1. Несобственные интегралы и их свойства. Опр
 Скачать 0.76 Mb.
|
|
14. Линейные отображения. Определение 1. Отображение f :Rn— Rmназывается линейным, если для любых двух векторов х', х'' € Rn и любых двух чисел λ, μ € R выполняется равенство f(λ х' +μ х") =λf(х') + μ,f(x"). Пусть {e1,...,en}и {1,...,m}— фиксированные базисы пространств Rn и Rm соответственно. При отображении fобраз вектора ej,j=1,пявляется вектором в пространстве Rm и раскладывается по координатным векторам i, i = 1,m: В силу линейности отображения fможно найти разложение по фиксированному базису {ei,...,em}образ f(x) любого вектора x = xiei+ - - - + xnen€Rn. А именно или в координатной записи f(x)=(fi(x),...,fm(x)), где fi(x)=a11x1+…+a1nXn, … , fm(x)=am1x1+…+amnXn Таким образом, отображение f :Rn — Rmможно рассматривать как набор f = (f1,...,fm) из mкоординатных функций f1: Rn — R, i = 1,m.И заключаем, что отображение fл инейно тогда и только тогда, когда каждая координатная функция fi : Rn — R, i = 1,mлинейна. 15. Дифференцируемые отображения. Дифференцируемость отображения в точке. Определение 2.Отображение f:X →Rm, X СRn, определенное на множестве X, называется дифференцируемым в точке x € X, предельной для множества X, если f(x+ h)—f(x)= L(x)h+ α(x;h), (1) где L(x):Rn→Rm— линейное относительно h отображение, а α(x;h)= o(h)при h—0, x+ h€X. Теорема 1. Отображение f : X — Rm, X€Rnдифференцируемо в точке x € X, предельной для множества X, тогда и только тогда, когда в этой точке дифференцируемы функции fi :X →R, i = 1,m, задающие координатное представление данного отображения. Док-во. Если векторы f(x+h), f(x), L(x)h, α(a;h) из Rm записать в координатах, то равенство (1) окажется равносильным m равенствам fi(x+ h)—fi(x)= Li(x)h+ αi(x;h), i=1,m между действительными функциями, в которых Li(x): Rn→R – линейные функции, а αi(x;h)=о(h) при h→0, x+hϵX, i=1,m ai(x) = (1.6) Определение 3.Предел (1.6) называется частной производной функции f(x)в точке x=(x1,...,Xn)по переменной xi. Его обозначают одним из следующих символов Утверждение 1. Если функция f:X→R, X СRnдифференцируема во внутренней точке x €X этого множества, то в этой точке функция имеет частные производные по каждой переменной и дифференциал функции однозначно определяется этими частными производными в виде 16.Свойства дифференцируемых отображений. Теорема 2.Если отображения f : X →Rm, g : X →Rm, X С Rnдифференцируемы в точке x € X, то их линейная комбинация (λf+μg) : X →Rm также является дифференцируемым в этой точке отображением, причем имеет место равенство (λf+μg)'(x)=(λf' + μg')(x). Доказательство.(λf+μg)(x+h)—(λf+μg)(x)=(λf(x+h)+μg(x + h)) — (λf(x) + μg(x)) = λ(f(x+h)—f(x))+ μ(g(x + h)—g(x))=λ(f'(x)h + o(h)) + μ(g'(x)h + o(h) = (λf'(x)+μg'(x))h+o(h).□ Теорема 3. Если функции f:X→R, g:X→R, X С Rnдифференцируемы в точке x € X, то:1)их произведение дифференцируемо в точке x, причем (fg)'(x)= f'(x)g(x)+ f(x)g'(x); 2) их частное дифференцируемо в точке x, если g(x)≠ 0, причем Доказательство теоремы аналогично случаю функции одной переменной. Теорема 4. Если отображение f:X →Y, X С Rn, Y С Rm дифференцируемо в точке x € X, а отображение g:Y→Rs дифференцируемо в точке y= f(x), то их композиция = g о f:X →Rs дифференцируема в точке x и имеет место равенство'(x)= g'(y)f'(x). 17. Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных. Теорема 5. Если функция f:V(x)→R,V(x) С Rn имеет в окрестности V(x) точки x все частные производные,j=1,n, непрерывные в точке x, то она дифференцируема в этой точке. Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что V(x)является шаром B(x,r).Тогда вместе с точками x=(x1,...,xn),x+h=(x1+h1,...,xn+hn)области V(x)должны принадлежать также точки (xi, x2 + h2, …,xn+ hn),...,(x1, x2,...,xn-1, xn+hn)и соединяющие их отрезки. Воспользуемся этим, применяя теорему Лагранжа для функции одной переменнойf(x+h)—f(x)=f(x1+h1,...,xn+hn)—f(x1, ...,xn)=f(x1+h1,...,xn+hn)—f(x1,x2+h2,...,xn+hn)+f(x1,x2+h2,...,xn+hn)—f(x1,x2,x3+h3,...,xn+hn)+...+f(x1,x2,...,xn-1,xn+hn)—f(x1,x2, ...,xn)=где воспользовались наличием у функции fв области V(x)частных производных по каждой из переменных. Сейчас воспользуемся их непрерывностью в точке x. Продолжая предыдущие преобразования, получаем, что, где величины в силу непрерывности вточке x стремятся к нулю при h →0. Но это означает, что f(x+ h)—f(x)= L(x)h+ o(h)при h0, где L(x)h=(x1,x2,...,xn)h1+ ...+(x1,x2,...,xn)hn 18.Производная по направлению. Градиент. Опр.1 Если существует предел ,то он называется производной функции f по направлению вектора w в точке a и обозначается . Если w=ej, j=1,n где ej координатный вектор пространства Rn, то =, т.е. частные производные функции f в точке а являются производными этой функции в точке а по направлению соответствующих координатных осей. Опр.2. Вектор (, …, ) называется градиентом функции f в точке а и обозначается grad f(a). Теорема6. Если функция f: X→R, XCRn дифференцируема в точке аϵХ, то она имеет в этой точке производные по любому направлению , причем =*grad f(a). |