18. Понятие двойного интеграла. Основные определения. Свойства. Замена переменных в двойном интеграле. Приложения двойного интеграла

Название	18. Понятие двойного интеграла. Основные определения. Свойства. Замена переменных в двойном интеграле. Приложения двойного интеграла
Дата	27.09.2022
Размер	0.74 Mb.
Формат файла
Имя файла	18-20.docx
Тип	Документы #700426

18. Понятие двойного интеграла. Основные определения. Свойства. Замена переменных в двойном интеграле. Приложения двойного интеграла.

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл, а на случай функций трех переменных – тройной интеграл. Пусть в замкнутой области D плоскости Oxy задана непрерывная функция z = f (x, y) .

Разобьем область D на n элементарных областей Di (i = ,1 n ), площади которых обозначим через

, а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) – через di. В каждой области Di выберем произвольную точку

, после чего составим сумму

∆

+ ∆

+…+ ∆

которая называется интегральной суммой для функции f (x, y) в области D. Обозначим через d наибольший из диаметров областей Di . Тогда стремление d к нулю будет означать измельчение разбиения области D на элементарные области Di (и, как следствие, стремление n к ∞ )

Если существует конечный предел интегральной суммы при d → 0, не зависящий от способа разбиения на области Di и выбора точек Mi в них, то этот предел называется двойным интегралом от функции f (x, y) по области D и обозначается

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

В этом случае функция f (x, y) называется интегрируемой в области D; D – область интегрирования, dS ( dxdy ) – элемент площади.

Основные свойства двойного интеграла:

1. Линейность. Если функции f (x, y) и g(x, y) непрерывны на области D, то

± )dxdy= ±

(β и α – постоянные числа)

2. Монотонность. Если функции f (x, y) и g(x, y) непрерывны на области D и всюду в этой области f (x, y) ≤ g(x, y) , то

≤

3. Теорема о среднем значении. Если функция f (x, y) непрерывна на области D, то существует точка

∈ D такая, что

При этом значение

т.е. число 1/S

, называется интегральным средним значением функции f (x, y) в области D.

4. Аддитивность. Если область D представляется в виде объединения двух областей D1 и D2 без общих внутренних точек, то

5. Для любой функции f (x, y) непрерывной на области D имеет место неравенство

≤

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (как это делается и при вычислении определенного интеграла), т.е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.

Определим преобразование независимых переменных x и y (замену переменных) как

x = ϕ(u,v) и y = ψ(u,v)

Если данные функции имеют в некоторой области D* плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

а функция f (x, y) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:

Функциональный определитель называется определителем Якоби или якобианом.

Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат x и y полярными координатами ρ и ϕ. В качестве u и v возьмем полярные координаты ρ и ϕ. Они связаны с декартовыми координатами формулами x = ρcosϕ, y = ρsinϕ.

Правые части в этих равенствах – непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется как

Формула замены переменных принимает вид:

= cos , sin )

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к повторному интегралу.

cos , sin ) = cos , sin d

Внутренний интеграл берется при постоянном ϕ .

Приложения двойного интеграла

1.Если D – ограниченная область плоскости Oxy, то ее площадь S вычисляется по формуле: S=S(D)=

2.Пусть z = f (x, y) − неотрицательная, непрерывная функция в замкнутой области D. Если V – тело, ограниченное сверху поверхностью z = f (x, y), снизу – областью D, а сбоку – соответствующей цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси Oz и направляющей, совпадающей с границей области D, то объем этого тела равен

S=

4. Предположим, что плоская пластина D имеет поверхностную плотность распределения масс γ(x, y) непрерывную в D. Тогда масса m этой пластины вычисляется по формуле

m=

5. Статические моменты материальной пластины D с поверхностной плотностью γ(x, y) относительно координатных осей Ox, Oy и координаты ее центра тяжести соответственно вычисляются по формулам:

= , = ,

= =

6. Моменты инерции плоской материальной пластины D с поверхностной плотностью γ(x, y) относительно координатных осей Ox, Oy и начала координат O(0,0) соответственно вычисляются по формулам:

, ,

19. Понятие тройного интеграла. Основные определения. Свойства тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле. Приложения тройного интеграла.

