санмпир. Двойной интеграл определение. Рассмотрим функцию или, определенную в некоторой замкнутой области
 Скачать 0.86 Mb.
|
|
Управление социальными системами Математика Двойные интегралы ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛОпределение. Рассмотрим функцию или ,определенную в некоторой замкнутой области .Разобьем область какими-нибудьлиниями на областей ,которые могут пересекаться только посвоим границам.Обозначим площадь областичерез , тогдагде площадь области . В каждой из областейвыберем произвольным образом точку .Вычислим значение функции в точке .Определение 1. Сумма вида называется двойной интегральной суммой для функции в области Число называется диаметром разбиения области . двойной интегральной суммыпри стремлении диаметра разбиения к нулю и этот предел не зависит ни от способа разбиения области на части, ни от выбора в них промежуточных точекто этот предел называетсядвойным интегралом от функции по области, а сама функция называетсяинтегрируемой в области .Для двойного интеграла используется следующее обозначение:Достаточное условие существования двойного интеграла
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛАФункция непрерывна в области Тогда в формуле Слагаемое представляет собой объем цилиндрического тела с основанием площадь . которого , высота . ,как сумма объемов указанных элементарных цилиндров,равна объему некоторого ступенчатого цилиндрического тела.Тогда пределсовпадает с объемом тела ,ограниченного снизуобластью , сверху – поверхностью ,сбоку цилиндрической поверхностью, образующие которойпараллельны оси , а направляющей служит границаобласти .не сохраняет знак в области ,то двойной интегралс геометрической точки зрения интерпретируюткак алгебраическую сумму объемов, учитываемыхсо знаком + или в зависимости от того,лежит ли поверхность выше или ниже,соответственно, плоскости .На двойные интегралы переносятся все основные свойства обыкновенного (однократного) определенного интеграла.Свойство 1. Пусть функция интегрируема в области , где и пересекаются только по своим границам. Тогда функция интегрируема отдельно в и в , причем справедливо равенство:Свойство 1. Пусть функция интегрируема в областии область разбита на две подобласти областипересечение которых пусто. Тогда справедливо равенство Свойство 2. Если функции интегрируемы в области , то в будут интегрируемы также следующие функции:причемСвойство 3. Если функцииинтегрируемы в области и, то имеет местоСвойство 4. Если функция интегрируема вобласти и для , тоСвойство 5.Свойство 6.Объем цилиндрического тела Теорема о среднем значенииТеорема. Если функциятогда найдется хотя бы одна точка,в которой выполняется следующее равенство:ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТО п р е д е л е н и е . Замкнутая область называетсяправильной в направлении оси (оси ), если любаяпрямая, проходящая через внутреннюю точку области ипараллельная оси (оси ), пересекает границу этойобласти только в двух точках.ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТПростейшие области интегрирования – криволинейные трапеции:Повторный интегралпричем на отрезке функции- правильная в направлении OY.ФункцияТогда для каждогонепрерывна на отрезке , следовательно, интегрируемаПовторный интегралТогда существует интеграл, называемый повторным интеграломдля которого используетсяобозначениеИнтеграл называется внутренним интеграломТеорема. Пусть область ограничена линиямипричем на отрезкеПусть функцияТогда справедливо равенствопричем на отрезке функцииФункция непрерывна в замкнутой области .ТогдаПримеры вычисления двойного интегралаПример 1. Вычислить двойной интеграл:Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:,Таким образом:По формуле Ньютона-Лейбница, найдёмвнутренний интеграл:Примеры вычисления двойного интеграла. Пример 2Вычислить Решение. Изобразим область интегрирования: 1 способ: внешний интеграл по x, внутренний – по y. Необходимо разделить область на две части, при этом необходимо будет вычислить следующие интегралы: Пример 2 (продолжение)Пример 2 (продолжение)2 способ. Поменяем порядок интегрирования: внешний интеграл по y, внутренний – по x.Экзамен по математике
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
|