1. Несобственные интегралы и их свойства. Опр
![]()
|
8.Евклидово пространство . как векторное пространство. Если в Rn ввести операции сложения двух элементов x=(x1,x2, ...,xn), y=(y1,y2, ...,yn) и умножения элемента x=(x1,x2, ...,xn)на действительное число Aсоответственно по формулам: x+y=(x1+y1,X2+y2,...,xn+ yn), Ax=(Ax1,Ax2, ...,Axn), то Rn станет векторным (линейным) пространством над полем действительных чисел. Векторы ek=(0,...,0,1,0,...,0),k=1,n(1 стоит только на k-том месте) образуют линейно независимую систему векторов в пространстве Rn. Любой вектор x€ Rn можно разложить по базисным векторам ek, k=1,nв виде x=x1e1+x2e2+...+enxn. Норма в. Опр1: Пусть Определение 1. Пусть X — векторное пространство. Функция || • ||: X →R, удовлетворяющая условиям
x,y€X,A€R, называется нормой в X. Число \\x\\— норма вектора x.Векторное пространство Xс введенной в нем нормой называется векторным нормированным пространством. В векторном пространстве Rn определим норму по формуле ||x||=, где x=(x1, x2,...,xn)€.||x-y||=p(x,y), ||x||=p(x, 0), где p(x,y) расстояние между векторами x,y, которые рассматриваются как точки метрического пространства . Евклидова структура в .Определение 2. Скалярным произведением в действительном векторном пространстве X называется функция φ:X× X→R, φ(x,y)=(x,y),x,y€Xи удовлетворяющая условиям:
В векторном пространстве Rn скалярное произведение векторов x=(x1,x2, ...,xn), y=(y1,y2, ...,yn)находится по формуле (x,y)=x1y1+...+xnyn.. Векторное пространство Rn с определенным в нем скалярным произведением называется Евклидовым пространством. Число =называется длинной (модулем) вектораx=(x1,x2, ...,xn)€Rnи обозначается |x|:|x| =Из вышесказанногоимеем, что |x|= ||x||. Иследует, чтоp(x,y)=||x–y|| = |x–y|. В дальнейшем, на Rn будем смотреть с одной стороны как на точечное метрическое пространство, а с другой стороны как на векторное евклидово пространство, где при этом имеет место p(x,y)=||x–y|| = |x–y|. 9. Последовательности точек пространства . Определение 1. Последовательностью точек пространства Rn называется функция f : N → Rn , которая каждому натуральному числу k ставит в соответствие точку x(k) =(x1(к), . . . , xn)ϵ Rn . Теорема1. Последовательность =()Rn, к=1,2,… сходится к точке а=(а1,…, аn)Rn тогда, и только тогда, когда =, i=1,n. (2) Доказательство : Согласно |xi— yi|≤p(x,y)≤max1≤k≤n|xk— yk|, i = 1,…,nможем записать |xi(k)-ai| ≤p(x(k),a) ≤max1≤k≤n|x(k)j— aj|, i=1,n (1) Необходимость. Если =a, то для любого ε>0, ᴲNϵN→ p(x(k),a)<ε, а значит, согласно (1) выполняются неравенства |xi(k)-ai|<ε, i=1,n. Откуда следует справедливость(2) Достаточность Если имеет место (2), то для Аε<0, E NϵN : A k>N→|xi(k)-ai|<ε/, i=1,n и, следовательно, max1≤k≤n|x(k)j— aj|<ε/ Тогда в силу (1) p(x(k),a) <ε, а это означает, =a. Теорема 2. Из любой ограниченной последовательности {x(k)} точек пространства Rn можно выделить сходящуюся подпоследовательность. 10. Предел отображения. Определение 1. Точка b€Rmназывается пределом отображения fв точке a, если для любого > 0 существует > 0 такое, что для любого x€X и 0 <pn(x,a)<следует, что pm (f(x),b)<.При этом пишут limf(x) = b.(x→a). Определение 2.Точка bϵRmназывается пределом отображения fв точке a, если для любой окрестности U(b) существует V(a)такая, что если x€V(a)∩X, то f(x)€U(b). Определение 3.Точка bϵRmназывается пределом отображения fв точке a, если для любой последовательности x(k)€X\{a},k = 1, 2,...сходящейся к точке a, последовательность {f (x(k))}сходится к точке b. Теорема 3. Точка b = (b1,...,bm) является пределом отображения f : X — Rm, X €Rnпри x→a тогда и только тогда, когда lim fi(x)=bi, i=1,m.(x—>a) Доказательство. Справедливость теоремы непосредственно следует |fi(x)-bi| ≤p(f(x), b) ≤max1≤k≤m |f(x)j— bj|, i=1,m и определения предела отображения. Теорема 4.Отображение f : X →Rm, XСRnимеет предел в точке a тогда и только тогда, когда >0V(a) : х', x" €V(a)→ pm(f(x1), f (x"))<. Теорема 5. Если отображение f :X — Rm, где X€Rnимеет предел в точке a, то:
