1. Несобственные интегралы и их свойства. Опр

• Название: 1. Несобственные интегралы и их свойства. Опр
• Анкор: shpora_po_mtaanu.docx
• Дата: 24.03.2018
• Размер: 0.76 Mb.
• Имя файла: shpora_po_mtaanu.docx
• Тип: Документы; #17133
• страница: 6 из 7

37. Бесконечные произведения.

Определение 1. Пара последовательностей {u_n}, U_n€R, n= 1, 2,... и {P_n} где P_n= u₁• u₂• ... • u_nназывается бесконечным произведением и обозначается . (1)

свойства бесконечных произведений. Выражение q_n= u_n+1• u_n+2• ... называется n-ым остаточным произведением.

1°. Если бесконечное произведение сходится, то любое его остаточное произведение сходится. Если какое-либо остаточное произведение сходится то и само бесконечное произведение сходится. Следовательно, отбрасывание или присоединение конечного множества отличных от нуля первых сомножителей не влияет на сходимость бесконечного произведения.

2^°. Если бесконечное произведение (1) сходится, то предел его остаточного произведения limq_n= 1.(n→)

3° (Необходимое условие сходимости бесконечного произведения.) Если бесконечное произведение сходится, то limu_n= 1.(n→)

Теорема 18. Бесконечное произведение (1) у которого u_n>0, n= 1, 2,.. . сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд (2)

В случае сходимости сумма S ряда (2) и значение P бесконечного произведения (1) связаны соотношением P=e^S.(3)

Доказательство. Пусть P_n— n-ое частичное произведение для (1), S_n— n-ая частичная сумма для ряда (2). Тогда
lnP_n= S_n, откуда P_n= ^Sn. Переходя к пределу при n→ получим утверждение теоремы и формулу (3).

Теорема 19. Если u_n>=0 или u_n<=0, n= 1, 2, .. . то бесконечное произведение (4)сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд (5)

Доказательство. Условие =0 является необходимым для сходимости бесконечного произведения (4) для сходимости ряда (5). Из этого условия и равенства

=1 следует, что =1 (6) Поскольку члены ряда (4) и ряда ) (7) начиная с некоторого номера n сохраняют один и тот же знак, то в силу (6) согласно предельного признака сравнения ряды (5) и (7) сходятся и расходятся одновременно. На основании теоремы 18 бесконечное произведение (4) и ряд (7) сходятся и расходятся одновременно. Поэтому бесконечное произведение (4) и ряд (5) также будут сходиться и расходиться одновременно.

38. Равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей.

Теорема 1(Критерий Коши): Функциональная последовательность равномерно сходится на Е тогда и только тогда, когда

∃ℕ:n>N,ℕ.(1)

Док-во. Необходимость. Пусть на Е. Тогда

∃ℕ:n>N,

,n>N,ℕ,

Достаточность. Пусть имеет место (1). Тогда при любом фиксир. последовательность{} является числовой последовательностью, удовлетворяющей критерию Коши, и потому она сходится.

Пусть на Е. Покажем, что посл. {} сходится равном.к ф-ции на мн-ве Е. Действительно, переходя в (1) к пределу при получим

.

Это и означает равномерную сходимость .

Теорема2.(Кр.Коши равном.сход.функ.ряда) Функ ряд (2) равномерно сходится на множестве Е тогда и только тогда, когда ∃ℕ:n>N,ℕ,_→

|(x)|<ε Справедливость утверждения теоремы следует из равенства (х)=S_n+p(x) – S_n(x) и теоремы 1.

39.Признаки равномерной сходимости функц. рядов.

Теорема (Признак Вейерштрасса).Если числовой ряд сходится и имеет место неравенство , то функц. ряд равном.сх. на Е.

Док-во. Согл. нерав-ву, и крит. Коши сходимости числ рядов:

след-но , по критерию Коши равномерной сходимости функ рядов ,этот ряд сходится равномерно на Е.

Рассмотрим функц. ряд (1)

Теорема(Признак Абеля). Если функц. ряд равном. сход. на Е, а посл-ть {} монотонна при каждом и ограничена на Е, то ряд (1) равном сход.на Е.

