпуклость функции в точке. Достаточное условие.

Определение: функция называется выпуклой в вверх (вниз) в точке , если , такая, что

точки график f(x) лежит не выше (не ниже) касательной, проведенной в

Замечание: выпуклость в точке –локальное свойство функции, речь идет об окрестности. Говорить о выпуклости в точке можно только если функция дифференцируема в этой точке.

Теорема:

Доказательство:

)

)

Т. к. стремится к , а

Всё слагаемое в U( ) график выше касательной

Точки перегиба. Достаточное условие.

(рассмотрим необходимое условие и 2 достаточных)

Определение: точка называется точкой перегиба, если в график переходит через сторону касательной

Теорема: если – т. перегиба и в

Доказательство: ;

Значит, в - меняется выпуклость

Теорема: пусть f(x) имеет в и . Тогда, если в пределах окрестности имеет разные знаки справа и слева от c, то график имеет перегиб в точке

Доказательство: График имеет касательную в т.M. Из того, что имеет разные знаки, вытекает, что направление выпуклости различно

Теорема:пусть имеет в , то график имеет перегиб в

Доказательство: из условия вытекает, что либо возрастает, либо убывает в т.

Т.к. , то , где имеет разные знаки слева и справа имеет перегиб в

Общая теорема об экстремумах и точках перегиба

Теорема: имеет в производных, непрерывна В ; ; а (

Доказательство: в

Выражение в скобках

Всё выражение справа зависит от знака

Если – чётное:

выпуклая вниз

точка минимума

выпуклая вверх

точка максимума

Если – нечётное:

В этом случае меняет знак при переходе через - точка перегиба

VII: Первообразная и неопределенный интеграл

Определение первообразной. Теорема об общем виде первообразной:

– первообразная на промежутке , если
Если речь об отрезках по типу , то в точках имеются односторонние производные

Теорема: - первообразная и (то бишь все первообразные отличаются на константу )

Доказательство: , где – первообразные на промежутке (то есть или отрезок, или интервал, или полуинтервал)
(потому что )
Формула Лагранжа: , где – точка из промежутка , – начало промежутка , а , но , а из этого следует, что – постоянна на (Теорема о постоянстве функции на отрезке)

Неопределенный интеграл. Свойства первообразной и неопределенного интеграла:

определена на , которая имеет первообразные , то неопределенный интеграл – это множество всех первообразных:
Примечание: – дифференциал функции

Свойства первообразных (если имеет первообразную ( ), на одном и том же промежутке ):

1. Линейность:
Доказательство:

2. При :

3.
Запись в виде интеграла:

4. При : Запись в виде интеграла: Но при этом всем поменяется промежуток: ;
Конечный промежуток будет если , и наоборот, если
Пример можно показать на выражении:

5. Определение первообразной в виде интеграла:

6.

7. (Теорема о замене переменной в неопределенном интеграле, см. далее)

Замена переменной в неопределенном интеграле:

Теорема: функция имеет производную на промежутке , также есть функция имеющая первообразную на промежутке , тогда имеет первообразную на промежутке
, где

Доказательство: , тогда найдем
Читаем в обратную сторону: – первообразная для

Пример:

Интегрирование по частям:

, обе имеют производную


Пример:

VIII: Основные методы интегрирования

Интегрирование элементарных (простейших дробей):

Элементарные дроби:
и при , и только они!

1.

2.

3.

4.
Пример:

5.


6.

7.

Интегрирование рациональных дробей:

– непрерывная, делим многочлен на многочлен с остатком

1-ое действие:


2-ое действие:
Теорема:

Доказательство: с действительным коэффициентом:
– корень, – корень, сопряженный с


Любой многочлен с действительными коэффициентами раскладывается на линейный и квадратный многочлены с действительными коэффициентами:
3-ье действие:
: Пример (степень ):

4-ое действие:
Нахождение неопределенных коэффициентов:
1. Приводим к общему знаменателю, приравниваем числители
2. Подставляем корни
3. Приравниваем коэффициенты
Пример:
коэффициенты при :

Интегрирование тригонометрических выражений. Рационализация:

– многочлены; Пример:

