1. Несобственные интегралы и их свойства. Опр
 Скачать 0.76 Mb.
|
|
Доказательство. Поскольку функция f дифференцируема в точке а то f(a+wt)-f(a)=jt+o(wt), t→+0. Разделив обе части соотношения на t, и затем перейдя к пределу при t→+0, получим ==j=*grad f(a), Т.к. =0. 19. Частные производные высших порядков. Пусть функция f:X→, X С nимеет частную производную = в области X. Если существует частная производная , то она называется второй частной производной или частной производной второго порядка функции fпо переменным xi, xkи обозначаетсяили Частная производная по некоторой переменной от частной производной (т—1)-го порядка называется частной производной порядка m. Частная производная по различным переменным называется смешанной частной производной. Частная производная высшего порядка по одной и той же переменной называется чистой частной производной. Теорема 7. Пусть функция f:V(a,δ)→,V(a,δ) С nимеет в окрестности V(a,δ) точки a частные производные причем они непрерывны в точке a. Тогда справедливо равенство. (1) Доказательство. Рассмотрим вспомогательное соотношение w=f(a+hkek+hiei)-f(a+ hkek)-f(a+ hiei)+f(a) (2) Его можно рассмотреть как приращение функции = f(х+ hkek)-f(x) по переменной xi в точке а. По теореме Лагранжа получим w=(f’xi(a+hkek+1 hiei)- f’xi (a+ 1hiei))hi, (3) где 0<1<1. Рассмотрим содержащаяся в скобках соотношения (3), является приращением функции f’xi по переменной xk в точке a+1hiei.Применяя вновь теорему Лагранжа, получим w=f”xixk(a +1 hiei+2hkek)hihk, (4) где 0<2<1. Если соотношение (2) рассмотреть вновь как приращение функции = f(х+ hiei)-f(x) по переменной xk в точке а, то рассуждая аналогично получим, что w=f”xkxi(a +3hkek+4 hiei)hkhi, (5) где 0<3<1, где 0<4<1. Из (4) и (5) имеем: f”xixk(a +1 hiei+2hkek)= f”xkxi(a +3hkek+4 hiei) (6) Поскольку непрерывны в точке а, то переходя в (6) к пределу при hi→0, hk→0, получим (1). Утверждение 3. Если f:X→, X Сnимеет в области X непрерывные частные производные до порядка к включительно, то частная производная функции f к-го порядка не зависит от порядка дифференцирования. 20.Формула Тейлора для функций многих переменных. Теорема 9. Пусть функция f: V(,)→R, V(,) Rn определена и непрерывна вместе со всеми частными производными до порядка m+1 включительно в -окрестности точки а, и х=a+h ϵ V(,). Тогда справедлива формула f(x)=f(a)+ (h1+…+ hn)kf(a)+rm(a,h), (1) где rm(a,h)= (h1+…+ hn)m+1f(ah), 0< <1. (2) Доказательство. Рассмотрим функцию = f(a+ht), tϵ[0;1]. Эта функция, согласно условию, имеет непрерывные производные до порядка m+1 включительно. По формуле Тейлора для функции одной переменной имеем =+(k)(0)tk+rm(t), gde rm(t)= (m+1)()tm+1,ϵ(0;1). Поскольку =f(a), =f(a+h), и =+(к)(0) +rm(1), (3) где rm= (m+1)(),ϵ(0;1), то из (3) и (к)(t)= (h1+…+ hn)kf(xht) следует (1) с остаточным членом, определенным формулой (2). 21. Необходимые условия экстремума. Определение 1. Пусть функция f(x)определена на множестве XСRn. Точка a€ Xназывается точкой локального максимума (минимума) функции f, если существует окрестность V(a)такая, что для всех x€ V(a)выполняется неравенство f(x)≤f(a) (f(x)≥ f(a)). Если для x€V(a)имеет место неравенство f(x)<f(a) (f(x)>f(a)), то точка a называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f. Определение 2. Точки локального максимума и минимума функции fназываются точками локального экстремума функции f,а значения функции в этих точках называются локальными экстремума функции. Теорема 10. Пусть функция f определена в окрестности V(a)С Rnточки a, имеет в точке a частные производ ные по каждой из переменных x1, . . . , xn. Тогда для того, чтобы функция f имела в точке a локальный экстремум, необходимо, чтобы в этой точке были выполнены равенства .(1) Док-во: Рассм. ф-цию одной переменной, опред., в силу условий теоремы, в некоторой окрестности точки a1 вещественной оси. В точке a1 ф-ция φ(x1) имеет локальный экстремум, и поскольку , то =0. Аналогично док-тся и остальные равенства системы (1). Точки, в которых выполнены условия (1), называются стационарными точками функции f. Следовательно, если функция fимеет в точке aлокальный экстремум, то точка aявляется стационарной точкой функции fили функция fв этой точке не дифференцируема. 22. Достаточные условия локального экстремума. Пусть функция f : V(a)→R имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно в окрестности V(a)ʗRn точки а, а – стационарная точка функ. f. Если квадратичная форма hihj (1) 1) положительно (отрицательно) определена, то а явл.