1. Несобственные интегралы и их свойства. Опр

• Название: 1. Несобственные интегралы и их свойства. Опр
• Анкор: shpora_po_mtaanu.docx
• Дата: 24.03.2018
• Размер: 0.76 Mb.
• Имя файла: shpora_po_mtaanu.docx
• Тип: Документы; #17133
• страница: 2 из 7

8.Евклидово пространство .

как векторное пространство.

Если в Rⁿ ввести операции сложения двух элементов x=(x₁,x₂, ...,x_n), y=(y₁,y₂, ...,y_n) и умножения элемента x=(x₁,x₂, ...,x_n)на действительное число Aсоответственно по формулам:
x+y=(x₁+y₁,X₂+y₂,...,x_n+ y_n),

Ax=(Ax₁,Ax₂, ...,Ax_n),
то Rⁿ станет векторным (линейным) пространством над полем действительных чисел.

Векторы e_k=(0,...,0,1,0,...,0),k=1,n(1 стоит только на k-том месте) образуют линейно независимую систему векторов в пространстве Rⁿ. Любой вектор x€ Rⁿ можно разложить по базисным векторам e_k, k=1,nв виде

x=x₁e₁+x₂e₂+...+e_nx_n.

Норма в.

Опр1: Пусть Определение 1. Пусть X — векторное пространство. Функция || • ||: X →R, удовлетворяющая условиям

1. 
   \\x\\>0,причем \\x\\=0↔x=0,
   
2. 
   \\Ax\\= \A\.\\x\\,
   
3. 
   \\x+y\\<=\\x\\+\\y\\(неравенство треугольника),
   

x,y€X,A€R, называется нормой в X. Число \\x\\— норма вектора x.Векторное пространство Xс введенной в нем нормой называется векторным нормированным пространством. В векторном пространстве Rⁿ определим норму по формуле ||x||=, где x=(x₁, x₂,...,x_n)€.||x-y||=p(x,y), ||x||=p(x, 0), где p(x,y) расстояние между векторами x,y, которые рассматриваются как точки метрического пространства .

Евклидова структура в .Определение 2. Скалярным произведением в действительном векторном пространстве X называется функция φ:X× X→R, φ(x,y)=(x,y),x,y€Xи удовлетворяющая условиям:

1. 
   (x,x)>=0,(x,x)=0↔x=0,
   
2. 
   (x,y)=(y,x),
   
3. 
   (ax,y)=a(x,y),
   
4. 
   (x+y,z)=(x,z)+(y,z),x, y,z€X,a€ R.
   

В векторном пространстве Rⁿ скалярное произведение векторов x=(x₁,x₂, ...,x_n), y=(y₁,y₂, ...,y_n)находится по формуле

(x,y)=x₁y₁+...+x_ny_n..

Векторное пространство Rⁿ с определенным в нем скалярным произведением называется Евклидовым пространством.

Число =называется длинной (модулем) вектораx=(x₁,x₂, ...,x_n)€Rⁿи обозначается |x|:|x| =Из вышесказанногоимеем, что |x|= ||x||. Иследует, чтоp(x,y)=||x–y|| = |x–y|.

В дальнейшем, на Rⁿ будем смотреть с одной стороны как на точечное метрическое пространство, а с другой стороны как на векторное евклидово пространство, где при этом имеет место p(x,y)=||x–y|| = |x–y|.


9. Последовательности точек пространства .
Определение 1. Последовательностью точек пространства Rⁿ называется функция f : N → Rⁿ , которая каждому натуральному числу k ставит в соответствие точку x^(k) =(x₁^(к), . . . , x_n)ϵ Rn .