Определение тройного интеграла аналогично определению двойного интеграла. Пусть в замкнутой области V пространства Oxyz определена и непрерывна функция трех переменных u = f (x, y,z). Разбив область V на n частей Vi (i = ,1 n ) и выбрав в каждой из них произвольную точку

, составим интегральную сумму

∆

Если существует конечный предел интегральной суммы при d → 0 (здесь d – наибольший из диаметров областей Vi ), не зависящий от разбиения пространственной области на части Vi и выбора точек Mi в них, то этот предел называется тройным интегралом от функции f (x, y,z) по области V и обозначается

f (x,y,z)dxdydz . Таким образом, тройной интеграл определяется равенством

f (x,y,z)dxdydz=

Свойства тройного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла.

1. Линейность. Если функции f (x, y,z) и g(x, y,z) непрерывны в области V, то

± βg(x,y,z))dxdydz= dxdydz ± dxdydz,

(

и β - постоянные числа)

В частности, т.е. постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла.

2. Монотонность. Если функции f (x, y,z) и g(x, y,z) непрерывны в области V и всюду в этой области f (x, y,z) ≤ g(x, y,z) , то

dxdydz ≤ dxdydz

3. Теорема о среднем значении. Если функция f (x, y,z) непрерывна в области V, то существует точка M0 (x0 , y0 ,z0 ) ∈V такая, что

dxdydz= )*V

4. Аддитивность. Если область V представляется в виде объединения двух областей V1 и V2 без общих внутренних точек, то

dxdydz= dxdydz+ dxdydz

5. Для любой функции ( f (x, y,z)) непрерывной в области V имеет место неравенство

≤

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто применяется метод подстановки, т.е. совершается преобразование переменных. Пусть совершена подстановка x = ϕ(u,v,w), y = ψ(u, v, w), z = χ(u, v, w) . Если эти функции имеют в некоторой области

пространства Ouvw непрерывные частные производные и отличный от нуля определитель

то справедлива формула замены переменных в тройном интеграле:

dxdydz=

ϕ(u,v,w), ψ(u, v, w), χ(u, v, w))*

dudvdw

Здесь I(u,v,w) − определитель Якоби, или якобиан преобразования.

Далее приведем некоторые приложения тройных интегралов.

1.Объем V тела V находится по формуле:

V= =

2.Масса m тела V с заданной плотностью γ(x, y,z) , где функция γ(x, y,z) непрерывна, вычисляется по формуле:

m= dxdydz

(физический смысл тройного интеграла).

3.Статические моменты M xy M xz M yz , , тела V относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz и координаты центра тяжести соответственно равны

= dxdydz, = dxdydz, = dxdydz,

= /m, = /m, = /m.

4. Моменты инерции Jxy Jxz Jyz тела V с плотностью γ(x, y,z) относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz вычисляются по формулам

dxdydz,

dxdydz.

Моменты инерции

тела V с плотностью γ(x, y,z) относительно координатных осей Ox, Oy, Oz находятся по формулам

dxdydz, dxdydz, dxdydz.

20. Понятие криволинейного интеграла первого рода. Свойства криволинейного интеграла первого рода. Способы вычисления.

Пусть АВ – дуга гладкой кривой L и пусть задана функция f (M), непрерывная в каждой точке М дуги АВ. Разобьем произвольно дугу на n частей точками

. Обозначим ∆li - длины частичных дуг

(i=1,2,…,n) и выберем на каждой из них по одной произвольной точке

. Вычислим значение функции в этих точках и составим сумму

f( ) ∆ +f( ) ∆ +…+f( ) ∆ = ,

которая называется интегральной суммой функции f(M) по дуге АВ. Очевидно, что данная сумма зависит от способа разбиения дуги АВ и от способа выбора точек Рi , поэтому можно составить бесчисленное множество различных интегральных сумм. Однако, при стремлении числа n к бесконечности и при стремлении наибольшей из длин частичных дуг max

к нулю, все эти различные интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу.

Итак, если при max

→ 0 i l интегральная сумма

имеет определенный конечный предел, не зависящий от способа разбиения дуги АВ и от способа выбора точек Рi ∈

, то этот предел называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции f(M) по дуге АВ и обозначается

Основные свойства :

1)

- длина дуги АВ.

2)

, то есть данный интеграл не зависит от ориентации кривой.

3)

, где

(P),

(P), функции, интегрируемые на кривой L, c1 c2 – произвольные числа

4)

, где L = L1 ⊕ L2

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода:

Пусть кривая L на плоскости Oxy задана параметрическими уравнениями L : x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β , где x(t), y(t) непрерывно дифференцируемые функции. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Если гладкая кривая L задана параметрическими уравнениями x= x(t), y=y(t), ), α ≤ t ≤ β и функция f(x,y) является непрерывной на L, то существует криволинейный интеграл