Шпоры по дисциплине Высшая математика. 1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический смысл определенного интеграла

• Название: 1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический смысл определенного интеграла
• Анкор: Шпоры по дисциплине Высшая математика
• Дата: 02.08.2021
• Размер: 1 Mb.
• Имя файла: shpory_na_matna_2_sem.docx
• Тип: Документы; #225983
• страница: 4 из 5

32. Общие понятие теории рядов. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда.

Выражение следующего вида: называется рядом, где u₁, u₂, …, u_n, …- члены ряда; u_n- общий член ряда( предполагается, что зависимость от n определена).

Сумма n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда, а выражение R_n=u_n+1+u_n+2+…= - n-м остатком ряда.

Свойства числовых рядов: 1) если к ряду прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд сходятся или расходятся одновременно;

2) если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд , где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд расходится и с≠0, то и ряд раасходится;

3) если и сходятся, а их суммы равны S₁ и S₂ соответственно, то сходится и ряды , причем ;

4)члены сходящегося ряда можно группировать произвольным образом, не переставляя их местами.

Необходимый признак сходимости ряд. Если числовой ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е.

33. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Признаки сравнения.

Признак даламбера : если то при 0 ≤ l <1 ряд (А) сходится, при l >1 ряд расходится, при l =1вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Интегральный признак Коши

Пусть члены ряда (А) могут быть представлены как значения

некоторой неотрицательной, непрерывной, убывающей на промежутке [1, + ∞) функции f (х): a1 = f (1), a2 = f (2), ..., an = f (n), ...

Тогда ряд (А) и несобственный интеграл

сходятся (или расходятся) одновременно.

Непредельный признак сравнения. Пусть an ≤ bn для всех n

или начиная с некоторого номера. Тогда из сходимости ряда (В)

следует сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) – расходи-

мость ряда (В).

Предельный признак сравнения. Если существует конечный и

отличный от нуля предел то ряды (А) и (В) сходятся (или расходятся) одновременно.

Замечание. Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражения вида n! или .

34. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Интегральный признак Коши . Степенной признак сравнения.

Интегральный признак Коши



Пусть члены ряда (А) могут быть представлены как значения некоторой неотрицательной, непрерывной, убывающей на промежутке 1, функции f (х): a₁ f (1), a₂f (2), ..., a_nf (n), ...

Тогда ряд (А) и несобственный интеграл сходятся (или расходятся) одновременно.
Признаки сравнения

Наряду с рядом (А) рассмотрим ряд:


Непредельный признак сравнения. Пусть a_n ≤ b_n для всех n или начиная с некоторого номера. Тогда из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) – расходи-

мость ряда (В).

Предельный признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел


то ряды (А) и (В) сходятся (или расходятся) одновременно.

1) с рядом геометрической прогрессии который сходится при q <1;

2) гармоническим рядом который расходится;

3) обобщенным гармоническим рядом сходится при (α>1 и расходится при α1).)

35 .Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница:

Числовой ряд , где называется знакочередующимся.

Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Если для знакочередующегося ряда выполнены условия:

1. 
   Модули членов ряда монотонно убывают:
   
2. 
   Предел общего члена ряда равен нулю: ,то ряд сходится и его сумма не превосходит первого члена а остаток ряда удовлетворяет неравенству
   

Ряды, для которых выполняется признак Лейбница, называются рядами Лейбница (лейбницевского типа).

36. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда: если сходится ряд , составленный из модулей членов знакопеременного ряда , то сходится и знакопеременный ряд

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится. Условно сходящийся – если сам ряд сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Абсолютно сходящиеся ряды обладают не только всеми свойствами сходящихся рядов, но и дополнительно свойствами сумм конечного числа слагаемых. Такие ряды можно:1)перемножать 2)переставлять местами члены ряда 3)подставлять «ряд в ряд»
37. Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом



Теорема Абеля.

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом

Е сли степенной ряд сходится при то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству ; если же ряд расходится при , то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству .

38. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.

Пусть функция () f x определена и дифференцируема в окрестности точки a любое число раз. Рядом Тейлора для функции ()y fx= в окрестности точки x a = называется ряд вида

В частности, при а=0 получаем ряд Маклорена:

Чтобы получить разложение функции () f x в ряд Тейлора, нужно вычислить значения данной функции и всех ее производных в точке , a т. е. найти ( ), f а ( ), f а ′ ( ),..., f а ′′ и записать формально ее ряд Тейлора по формуле. Затем найти область сходимости полученного ряда и выяснить, в каких точках из области сходимости суммой ряда будет ( ).

Если в некоторой окрестности заданной точки функция раскладывается в степенной ряд, то это разложение единственно

39. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.













