1. Несобственные интегралы и их свойства. Опр

• Название: 1. Несобственные интегралы и их свойства. Опр
• Анкор: shpora_po_mtaanu.docx
• Дата: 24.03.2018
• Размер: 0.76 Mb.
• Имя файла: shpora_po_mtaanu.docx
• Тип: Документы; #17133
• страница: 5 из 7

26. Достаточные условия зависимости функций.

Теорема 15. Пусть все миноры s+ 1 порядка матрицы Якоби (3) системы функций

y_i=f_i(x),x € G, i = 1,m.(1) равны 0 в каждой точке открытого множества G и хотя бы один из миноров порядка s(s<m<= n) не равен 0 в некоторой точке a€G, тогда функции, содержащиеся в этом миноре независимы на множестве G, и существует некоторая окрестность точки a такая, что остальные m—s функций системы (1) зависят на этой окрестности от s указанных функций.

Доказательство. Не нарушая общности рассуждений, можем считать, что неравный нулю в точке aминор s-го порядка расположен в левом верхнем углу матрицы (3). Следовательно(4) в точке a. В силу теоремы о неявной функции и условия (4) из первых уравнений системы (1) найдем x₁=₁() x_s=_s(),где _i, i=1,s непрерывно дифференцируемые функции в некоторой окрестности Uточки (b₁,...,b_s,a_s+1,...,a_n), Ь_i= f_i(a),i= 1, s. Подставим x_i, i= 1, sв последниеm— sуравнений (1). Имеем y_l=F_l(₁,…,_s;x_s+1,…,x_n), l=s+1,m

Поскольку имеет место условие (4), то из следствия 2 следует, что функции y_i= f_i(x), i=1,sнезависимы на множестве G. Покажем, что остальные m-sфункций системы (1) зависят от указанных sфункций в окрестности U. Для этого достаточно убедиться в том, что непрерывно дифференцируемые функции F_l(l>s) не зависят от переменных x_s+1,..., x_n. Следовательно В итоге (5)=0, k=s+1,n

27. Понятие условного экстремума.

Определение1. Точка aϵE называется точкой условного экстремума функции f относительно уравнений связи

F_i(x)=0, i=1,m (1), если она является точкой локального экстремума функции _E.

Возьмем, что функции f:G→R, F_i: G→R, i=1,m, GʗRⁿ непрерывно дифференцируемы на открытом множестве G, и ранг матрицы ( ), i=1,m, j=1,n, aϵE равен m. Это означает, что функция F_i, i=1,m независимы на множестве G. Для определенности положим, что ≠0 в точке а. Тогда из (1) по теореме о неявной функции найдем

x₁=₁() … x_m=_m(), (2)

где _i, i=1,m непрерывно дифференцируемые функции в некоторой окрестности точки a=(a_m+1,…,a_n). Подставим x₁,..,x_m из (2) в f(), получим

g()= f()

непрерывно дифференцируемые функции в некоторой окрестности точки а. Т.к. условия (1) и (2) равносильны, то имеет место утверждение:

Точка aϵE является точкой условного экстремума функции f относительно уравнений связи (1)тогда и только тогда, когда a является точкой локального экстремума функции .

Это метод – метод исключения части переменных.

28. Метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию

L(x)=f(x)+ (1)

Функция L(x)=L(x;⋋) называется функцией Лагранжа, а числа ⋋₁,…,⋋_m называются множителями Лагранжа. Из

= следует dL(a)=0, которое означает, что если а точка условного экстремума функции f относительно уравнений связи F_i(x)=0, i=1,m , то она является стационарной точкой функции Лагранжа L(x). Таким образом, для нахождения точки а, подозрительной на экстремум, необходимо построить функцию Лагранжа (1) с неопределенными коэффициентами ⋋₁,…,⋋_m. Из системы

=0, , =0, j=1,m (2) найти решение (a₁,..,a_n, ⋋₁,…,⋋_m). Тем самым будет найдена точка (a₁,..,a_n). Если при этом окажется, что система (2) дает возможность непосредственно найти а, не вычисляя ⋋_j, j=1,m , то с точки зрения исходной задачи это и надо делать.

29. Числовые ряды. Критерий Коши

Опред.1. Пусть имеем последовательность {u_n}, n=1,2,…, где u_nϵC. Составим новую последовательность S_n=, n=1,2,… пара последовательностей {u_n}, { S_n } называется числовым рядом и обозначается (1)

Опр.2. Если послед. { S_n } имеет предел равный S, то числовой ряд (1) сходится, а число S называется суммой ряда и пишут . Если предел послед.частичных сумм не существует, то ряд расходится.