Теорема 6.Пусть f : X →Rm, g : X →Rm, где X€Rn, и существуют пределы limf (x) = b(x→a), limg(x) = c(x→a). Тогдасуществуют пределы: 1) lim (f (x) ± g(x))= b ± c;(x→a) 2) lim f(x) . g(x) = b . c,(x→a) где f± g, b± c— есть сумма и разность векторов; f • g, b • c— скалярное произведение векторов. Теорема 7. Пусть f:X— R, g:X— R, X€Rn, и существуют пределы limf(x) = A(x→a), limg(x) = B.(x→a)Тогдасуществуют пределы: 1) lim(f(x) ± g(x))= A ± B, x— a 2) limf(x)g(x) = A • B, x— a 3) если g(x) ≠0,x€V(a) иB≠0, то . Замечание 1 . Заметим, что вначале мы говорим, что существуют пределы отображений fи g, а только после этого можем говорить о существовании предела f ± gи f • g. Замечание 2. Для пределов функций многих переменных справедливы и другие свойства аналогичные свойствам функций одной переменной, при этом формулировки теорем и их доказательства по существу остаются теме же самыми. 11. Предел по направлению. Повторные пределы. Определение 4. Точка bGRmназывается пределом отображения f : X —>Rm, X €Rnпо множеству E€ X в точке a, если> 0 > 0 :х€E,0<pn(x,a)<=> pm(f(x),b)<.и обозначаетсяlimf(x) = b.(x→a, x €E) Определение 5. ПустьE={xGRn|x = a + wt, |w|=1,a,w€ Rn, t>=0}. Пределlimf(x) = limf(a+wt),(x→a,x€X)(t→+0) если он существует, называется пределом отображения fпо направлению вектора w. Повторные пределы. Пусть f:X→R, XʗRn. наряду с рассмотренными пределами у функции многих переменных существует понятие предела другого вида, связанное с последовательным переходом к пределу по различным координатам: …f(x1, …,xn)=A,(1) где (i1,..,in) – некоторая перестановка чисел (1,2,…,n), aϵRn, и функция f определена в некоторой окрестности точки а. Запись f(x1, …,xn)=A означает, что у функции f фиксированы все значения координат xj, i≠j ее аргумента х, и тем самым указанный предел означает предел функции по множеству. Пределы вида (1) называют повторными пределами. 12.Локальные свойства непрерывных отображений. Пусть aпредельная точка множества X €Rn. Определение 6. Отображение f:X— Rm, XʗRn называется непрерывным в точке aϵX, если существует предел limf(x) = f(a).(x→a) Определение 7. Отображение f:X— Rm, XʗRn называется непрерывным в точке aϵX, если >0= () >0:x ϵV(a, ) →f (x) ϵU (f (a),). Теорема 9. Пусть f:X — Y, X ʗRn, YʗRm, g:Y— Rs, b= f (a), c= g(b). Если отображение f непрерывно в точке aϵX, отображение g непрерывно в точке bϵY, то их композиция = gо f непрерывна в точке a. Доказательство. Поскольку отображение g непрерывно в точке bϵY, то >0>0:у ϵVY(b, ) →g (y) ϵV (c,). Так как отображение f непрерывно в точке aϵX, то >0 >0:x ϵVХ(a, ) →f (x) ϵ VY(b, ). Отсюда следует >0 >0:x ϵVХ(a, ) →φ(x)=g(f(x))ϵV(φ(a),ε), что и означает, что отображение φ непрерывно в точке а. Теорема 10. Если функция f:X →R, X €Rn непрерывна в точке a€X и f (a) >0 (f (a) <0), то существует такая окрестность V(a), что если x€V(a), то f(x) >0 (f(x) <0). Теорема 11. Если функции f:X→R, g:X→R, X€Rnнепрерывны в точке a€X, то f+ g, f• g, а если g( x) ≠0,x€X, то и f/gопределены на множестве Xи непрерывны в точке a. Если отображение f:X→Rm, X€Rn непрерывно в каждой точке множества X, то говорят, что оно непрерывно на множестве X.Теоремы 9-11 задают локальные свойства непрерывных отображений. 13.Глобальные свойства непрерывных отображений. Определение 9. Отображение f : X →Rm, X €Rn называется равномерно непрерывным на множестве X, если для > 0 > 0 :х',х'' €X, удовлетворяющих неравенству pn(x',x")<,будет выполняться неравенство pm((f(x'),f(x"))<. Теорема 12.Отображение f :X→Rm, X€Rn равномерно непрерывно на X тогда и только тогда, когда каждая из его координатных функций fi, i = 1,m равномерно непрерывна на X. Справедливость теоремы следует из неравенства |fi(x’)-fi(x”)| ≤pm(f(x’),f(x”))≤max1≤j≤m|fi(x’)-fi(x”)| i=1,m, Ax’,x” ϵX. Теорема 13. Если отображение f : X →Rm, X €Rn непрерывно на компакте X €Rn, то оно равномерно непрерывно на X Теорема 14.Если отображение f :X→Rm, X€Rn непрерывно на компакте X€Rn, то оно ограничено на X. Теорема 15.Если функция f : X →R, X €Rnнепрерывна на компакте X €Rn, то на X она принимает наименьшее и наибольшее значения. Теорема 16. Пусть функция f : X →R, X €Rnнепрерывна на линейно связном множестве X €Rn. Если a,b€X иf(a) = A, f(b)=B, то Cлежащего между A и B существует точка c€X, в которой f(c)=C. |