1. Несобственные интегралы и их свойства. Опр
 Скачать 0.76 Mb.
|
|
1.Несобственные интегралы и их свойства. Опр.: Пусть ф-ция определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке содержащемся в этом промежутке. Величина , если указанный предел существует, называется несобственным интегралом Римана от ф-ции по промежутку (НИ-1) Опр.: Пусть ф-ция определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке. Величина , если указанный предел существует, называется несобственным интегралом от ф-ции по промежутку (НИ-2) Теорема 1: Пусть и функции определенные на промежутке , интегрируемы на любом отрезке , и для них определены несобственные интегралы . Тогда 1) Если и , то значения интеграла понимаемого как в несобственном, так и в собственном смысле, совпадают. 2)При любых функция интегрируема в несобственном смысле на и справедливо равенство 3) Если , то 4) Если - гладкое, строго монотонное отображение, причем и при, то несобств. интеграл от функции существует и справедливо равенство Док-во: 1) Следует из непрер. Функции Ф(b)= ∫ab f(x)dx на отрезке [a;ω]. 2) следует из того, что при b ϵ [a; w) 3) Следует из равенства Справедливого при любых b,c ϵ [a; w). 4) Следует из формулы замены переменной в определенном интеграле. Теорема 2. Если f,g €C1[a; w) и существует предел lim(f(x)•g(x))(x→w), то функции f•g' и f'•g одновременно интегрируемы или не интегрируемы в несобственном смысле на [a; w) и в случае интегрируемости справедливо равенство = f (x)•g(x)|wa-,где f(x) • g(x)|wa = lim f (x)•g(x) - f(a)•g(a) (x→w). 2. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Сходимость несобственного интеграла равносильна существованию предела функции при Теорема: Если функция определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке , то интеграл сходится тогда и только тогда, когда для любого можно указать так, что при любых таких, что , имеет место соотношение Доказательство: Поскольку , то выписанное условие есть критерий Коши существования предела функции при 3. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Признак сравнения сходимости НИ. Опр.: Несобственный интеграл (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл (2). Функции, для которых интеграл абсолютно сходится, называются абсолютно интегрируемыми на промежутке с концами Теорема: Абсолютно сходящийся несобственный интеграл является сходящимся. Доказательство. Ввиду того, что задан несобственный интеграл (1), сужение функции интегрируемо по Риману на любом отрезке . Отсюда по св-ву модуля определенного интеграла устанавливаем, что . Несобственный интеграл сходится. Тогда по критерию Коши сходимости несобственного интеграла Из приведенных выше соотношений по критерию Коши следует, что несобственный интеграл сходится. Следствие 1: Если НИ (1) расходится, то расх и НИ (2). Опр: Если НИ (1) сходится, а НИ (2) расх, то НИ (1) называется условно сходящимся. Теорема 5. Если функция f(x) определена на [a;w), интегрируема на каждом отрезке [a;b] €[a;w)иf(x)>=0 на [a;w), то несобственный интеграл (1) сходится тогда и только тогда, когда функция ограничена [a;w). Доказательство. Действительно, если f(x)>= 0на [a;w),то функция неубывающая на [a;w)и потому она имеет предел при b→w,b€[a;w)если и только если она ограничена. □ Теорема 6 (признак сравнения). Пусть функции f(x),g(x) определены на промежутке [a;w), неотрицательны и интегрируемы на любом отрезке [a;b] €[a;w). Если функция f(x) ограничена по сравнению с функцией g(x) при x→w, то: а) из сходимости интеграла следует сходимость интеграла ; б) из расходимости интеграла следует расходимость интеграла . Док-во: То, что f(x)=O(g(x)) при x→w, означает наличие некоторого числа ῆ ϵ [a;w), при котором справедливо соотношение f(x)≤L g(x), A xϵ [ῆ; w), где L – нек. пол.пост. Определенные интегралы F(b)=и G(x)= где bϵ[ῆ;w) на основании свойств интегрирования неравенств и линейности, а также оценки f(x)≤L g(x), A xϵ [ῆ; w) связаны соотношением f(b)≤L g(b), A bϵ [ῆ; w). а) Пусть интеграл сходится. А значит и сходится интеграл . Сужение функции g(x) на промежуток [ῆ; w) знакоположительно на нем, и по теореме 5 функция G(b) ограничена сверху на [ῆ; w). Учитывая, что L - вещ. полож. число, из неравенства f(b)≤L g(b), A bϵ [ῆ; w) следует ограниченность на [ῆ; w) знакоположительной функции F(b). Следовательно (на осн.теоремы5) несобственный интеграл сходится. Поскольку = +, а интеграл определенный, заключаем, что сходится. б) Пусть несобственный интеграл расходится. Допустим противное, что интеграл сходится. Однако, если интеграл сходится, то по доказанному выше несобственный интеграл является сходящимся. Получили противоречие. 4.