40. Приближённое решение дифференциальных уравнений:

Приближенное вычисление значений функций. Пусть дан степенной ряд функции y=f(x). Задача вычисления значения этой функции при x=x₀ заключается в отыскании суммы ряда с заданной точностью ε > 0, которую можно достичь путем оценивания остатка числового ряда, ограничиваясь определенным числом членов ряда.

Приближенное вычисление определенных интегралов. Степенные ряды применяются для приближенного вычисления определенных интегралов в случаях, если первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции или нахождение первообразной сложно. Если подынтегральная функция f(x) разложима в степенной ряд по степеням x и интервал сходимости (−R, R) включает в себя отрезок интегрирования [a, b], то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда.
В случае, когда точное решение задачи Коши для ДУ в элементарных функциях не представляется возможным или оказывается очень сложным, это решение(если оно представимо) удобно искать в виде степенного ряда.

40.При решении задачи Коши используем ряд Тейлора:



Где а остальные производные ) находят путем последовательного дифференцирования уравнения и подстановки начальных данных в выражения для этих производных.

41. Дискретное вероятностное пространство.

В дискретном вероятностном пространстве, связанном с данным случайным экспериментом, множество возможных элементарных событий не более чем счетно; вероятности элементарных событий заданы( P(ω₁)=p₁,…), причем p_i≥0 и ( условие контроля). Множество Ω- достоверное событие. Под случайным событием А= понимается совокупность элементарных событий , называемых элементарными исходами, благоприятствующими появлению события А: . Событие, не содержащее ни одного элементарного исхода, называется невозможным.

Вводятся следующие операции над событиями:

1)суммой А+В событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В (или А, или В, или оба)

2) произведением А*В=АВ событий А и В называется событие С=АВ, состоящее в том, что в результате случайного эксперимента произошли и событие А, и событие В.

Два события А и называются противоположными, если и , то есть в данном случайном эксперименте они несовместны и одно из них обязательно происходит.


42. Классическое вероятностное пространство. Геометрическая вероятность.

В приложениях ТВ широко используется понятие геометрической вероятности. СЭ заключается в том, что исследуемая точка

случайным образом (наудачу) появляется в любой точке заданного измеримого геометрического множества Ω. Событие A состоит в том,

что исследуемая точка появляется в подмножестве A множества Ω:

A ⊂ Ω. Если S – геометрическая мера (длина, площадь, объем) всей

области, а SA – геометрическая мера части этой области, попадание в

которую благоприятствует появлению данного события А, то вероят-

ность этого события определяется формулой

Классическое определение вероятности. Пусть с СЭ связано

конечное число n равновозможных элементарных исходов. Тогда вероятность P(А) события А, связанного с данным СЭ, определяется формулой


43. 44. Теоремы сложения, умножения вероятностей. Несовместные, независимые события.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий за вычетом вероятности их произведения: для любых событий А и В: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Теорема сложения вероятностей несовместных событий: P(A+B)=P(A)+P(B), если А и В – несовместны, в частности ,Р(А)+Р( )=1.

Вероятность Р(А│В) появление в СЭ события А, если известно, что в этом СЭ произошло событие В,- условная вероятность- определяется соотношением Р(А|В)= .

Отсюда следует теорема умножения вероятностей: Р(АВ)=Р(А)Р(В|А)=Р(В)Р(А|В).

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не зависит от появления другого, точнее, Р(А|В)=Р(А), P(B|A)=P(B). В противном случае события А и В называются зависимыми.

Теорема умножения вероятностей независимых событий: P(AB)=P(A)P(B), если А и В независимы.

45. Формула полной вероятности. События А₁, А₂, …, А_n образуют полную группу для данного СЭ, если: 1) A_iA_j =∅ для i ≠ j;

2) А₁ + А₂ + …+ А_n = Ω, т. е. а) они попарно несовместны и б) в результате СЭ обязательно появится одно из них.

Для одного и того же СЭ можно рассматривать различные полные группы событий, например события А и A, где А – любое событие, связанное с СЭ, всегда образуют полную группу событий. Если событие А может наступить при появлении одного из n попарно несовместных событий (гипотез) H₁, H₂ , …, H_n , образующих полную группу событий, то вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности: P(A)=P(H₁)P(A|H₁)+P(H₂)P(A|H₂)+…+P(H_n)P(A|H_n), причем P(H₁)+ P(H₂)+…+ P(H_n)=1.

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез P(H₁), P(H₂), …, P(H_n).

По теореме умножения вероятностей P(AB₁)=P(B₁)P(A|B₁)=P(A)P(B|A), откуда

Аналогично, для остальных гипотез .

Полученная формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез P(B_i|A) называются 

апостериорными вероятностями, тогда как P(B_i) - априорными вероятностями.