Теорема1. Пусть ряды сходятся, тогда ряд , называемый суммой данных рядов, также сходится, причем =

Доказательство. Пусть S_n=, S’_n=, G_n=. Тогда S_n+S’_n=G_n. Поскольку сущ. , ,то

=S+S’ т.е.

= ,

что и означает справедливость теоремы.

Теорема2. Если ряд (1) сходится и с – нек.число, то ряд , называемый произведением данного ряда на число с, также сходится, причем =

Теорема3.(Критерий Коши) Числовой ряд (1) сходится т.и т.т., когда для ε>0 NN:n>N, pN→<ε (2)

Док-во. Имеем =S_n+p-S_n. Тогда из =

<ε, критерия Коши сходимости числ.послед. {S_n} и определения сходимости числового ряда следует утверждение данной теоремы.
Следствие1. (Необх.усл.сход.чил.ряда) Чтобы числовой ряд сходился необходимо (но не достаточно). Чтобы =0.

30.Признаки сравнения сходимости числовых рядов.

Теорема5. (Признак сравнения) Пусть - два ряда с неотриц.членами. Если сущ номер NN такой, что при любом n>N имеет место неравенство u_n ≤ v_n, то из сход ряда следует сход ряда , а из расходимости ряда след расх ряда .

Доказательство. Поскольку конечное число членов не влияет на сходимость ряда, то без ограничения общности можно считать, что u_n ≤ v_n nN. Тогда S_n= ≤ =G_n. Если ряд сходится, то послед {G_n}, не убывая, стремится к пределу G. Тогда S_n≤ G_n≤G nNи, следовательно, послед S_n частичных сумм ряда ограничена. В силу критерия сходимости ряда с неотрицательными членами ряд также сходится.

Второе утверждение теоремы, рассуждая от противного, получается из доказанного.

Следствие1. Пусть u_n≥0, v_n>0, n=1,2,…, и = (1)

Тогда: 1) Если 0<<, то ряды (3)

сходятся и расходятся одновременно;

2) если =0, то из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (2);

3) если =, то из расходимости ряда (3) следует расходимость ряда(2)


31. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.

Теорема6. (Пр-к Даламбера) Пусть имеем ряд (1) где u_n>0, n=1,2,...Тогда 1) если ≤q<1, n=1,2,.. (2) то ряд (1) сходится; 2) если ≥1, n=1,2,… (3) то ряд (1) расходится.

Док-во. Пусть имеет место (2). Тогда

u_n+1=u₁***…*≤u₁qⁿ. Поскольку ряд сходится при <1, то в силу признака сравнения ряд (1) сходится. Если выполнено условие (3),

то u_n+1≥u_n≥ u_n-1≥…≥u₁, т.е. для (1) не выполнено необходимое условие сходимости ряда, а значит этот ряд расходится.

Замечание1. Теорема также справедлива, если условия (2), (3) имеют место только для n=m, m+1,…, где m>1.

Следствие 2 (Признак Даламбера в предельной форме). Пусть u_n>0, n=1,2,...и .(4)Тогда

1) если l<1, то ряд (1) сходится;

2)если l>1, то ряд (1) расходится.

Док-во. Из (4) имеем, что

ε>0 NN:n>N→<< (5)

Если l<1, то выбрав ε таким, что =q<1, из (5) имеем < q<1. Откуда в силу признака Даламбера из теоремы и замечания заключаем, что ряд (1) сходится.

Если l>1 то выбрав ε таким, что =q>1. Из (5) имеем, что >1. Последнее означает, что ряд (1) расходится.

Теорема7(Признак Коши): Пусть имеем ряд (1) где u_n≥0, n=1,2,… Тогда 1)если то ряд (1) сходится

2) если ≥1, то ряд (1) расходится.

32. Интегральный признак сходимости ряда.

Теорема 10. Если функция f: [1;+) неотрицательна и убывает на этом промежутке, то ряд(1) сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл (2)

Доказательство:

Поскольку функция fубывает на промежутке [1; +), то f(к + 1) <=f(x) <=f(к), к =1, 2,...,x€[к, к + 1]. Проинтегрируем это по отрезку x€[к, к +1] получим

(3)

Просуммировав это неравенство отк = 1 до n, будем иметь

(4)

где Sn- частичная сумма ряда (1). Пусть ряд (1) сходится и имеет сумму S. ТогдаS_n<=Sт.к.последовательность {Sn} не убывает.Для любого €[1;+oo) найдется такое n, что n>=, поэтому из (3) и (4) имеем, что . Последнее означает, что несобственный интеграл (2) сходится. Пусть несобственный интеграл (2) сходится. Тогдаи, в силу (3) имеем, что

, n=1,2,…

Последнее означает, что последовательность частичных сумм ряда (1) ограничена сверху, т.е. ряд (1) сходится.