точкой строго лок.мин(макс) функции f; 2) неопределенна, то в точке а функция не имеет лок.экстр. Док-во. Пусть h≠0, a+hϵV(a). Поскольку а стц.точка функции, то разложение f по формуле Тейлора при m=2 f(a+h)-f(a)=hihj+o(2)= 2(+o(1)) (2) где o(1) – бесконечно малая при h0 Из (2) видно, что знак разности f(a+h)-f(a) полностью определяется знаком величины, стоящей в правой части. Вектор е=() имеет единичную норму. Квадр.форма (1) непрер.как функция h в Rn, поэтому ее ограничение на единичную сферу S(0;1)={xϵRn | =1} также непрерывно на S(0;1). Но сфера S есть замкнутое огран.подмножество в Rn, т.е. компакт. Следовательно, форма (1) имеет на S как тчоку минимума, так и точку максимума, в которых она принимает соответственно значения m и M. Если форма (1) пол.опр., то 0 Аналогично проверяется, что в случае отр.опр формы (1) функция имеет в а строгий локальный максимум. Если квадратичная форма (1) на единичной сфере или, что равносильно, в Rn принимает значения разных знаков. То в любой окрестности точки а найдутся как точки, в которых значение функции больше f(a), так и точки, в которых она меньше f(a). Следовательно, в этом случае а не явл.точкой локального экстремума рассматриваемой функции. 23. Неявные функции. Опр 1. Отображение Fназывается непрерывно дифференцируемым на множестве X,если все его коорди натные функции непрерывно дифференцируемы на X,т.е. все его частные производные непрерывны на X. Теорема 12. Пусть выполняются условия: 1) Отображение F(x,y) непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности точки (a,b)€n+m 2)F(a,b)= 0. 3)detF"y(a,b)≠0. Тогда существуют окрестности V(a)€nU(b)€т, что для любогоx€ V(a) существует и притом единственное значение y€U(b), что F(x,y)= 0. Если y= f(x) указанное решение, то отображение f непрерывно дифференцируемо на множестве V(a), причем b= f(a). 24. Обратное отображение. Теорема 13. Пусть f : X →Rn, X СRn, причем:
Тогда существуют окрестности V(a) С Rn, U(b) С Rn и существует обратное отображение = f-1такое, что :U(b)→V(a), - единственно, (b) = a и отображение непрерывно дифференцируемо на U(b). Доказательство. Рассмотрим функцию F(x,y)=f(x)—y.Тогда отображение y=f(x)запишется в виде F(x,y)=0.Из условий теоремы 12 следует, что F(x,y)непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки (a,b)и F(a,b)=0,detFx'( a, b) = detf'(a)≠0.Таким образом, выполняются все условия теоремы о неявной функции, откуда и следует утверждение данной теоремы. 25. Необходимые условия зависимости функций. Пусть на открытом множестве G€Rn задано mнепрерывно дифференцируемых функцийyi=fi(x),x € G, i = 1,m.(1) Если существует открытое множество D С Rm-1и непрерывно дифференцируемая на Dфункция F :D→R такая,что F(f1(x),...,fm-1(x))=fm(x),x € G, (2) то будем говорить, что функция fmзависит от функций f1(x),...,fm-1 (x)на множестве G. Если среди функций (1) есть функция, зависимая от остальных на множестве G, то система функций (1) называется зависимой на множестве G. Если ни одна из функций (1) не зависит от остальных на множестве G, то система функций (1) называется независимой на множестве G. В вопросах зависимости функций (1) важную роль играет матрица Якоби. (3) Теорема 14.Пусть m<= n и система функций (1) является зависимой на открытом множестве G, тогда ранг матрицы Якоби меньше m в любой точке множества G. Доказательство. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что fmзависит от функций f1, . . . , fm-1на G, т.е. имеет место (2). Тогда из (2) Отсюда следует, что m-ая строка матрицы (3) является линейной комбинацией остальных строк, следовательно ранг матрицы (3) меньше m, что и требовалось доказать. □ Следствие 1. Если m = n и система функций (1) зависимая на открытом множестве G, то в каждой точке множества G. Следствие 2 (достаточное условие независимости функций). Если m≤n ив какой-либо одной точке открытого множества G ранг матрицы (3) равен m, то система функций (1) является независимой на множестве G. Доказательство. Пусть система функций (1) зависима на G, тогда в любой точке этого множества ранг меньше m. Пришли к противоречию. □ Поскольку элементы строк матрицы (3) являются координатами векторов gradfi(x),i = 1,…m, то теорему 14 можно сформулировать следующим образом: Если m<=n и система функций (1) является зависимой на открытом множестве G, то векторы gradfi(x),i = 1,m линейно зависимы в каждой точке множества G. |