Теорема1. Последовательность =()Rⁿ, к=1,2,… сходится к точке а=(а₁,…, а_n)Rⁿ тогда, и только тогда, когда =, i=1,n. (2)

Доказательство : Согласно |x_i— y_i|≤p(x,y)≤max_1≤k≤n|x_k— y_k|, i = 1,…,nможем записать

|x_i^(k)-a_i| ≤p(x^(k),a) ≤max_1≤k≤n|x^(k)_j— a_j|, i=1,n (1)

Необходимость. Если =a, то
для любого ε>0, ᴲNϵN→ p(x^(k),a)<ε,

а значит, согласно (1) выполняются неравенства |x_i^(k)-a_i|<ε, i=1,n. Откуда следует справедливость(2)

Достаточность Если имеет место (2), то для

Аε<0, E NϵN : A k>N→|x_i^(k)-a_i|<ε/, i=1,n

и, следовательно, max_1≤k≤n|x^(k)_j— a_j|<ε/

Тогда в силу (1) p(x(k),a) <ε, а это означает, =a.

Теорема 2. Из любой ограниченной последовательности {x^(k)} точек пространства Rⁿ можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

10. Предел отображения.

Определение 1. Точка b€R^mназывается пределом отображения fв точке a, если для любого > 0 существует > 0 такое, что для любого x€X и 0 <p_n(x,a)<следует, что p_m (f(x),b)<.При этом пишут limf(x) = b.(x→a).

Определение 2.Точка bϵR^mназывается пределом отображения fв точке a, если для любой окрестности U(b) существует V(a)такая, что если x€V(a)∩X, то f(x)€U(b).

Определение 3.Точка bϵR^mназывается пределом отображения fв точке a, если для любой последовательности x^(k)€X\{a},k = 1, 2,...сходящейся к точке a, последовательность {f (x^(k))}сходится к точке b.

Теорема 3. Точка b = (b₁,...,b_m) является пределом отображения f : X — R^m, X €Rⁿпри x→a тогда и только тогда, когда lim f_i(x)=b_i, i=1,m.(x—>a)

Доказательство. Справедливость теоремы непосредственно следует

|f_i(x)-b_i| ≤p(f(x), b) ≤max_1≤k≤m |f(x)_j— b_j|, i=1,m

и определения предела отображения.

Теорема 4.Отображение f : X →R^m, XСRⁿимеет предел в точке a тогда и только тогда, когда

>0V(a) : х', x" €V(a)→ p_m(f(x¹), f (x"))<.

Теорема 5. Если отображение f :X — R^m, где X€Rⁿимеет предел в точке a, то:

1. 
   предел единственный;
   
2. 
   отображение fограниченно в некоторой проколотой окрестности V(a) точки aв множестве X.
   

Теорема 6.Пусть f : X →R^m, g : X →R^m, где X€Rⁿ, и существуют пределы limf (x) = b(x→a), limg(x) = c(x→a). Тогдасуществуют пределы:

1) lim (f (x) ± g(x))= b ± c;(x→a)

2) lim f(x) . g(x) = b . c,(x→a)

где f± g, b± c— есть сумма и разность векторов; f • g, b • c— скалярное произведение векторов.

Теорема 7. Пусть f:X— R, g:X— R, X€Rⁿ, и существуют пределы limf(x) = A(x→a), limg(x) = B.(x→a)Тогдасуществуют пределы:

1) lim(f(x) ± g(x))= A ± B,

x— a

2) limf(x)g(x) = A • B,

x— a

3) если g(x) ≠0,x€V(a) иB≠0, то .

Замечание 1 . Заметим, что вначале мы говорим, что существуют пределы отображений fи g, а только после этого можем говорить о существовании предела f ± gи f • g.

Замечание 2. Для пределов функций многих переменных справедливы и другие свойства аналогичные свойствам функций одной переменной, при этом формулировки теорем и их доказательства по существу остаются теме же самыми.

11. Предел по направлению. Повторные пределы.

Определение 4. Точка bGR^mназывается пределом отображения f : X —>R^m, X €Rⁿпо множеству E€ X в точке a, если> 0 > 0 :х€E,0<p_n(x,a)<=>

p_m(f(x),b)<.и обозначаетсяlimf(x) = b.(x→a, x €E)

Определение 5. ПустьE={xGRⁿ|x = a + wt, |w|=1,a,w€ Rⁿ, t>=0}. Пределlimf(x) = limf(a+wt),(x→a,x€X)(t→+0) если он существует, называется пределом отображения fпо направлению вектора w.

Повторные пределы.

Пусть f:X→R, XʗRn. наряду с рассмотренными пределами у функции многих переменных существует понятие предела другого вида, связанное с последовательным переходом к пределу по различным координатам:

…f(x1, …,xn)=A,(1)

где (i1,..,in) – некоторая перестановка чисел (1,2,…,n), aϵRn, и функция f определена в некоторой окрестности точки а.

Запись f(x1, …,xn)=A означает, что у функции f фиксированы все значения координат xj, i≠j ее аргумента х, и тем самым указанный предел означает предел функции по множеству.
Пределы вида (1) называют повторными пределами.

12.Локальные свойства непрерывных отображений.

Пусть aпредельная точка множества X €Rⁿ.

Определение 6. Отображение f:X— R^m, XʗRⁿ называется непрерывным в точке aϵX, если существует предел

limf(x) = f(a).(x→a)

Определение 7. Отображение f:X— R^m, XʗRⁿ называется непрерывным в точке aϵX, если

>0= () >0:x ϵV(a, ) →f (x) ϵU (f (a),).

Теорема 9. Пусть f:X — Y, X ʗRⁿ, YʗR^m, g:Y— R^s, b= f (a), c= g(b). Если отображение f непрерывно в точке aϵX, отображение g непрерывно в точке bϵY, то их композиция = gо f непрерывна в точке a.

Доказательство. Поскольку отображение g непрерывно в точке bϵY, то

>0>0:у ϵV_Y(b, ) →g (y) ϵV (c,).

Так как отображение f непрерывно в точке aϵX, то

>0 >0:x ϵV_Х(a, ) →f (x) ϵ V_Y(b, ).

Отсюда следует

>0 >0:x ϵV_Х(a, ) →φ(x)=g(f(x))ϵV(φ(a),ε),

что и означает, что отображение φ непрерывно в точке а.

Теорема 10. Если функция f:X →R, X €Rⁿ непрерывна в точке a€X и f (a) >0 (f (a) <0), то существует такая окрестность V(a), что если x€V(a), то f(x) >0 (f(x) <0).

Теорема 11. Если функции f:X→R, g:X→R, X€Rⁿнепрерывны в точке a€X, то f+ g, f• g, а если g( x) ≠0,x€X, то и f/gопределены на множестве Xи непрерывны в точке a.

Если отображение f:X→R^m, X€Rⁿ непрерывно в каждой точке множества X, то говорят, что оно непрерывно на множестве X.Теоремы 9-11 задают локальные свойства непрерывных отображений.

13.Глобальные свойства непрерывных отображений.

Определение 9. Отображение f : X →R^m, X €Rⁿ называется равномерно непрерывным на множестве X, если для > 0 > 0 :х',х'' €X, удовлетворяющих неравенству p_n(x',x")<,будет выполняться неравенство p_m((f(x'),f(x"))<.

Теорема 12.Отображение f :X→R^m, X€Rⁿ равномерно непрерывно на X тогда и только тогда, когда каждая из его координатных функций f_i, i = 1,m равномерно непрерывна на X.

Справедливость теоремы следует из неравенства

|f_i(x’)-f_i(x”)| ≤p_m(f(x’),f(x”))≤max_1≤j≤m|f_i(x’)-f_i(x”)| i=1,m, Ax’,x” ϵX.

Теорема 13. Если отображение f : X →R^m, X €Rⁿ непрерывно на компакте X €Rⁿ, то оно равномерно непрерывно на X

Теорема 14.Если отображение f :X→R^m, X€Rⁿ непрерывно на компакте X€Rⁿ, то оно ограничено на X.

Теорема 15.Если функция f : X →R, X €Rⁿнепрерывна на компакте X €Rⁿ, то на X она принимает наименьшее и наибольшее значения.

Теорема 16. Пусть функция f : X →R, X €Rⁿнепрерывна на линейно связном множестве X €Rⁿ. Если a,b€X иf(a) = A, f(b)=B, то Cлежащего между A и B существует точка c€X, в которой f(c)=C.