33. Знакочередующиеся ряды.

Теорема Лейбница: Если посл. убывает и стремится к 0, т.е. ,,(1) то ряд (2) сходится, причём если сумма ряда,n-ая частичная сумма ряда, то при выполняется неравенство .

Доказательство: Прежде всего, отметим, что из условия (1) в силу чего члены ряда (2) поочерёдно то >0, то <0. Ряды такого вида наз. знакочередующимися. Частичные суммы ряда (2) с чётными номерами возрастают (частичные суммы с чётными номерами возрастают)

Кроме того посл-ть ограничена сверху

Поскольку последовательность возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел

Покажем, что тот же предел имеет посл-ть частичных сумм с нечётными номерами , а тогда поэтому посл-ть всех частных сумм ряда (2) имеет конечный предел, при этом поскольку посл-ть возрастает то , посл-ть убывает, т.к. , поэтому .

Таким образом отсюда получаем

и а это означает

34.Признак Абеля и Дирихле.

Рассмотрим ряды

Теорема:

1. 
   Признак Абеля. Если ряд (2) сходится, а последовательность - монотонна и ограничена, то ряд (1) сходится.
   
2. 
   Признак Дирихле. Если последовательность частичных сумм ряда (2) ограничена, а последовательность монотонно стремится к нулю, то ряд (1) сходится
   

Доказательство: Согласно критерию Коши:

Полагая , запишем

т.к. и

₍₃₎

1) Из условия признака Абеля следует, что ограничена, т.е. и ряд (2) сходится а значит по критерию Коши

Тогда получим, что


т.к. ≤ 2A в силу монотонности посл {a_n} и ее ограниченности. Согласно критерию Коши ряд (1) в рассматриваемом случае сходится.

2) Из условия признака Дирихле следует, что ≤M, n=1,2,.. (т.к. {B_n} ограничена) и

ε>0 NN:n>N→|a_n|<, (т.к. a_n→0) Тогда учитывая (3) будем иметь

≤*2M+2M≤

≤+2M*=ε

(где использовалась монотонность последовательности {a_n}), т.е. ряд (1) сходится.

35. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды

Пусть дан ряд (1). Рассмотрим ряд (2)

Теорема13. Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).
Доказательство. Поскольку

=u_n+1+ u_n+2 +…+u_n+p≤u_n+1+ u_n+2 +…+u_n+p=

=<ε, то согласно критерию Коши следует справедливость утверждения теоремы.

Опр.1. Если ряд (2) сходится, то ряд (1) наз. абсолютно сходящимся.

Опр.2. Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) называется условно сходящимся.

Теорема14. Если ряд (1) абсолютно сходится, то при любой перестановке его членов получим новый ряд, который также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.

Док-во. Введем обозначения u_n⁺=,

u_n^- =. Тогда u_n= u_n⁺ - u_n^-, n=1,2,…
Поскольку u_n⁺≤, u_n^- ≤, n=1,2,… и ряд (1) сходится абсолютно, то по признаку сравнения сходятся ряды

(3) и (4) с неотрицательными членами. При некоторой перестановке членов ряда (1) получим ряд , а из рядов (3) и (4) получим соответственно ряды

(5) и (6) где v_n⁺, v_n^- определяются аналогично u_n⁺ , u_n^-. В силу теореме о перестановке членов в рядах с неотрицательными членами ряды (5) и (6) сходятся и имеют ту же сумму, что и ряды (3) и (4) соответственно. тогда согласно теореме о сумме числовых рядов имеем
- =

= - ==

Т.о. показали, что ряд имеет ту же сумму, что и ряд (1)
36. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.

Теорема 16. Если ряды (1) и (2) абсолютно сходятся, то ряд, составленный из всевозможных произведений u_kv_l, к =1, 2, .. ., l=1, 2, .. ., расположенных в любом порядке также абсолютно сходится, причем его сумма S= u• v, где u, v— суммы рядов (1) и (2) соответственно.

Доказательство. Рассмотрим ряд (3) где wn, n=1,2,.. произведения вида ukvl, k=1,2,.., l=1,2,… Пусть Gn n-ая частичная сумма ряда (3). Через m обозначим наибольшее из индексов k,l членов ряда входящих в Gn. Тогда Gn≤(+…+)(+…+), n=1,2,…

где =,= .

Следовательно критерию сходимости ряда с неотрицательными членами ряд (3) сходится. В силу теоремы о перестановке членов числового ряда сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка его членов. Поэтому можно выполнить такую перестановку его членов, что Gn²=(+…+)(+…+) (4)

где Gn² частичная сумма ряда . Переходя в (4) к пределу при n→∞ получим S=u*v. Т.о. абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать.