18. Понятие двойного интеграла. Основные определения. Свойства. Замена переменных в двойном интеграле. Приложения двойного интеграла
Скачать 0.74 Mb.
|
18. Понятие двойного интеграла. Основные определения. Свойства. Замена переменных в двойном интеграле. Приложения двойного интеграла. Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл, а на случай функций трех переменных – тройной интеграл. Пусть в замкнутой области D плоскости Oxy задана непрерывная функция z = f (x, y) . Разобьем область D на n элементарных областей Di (i = ,1 n ), площади которых обозначим через , а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) – через di. В каждой области Di выберем произвольную точку , после чего составим сумму ∆ + ∆ +…+ ∆ = которая называется интегральной суммой для функции f (x, y) в области D. Обозначим через d наибольший из диаметров областей Di . Тогда стремление d к нулю будет означать измельчение разбиения области D на элементарные области Di (и, как следствие, стремление n к ∞ ) Если существует конечный предел интегральной суммы при d → 0, не зависящий от способа разбиения на области Di и выбора точек Mi в них, то этот предел называется двойным интегралом от функции f (x, y) по области D и обозначается Таким образом, двойной интеграл определяется равенством В этом случае функция f (x, y) называется интегрируемой в области D; D – область интегрирования, dS ( dxdy ) – элемент площади. Основные свойства двойного интеграла: 1. Линейность. Если функции f (x, y) и g(x, y) непрерывны на области D, то ± )dxdy= ± (β и α – постоянные числа) 2. Монотонность. Если функции f (x, y) и g(x, y) непрерывны на области D и всюду в этой области f (x, y) ≤ g(x, y) , то ≤ 3. Теорема о среднем значении. Если функция f (x, y) непрерывна на области D, то существует точка ∈ D такая, что При этом значение т.е. число 1/S , называется интегральным средним значением функции f (x, y) в области D. 4. Аддитивность. Если область D представляется в виде объединения двух областей D1 и D2 без общих внутренних точек, то 5. Для любой функции f (x, y) непрерывной на области D имеет место неравенство ≤ Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (как это делается и при вычислении определенного интеграла), т.е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла. Определим преобразование независимых переменных x и y (замену переменных) как x = ϕ(u,v) и y = ψ(u,v) Если данные функции имеют в некоторой области D* плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель а функция f (x, y) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле: Функциональный определитель называется определителем Якоби или якобианом. Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат x и y полярными координатами ρ и ϕ. В качестве u и v возьмем полярные координаты ρ и ϕ. Они связаны с декартовыми координатами формулами x = ρcosϕ, y = ρsinϕ. Правые части в этих равенствах – непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется как Формула замены переменных принимает вид: = cos , sin ) Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к повторному интегралу. cos , sin ) = cos , sin d Внутренний интеграл берется при постоянном ϕ . Приложения двойного интеграла 1.Если D – ограниченная область плоскости Oxy, то ее площадь S вычисляется по формуле: S=S(D)= 2.Пусть z = f (x, y) − неотрицательная, непрерывная функция в замкнутой области D. Если V – тело, ограниченное сверху поверхностью z = f (x, y), снизу – областью D, а сбоку – соответствующей цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси Oz и направляющей, совпадающей с границей области D, то объем этого тела равен S= 4. Предположим, что плоская пластина D имеет поверхностную плотность распределения масс γ(x, y) непрерывную в D. Тогда масса m этой пластины вычисляется по формуле m= 5. Статические моменты материальной пластины D с поверхностной плотностью γ(x, y) относительно координатных осей Ox, Oy и координаты ее центра тяжести соответственно вычисляются по формулам: = , = , = = 6. Моменты инерции плоской материальной пластины D с поверхностной плотностью γ(x, y) относительно координатных осей Ox, Oy и начала координат O(0,0) соответственно вычисляются по формулам: , , 19. Понятие тройного интеграла. Основные определения. Свойства тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле. Приложения тройного интеграла. Определение тройного интеграла аналогично определению двойного интеграла. Пусть в замкнутой области V пространства Oxyz определена и непрерывна функция трех переменных u = f (x, y,z). Разбив область V на n частей Vi (i = ,1 n ) и выбрав в каждой из них произвольную точку , составим интегральную сумму ∆ Если существует конечный предел интегральной суммы при d → 0 (здесь d – наибольший из диаметров областей Vi ), не зависящий от разбиения пространственной области на части Vi и выбора точек Mi в них, то этот предел называется тройным интегралом от функции f (x, y,z) по области V и обозначается f (x,y,z)dxdydz . Таким образом, тройной интеграл определяется равенством f (x,y,z)dxdydz= Свойства тройного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла. 1. Линейность. Если функции f (x, y,z) и g(x, y,z) непрерывны в области V, то ± βg(x,y,z))dxdydz= dxdydz ± dxdydz, ( и β - постоянные числа) В частности, т.е. постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла. 2. Монотонность. Если функции f (x, y,z) и g(x, y,z) непрерывны в области V и всюду в этой области f (x, y,z) ≤ g(x, y,z) , то dxdydz ≤ dxdydz 3. Теорема о среднем значении. Если функция f (x, y,z) непрерывна в области V, то существует точка M0 (x0 , y0 ,z0 ) ∈V такая, что dxdydz= )*V 4. Аддитивность. Если область V представляется в виде объединения двух областей V1 и V2 без общих внутренних точек, то dxdydz= dxdydz+ dxdydz 5. Для любой функции ( f (x, y,z)) непрерывной в области V имеет место неравенство ≤ При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто применяется метод подстановки, т.е. совершается преобразование переменных. Пусть совершена подстановка x = ϕ(u,v,w), y = ψ(u, v, w), z = χ(u, v, w) . Если эти функции имеют в некоторой области пространства Ouvw непрерывные частные производные и отличный от нуля определитель то справедлива формула замены переменных в тройном интеграле: dxdydz= ϕ(u,v,w), ψ(u, v, w), χ(u, v, w))* dudvdw Здесь I(u,v,w) − определитель Якоби, или якобиан преобразования. Далее приведем некоторые приложения тройных интегралов. 1.Объем V тела V находится по формуле: V= = 2.Масса m тела V с заданной плотностью γ(x, y,z) , где функция γ(x, y,z) непрерывна, вычисляется по формуле: m= dxdydz (физический смысл тройного интеграла). 3.Статические моменты M xy M xz M yz , , тела V относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz и координаты центра тяжести соответственно равны = dxdydz, = dxdydz, = dxdydz, = /m, = /m, = /m. 4. Моменты инерции Jxy Jxz Jyz тела V с плотностью γ(x, y,z) относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz вычисляются по формулам dxdydz, dxdydz, dxdydz. Моменты инерции тела V с плотностью γ(x, y,z) относительно координатных осей Ox, Oy, Oz находятся по формулам dxdydz, dxdydz, dxdydz. 20. Понятие криволинейного интеграла первого рода. Свойства криволинейного интеграла первого рода. Способы вычисления. Пусть АВ – дуга гладкой кривой L и пусть задана функция f (M), непрерывная в каждой точке М дуги АВ. Разобьем произвольно дугу на n частей точками . Обозначим ∆li - длины частичных дуг (i=1,2,…,n) и выберем на каждой из них по одной произвольной точке . Вычислим значение функции в этих точках и составим сумму f( ) ∆ +f( ) ∆ +…+f( ) ∆ = , которая называется интегральной суммой функции f(M) по дуге АВ. Очевидно, что данная сумма зависит от способа разбиения дуги АВ и от способа выбора точек Рi , поэтому можно составить бесчисленное множество различных интегральных сумм. Однако, при стремлении числа n к бесконечности и при стремлении наибольшей из длин частичных дуг max к нулю, все эти различные интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу. Итак, если при max → 0 i l интегральная сумма имеет определенный конечный предел, не зависящий от способа разбиения дуги АВ и от способа выбора точек Рi ∈ , то этот предел называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции f(M) по дуге АВ и обозначается Основные свойства : 1) - длина дуги АВ. 2) , то есть данный интеграл не зависит от ориентации кривой. 3) = , где (P), (P), функции, интегрируемые на кривой L, c1 c2 – произвольные числа 4) = , где L = L1 ⊕ L2 Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода: Пусть кривая L на плоскости Oxy задана параметрическими уравнениями L : x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β , где x(t), y(t) непрерывно дифференцируемые функции. Имеет место следующая теорема. Теорема 1. Если гладкая кривая L задана параметрическими уравнениями x= x(t), y=y(t), ), α ≤ t ≤ β и функция f(x,y) является непрерывной на L, то существует криволинейный интеграл , причем dt Отметим, что если кривая L задана в трехмерном пространстве, то dt Если кривая L задана уравнением y = y(x), a ≤ x ≤ b , где y(x) непрерывно дифференцируемая функция на отрезке [a, b], то следует dx Пусть кривая L задана на плоскости полярным уравнением L: r = r (ϕ), ≤ ϕ ≤ где функция r (ϕ) непрерывно дифференцируема на отрезке [ ] . Тогда можно получить ) dϕ Действительно, принимая за параметр t угол ϕ и с учетом формул x= , y= , найдем dϕ= d = dϕ |