1. – нечёт. ст. по , – чёт. ст. по
;
Итоговый интеграл тогда будет от рациональной функции : , а их мы интегрировать умеем (см. предыдущую статью)

Пример:

2. – нечёт. ст. по , – чёт. ст. по
Тот же самый, что первый. Всё сводим к
Примечание: и подходит под второй и первый пункт соответственно, так как сверху степень (нечёт), а снизу степень (чёт)

3. – чёт. ст. по , – нечёт. ст. по (аналогично для )
Домножаем обе части дроби на :
Пример:

4. – чёт. ст. по и || – нечёт. ст. по и
Рационализируется подстановкой

Примечание: лучше делать замену того, чья степень больше, то есть в примере лучше сделать так:

5. – чёт. ст. по , нечёт. ст. по || – нечёт. ст. по , чёт. ст. по
Сводится к 4-му пункту
Пример:

6. Универсальная тригонометрическая подстановка (для любых интегралов типа )
– универсальная тригонометрическая подстановка
Пример:

Вычисление интегралов вида и :

Дальше снова решаем по этой же формуле как , пока не станет либо , либо :


Аналогично для
Дальше снова решаем по этой же формуле как , пока не станет либо , либо :

Интегрирование выражений, содержащих квадратичную иррациональность. Тригонометрические подстановки:

Интегрирование выражений, содержащих квадратичную иррациональность:
1. Пример:


2. – рациональные выражения, содержащие и .
Их можно свести к , где – это , – это

Тригонометрические подстановки:
1-ое действие:
Сводим выражение к определенному виду:
, где порядок знаков может быть только таким
Пример:

2-ое действие (3 случая: , и ):
1) Если получилось выражение типа , тогда делаем одну из следующих подстановок: Тогда можно представить, как , а такие выражения мы доказывали, что вычисляется.

2) Если же получилось выражение типа , делаем следующую подстановку:


3) Однако если получилось , тогда выполняем нижеуказанную подстановку:


3. Когда интегралы такого вида , удобно использовать следующую подстановку:
Пример:

- почему мы пропустили этот шаг и не стали выделять полный квадрат? Все просто: нам не важно, как мы выделяем полный квадрат, потому что то самое коренное выражение и будет. Поэтому мы просто взяли то, что было бы в полном квадрате и просто подставили все в логарифм

Интегрирование выражений вида

Также запишем их в виде , где
Примеры таких дробей:

В данном случае мы находим
, тогда , где


Соответственно, после преобразований, каждый корень перестал быть иррациональным и превратился в рациональное выражение. Из выразится как – рациональная функция и по итогу станет рациональным выражением, которое можно проинтегрировать.
Пример:

Подстановки Эйлера:

Подстановки Эйлера применяются в – рациональные выражения, содержащие и .

I подстановка:
Когда выражение имеет корень, то бишь можно представить
По итогу выразится как – рациональная функция:
Значит – тоже выразится рациональным образом
Пример:

II подстановка:
Когда выражение не имеет корней и (хотя даже в случае, когда имеет – может применяться) По итогу выразится как – рациональная функция:
Пример (длинный логарифм):

Специальное обращение:

Этот документ был сделан за день до экзамена по матанализу. На него ушло в общей сумме 50 человеко-часов. Мы надеемся, раз вы имеете на руках наш документ, что он вам окажется полезен.
При нахождении неточностей – пишите на почту главного редактора [e-mail] или на почту одного из составителей [e-mail].

Специальная благодарность высказывается Соколовой Т. В. – автору лекций – и Ильину В. А. – автору учебника «Математический анализ. Начальный курс».

Также отдельная благодарность высказывается Носову Артему за тайм-коды, по которым составители и ориентировались при создании этого документа.

Отдельное спасибо хочется сказать и Никите Ростовцеву за ведение YouTube-канала и составление тайм-кодов к некоторым лекциям.

Ну и куда же без этого, хотим сказать спасибо своим родным и близким.

Всем спасибо спасибо
спасибо спасибо
спасибо спасибо
спасибо вам большое.

P. S. Большая благодарность Андрею Пьявкину и ошибке Артёма.