Теорема(Признак Дирихле). Если посл-ть част. Сумм

{} рядаогр. на Е, а посл. {} монотонна при каждом и равном. стремится к нулю на Е, то функц. ряд (1) равном сх. на Е.
Эти призн доказ. аналогично соотв. призн. сходим.для рядов

40. Почленный переход к пределу Теорема6. Если ф. ряд равном. сх. к сумме S(x) на мн-ве Е, и сущ. пределы , то ф-ция S(x) имеет предел в точке , причем

(1)

Док-во. Согласно крит. Коши для ряда , имеем

(2)

Переходя к пределу при , получим . След.ряд удовл. критерию Коши, а значит сх.

Рассм. разность S(x)- . Т.к. S(x)=, то

.

Из равном.сходим. ряда на Е и сходим. ряда , заключаем, что ∃ℕ, что , и . Так как предел суммы равен сумме пределов, то для указанных и nсущ. , что для ,таких, что, выполн. нерав-во

Из сказанного имеем, что для, а это значит S(x) имеет предел в точке и справедливо (1).

41. Непрерывность суммы ряда.

Теорема7.Если функции f_n(x), n = 1, 2, . . . непрерывны в точке x_o€ E и функциональный ряд (1.2) равномерно сходится к S(x) на E, то его сумма S(x) непрерывна в точке x_o.Утверждение теоремы следует из теоремы 6, если положить, что u_n = f_n(x_o), n = 1, 2,...

Заметим, что каждой функциональной последовательности соответствует некоторый функциональный ряд, для которого она является последовательностью частичных сумм, поэтому в терминах функциональных последовательностей теоремы 6 и 7 формулируются:

Теорема 6'. Если функциональная последовательность {f_n(x)} равномерно стремится к fна Eи для любого n€Nсуществует limf_n(x) = u_n,(x→x₀) то предельная функция fимеет предел в точке xo, причем

Теорема 7'. Если функции f_n(x), n = 1, 2,... непрерывны в точке x_o€Eи f_n4 fна E, то предельная функция fнепрерывна в точке x_o.
42.Интегрирование равномерно сходящихся рядов и последовательностей

Теорема8. Пусть ф-ции , n=1,2,…непрерывны на Е и функциональный ряд равном.сход. к сумме S(x) на Е. Тогда этот ряд можно почленно интегрировать по любому отр-ку , причем имеет место рав-во

(1)

Доказательство. Имеем , где . Функция S(x) – непрерывна на Е. Т.к. , непр. на Е, то непрер. на Е, откуда следует непрер. на Е и

или

(2)

где . Поскольку на Е, то на Е. Это озн., что ∃ℕ:n>N,вып. нерав.

Тогда

т.е. Поэтому, переходя в (2) к пределу при, получим (1)


43. Дифференцирование равномерно сходящихся рядов.
Теорема9.Пусть функции непр. дифференцируемы на пром-ке Е и ряд, составленный из производных

равномерно сходится на Е. тогда, если функц. ряд сх. к сумме S(x), то ф-я S(x)непр. дифференцируема на Е и

(1)

т.е. ряд можно почленно дифференцировать.

Док-во. В силу усл-я теоремы, ф-я непрерывна на Е, а сам ряд можно почленно интегрировать:

, где , т.е. (2)

Дифференцируя (2), получим , . Подставляя значениеполучим (1).

44. Степенной ряд, радиус сходимости.

Опред: Ряд вида , где , наз степенным рядом, а числа наз коофициентами степенного ряда. Приполучим (1)

Теорема 10(Первая теорема Абеля): Если степенной ряд

(1) Сходится при , то он сходится и притом абсолютно, при любом , для которого .Доказательство.Пусть ряд сходится. Тогда его n-й член стремится к нулю при. Поэтому последовательность {} ограничена, т.е. сущ. такая пост. М>0, что ||М. В силу этого, для n-го члена ряда (1) имеет местоЕсли , то ряд , являясь суммой геом. прогр. со знаменателем , сходится. Поэтому согласно призн. сравн., сх. и ряд , а это озн. абс. сходимость ряда (1)

Опр.: Пусть дан степенной ряд Если R – неотрицательное число или обладает тем свойством, что при всех z, для которых ряд сходится, а при всех z, для которых , ряд расходится, то ряд R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Теорема 11.У всякого степенного ряда существует радиус сходимости R. Внутри круга сходим., т.е. при любом , для которого , ряд сход.абсолютно. На любом круге , где r<R, ряд сх. равномерно.

Док-во. Обозначим ч-з А мн-во всех неотр. чисел, при которых ряд сх. При z=0 этот ряд сх., поэтому мн-во А не пусто и, след-но, имеет конечную или бесконечную верхнюю грань. Покажем, что supA=R.

Действительно, пусть Cи . Существует такое . В силу определения мн-ва А, дляуказ. xряд сход., след-но, согласно первой т-м Абеля, в выбр. точке сх. абс. ряд .

Если |z|
Итак, R является радиусом сходимости.

44. Если теперь 0. А т.к. для любой точки zкруга |z|r имеем , то согласно призн. Вейерштрасса, на этом круге ряд сх. равномерно.

Т3(Вторая теорема Абеля): Если ряд (1) сход при z=R, то он сход равномерно на отр [0,R].

45. Формула Коши-Адамара

Теорема: Пусть R – радиус сходимости степенного ряда . тогда

(1)

Формула (1) называется формулой Коши-Адамара.

Доказательство: Положим . Рассмотрим сначала случай . Покажем, что в этом случае ряд сходится при любом . Возьмем к.-л. и такое , что Тогда , что , отсюда по призн. сравнения следует, что ряд сходится абсолютно, а значит, и просто сходится при данном z, а т.к. z было произвольно, то это означает, что R=. Возьмем случай . Покажем, что в этом случаеряд расходится при любом . Действительно, если , то существует подпоследовательность , такая, что . Поэтому каково бы ни было , существует такой номер , что при k>имеем . Таким обр., не выполняется необх. усл-е сходимости ряда – стремление к нулю n-го, поэтому при данном ряд расх., а т.к. - произвольно, то это означает, что R=0.

Пусть . Покажем, что при всяком z таком, что ряд сходится. Выберем так, чтобы . Тогда число , определяемое равенством , будет удовлетворять неравенству . Согласно свойству верхнего предела , что при будет , и поэтому . След-но и в этом случае не выполняетя необх. усл-е сходимости ряда, и поэтому для рассматриваемого z ряд расх.

Таким обр. ряд сходится, если , а это и означает, что


46.Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Теорема: Радиусы сходимости степенных рядов

(1), (2), (3) равны.

Доказательство: Пусть R₁, R₂, R₃–радиусы сходимости рядов 1-3 соответственно. Поскольку то формуле Коши-Адамара найдем . Откуда R₁=R₂=R₃. В дальнейшем будем рассматривать степенной ряд ,(4)где числа a_n, n=1,2,…, x₀. И переменная x принадлежат R.Пусть R – радиус сходимости степенного ряда (4), тогда (x₀-R;x₀+R)–его интервал сходимости.

Теорема 15. Если R>0 радиус сходимости степенного ряда (4), то внутри интервала сходимости ( xo- R; xo+R) этот ряд можно почленно дифференцировать и почленно интегрировать. При этом полученные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и сам ряд (4), и:

, где х€( xo- R; xo+R).

47. Аналитические функции. Ряд Тейлора.

Если ф-ия f(x) аналит в т. x₀€R то в некот окрестн этой точки на действ оси ф-ия f(x) представима в виде степенного ряд. (1) с действ.коэф a_n (a_n€R)

ОпределениеПусть ф-я определена и имеет производные всех пор-ков на интервале , тогда степенной ряд вида , наз. рядом Тейлора ф-ции в точке

Формула Тейлора для ф-ции f(x) в т.

УтверждениеФ-я равна сумме своего ряда Тейлора на рассматр. инт-ле тогда и только тогда, когда в каждой точке указанного интервала

ТеоремаПусть выполняются нерав-ва , где M>0. Тогда имеет место

(1)

Доказательство. Согласно представлению остаточного члена формулы Тейлора в форме Лагранжа, имеем

, 

где

Числ. ряд сходится по призн. Даламбера. Тогда на основании необх. условия сходимости ряда , и следовательно ,. Поэтому, согласно утверждению 1 имеет место (1)

48. Ряды Тейлора основных элементарных функций.

Разложение в ряд функций f(x)=e^x, f(x)=sin(x), f(x)=cos(x), f(x)=ln(1+x), f(x)=(1+x)^α