Предельный признак сравнения Следствие 2 (предельный признак сравнения). Пусть функции f(x),g(x) неотрицательны на полуинтервале [a;w),g(x) ≠ 0 для любого x€[a;w) и существует (3.20) Тогда: а) если интеграл сходится и 0<=к <+oo, то интеграл также сходится; б) если интеграл расходится и 0 < к <= +oo, то интеграл также расходится. В частности, если f(x)иg(x) эквивалентные при x→w функции, то интегралы (3) и (4) сходятся или расходятся одновременно. Доказательство. Из выполнения условия для k, удовлетворяющего условию 0 ≤ k < +∞, следует, что существует такое η ∈ [a; ω), что если η < x < ω, то а это значит, что f (x) = O (g(x)) , x → ω. Поэтому утверждение а) следствия непосредственно следует из утверждения а) теоремы 6. Пусть теперь условие (3.20) выполнено при некотором k, удовлетворяющем условию 0 < k ≤ +∞. Тогда для любого k1 ∈ (0; k) существует такое η ∈ [a; ω), что если η < x < ω, то >k1 или g(x)<). Это и означает, что g(x) = O( f (x)) , x → ω . Поэтому утверждение б) следствия непосредственно следует из утверждения б) теоремы 6. 5. Достаточное условие сходимости. Признак Дирихле. Теорема: Пусть:
Тогда сходится интеграл (1) Доказательство: Заметим, что ф-ция непрерывна, а значит и интегрируема по Риману на любом отрезке и поэтому можно говорить о НИ (1) Проинтегрировав по частям произведение на [a;b], получим (2) Исследуем правую часть при . В силу ограниченности функции M=sup|F(x)|<. Из условий 2 и 3 следует, что функция не отрицательна для всех , в частности , поэтому , кроме того в силу условия 3, . Далее из убывания ф-ции следует, что при, поэтому Таким образом, интегралы ограничены в совокупности при всех , поэтому интеграл сходится абсолютно, а значит и просто сходится, т.е. существует конечный предел Итак, доказали, что в правой части рав-ва (2) оба слагаемых при имеют конечный предел, значит предел левой части при тоже конечен. Это и означает сход инт (1) 6.Признак Абеля Теорма: Если на полуоси
Доказательство: Отметим, что интегралы и сходятся и расходятся одновременно и что в силу монотонности одна из функций или убывает. Пусть для определенности, убывает функция . В силу ее ограниченности и монотонности, существует конечный предел , а т.к. ф-ция убывает, то при , убывая стремится к нулю и разность .Представим произведение в виде В силу сходимости , интеграл также сходится. Из этого условия следует, что интегралы , ограничены. В самом деле, из существования конечного предела следует ограниченность ф-ции в некот. окресности . На отр-ке ф-ция огр., т.к. она непрерывна. В рез-те ограничена на всей полупрямой . Ф-ция явл. первообразной ф-ции , тем самым ф-ция имеет первообразную при Т.о. для интеграла выполнены все условия признака Дирихле, поэтому этот интеграл сходится. В силу доказанного, из равенства следует сходимость интеграла. 7. Метрическое пространство . Некоторые топологические понятия Лемма 1: Для любых действительных чисел аiи bii=1,…,n выполняется неравенство: Следствие 1: . Метрическое пространство . Обозначим через Rn множество всех упорядоченных наборов (x1, Х2,...,xn),xk€ R, k = 1,…, п. Каждый такой набор будем обозначать одной буквой x=(x1, Х2,...,xn) и называть точкой множества Rn. Число xk,k=1,…,пназывается k-той координатой точки x=(x1, Х2,...,xn). Определение 1.Множество X называется метрическим пространством, если существует функция р : X ×X →R, удовлетворяющая следующим условиям: 1) p(x,y)>= 0, причем p(x,y)=0↔x=y; 2) p(x,y)=p(y,x); 3) p(x,z)<=p(x,y)+p(y,z)(неравенство треугольникa), где x,y,zпроизвольные элементы множества X. Число p(x,y)называется расстоянием между точками xи yили метрикой пространства X.На множестве Rn опре делим расстояние между его двумя точками x=(x1, Х2,...,xn)и y=(y1, y2,...,yn)по формуле.(1) Функция p:Rn×Rn→R, определяемая формулой (1), очевидно удовлетворяет условиям 1) и 2) определения 1. Покажем, что она удовлетворяет и условию 3). Действительно, полагая в ai = xi— yi, bi = yi— zi, получим условие 3) определения 1. Таким образом, если на множестве Rn ввести расстояние по формуле (1), то оно превратится в метрическое про странство Rn. Непосредственно из (1 ) следуют двойные неравенства |xi— yi|<=p(x,y)<=max|xk— yk|, i = 1,…,n.(1<=k<=n). Определение 2. Пусть a ∈ Rn , r > 0. Множество B(a, r) = {x ∈ Rn | ρ(a, x) < r} называется открытым шаром с центром в точке a радиуса r. Множество V (a, δ) = B(a, δ) называется δ-окрестностью точки a в множестве Rn . Множество S = {x ∈ Rn | ρ(a, x) = r} называется сферой с центром в точке a радиуса r. Определение 3. Пусть X ⊂ Rn . Точка a ∈ X называется внутренней точкой множества X, если существует окрестность V (a, δ) точки a, такая, что V (a, δ) ⊂ X. Определение 4. Точка a ∈ Rn называется внешней точкой множества X ⊂ Rn , если существует окрестность V (a,) точки a, не содержащая ни одной точки из множества X. Определение 5. Точка a ∈ Rn называется граничной точкой множества X ⊂ Rn , если любая окрестность V (a,δ) точкиa содержит как точки из множества X, так и точки не принадлежащие ему. Определение 6. Множество X ⊂ Rn называется открытым в Rn , если каждая точка множества X является его внутренней точкой. |