1. Несобственные интегралы и их свойства. Опр
 Скачать 0.76 Mb.
|
|
1. Разложим в ряд функцию f (x)=ex: Посколькуf(x)=ex, nN, то для любого фиксированого a>0, x(-a;a) выполним неравенство 0 Функция e раскл. В ряд Тейлора на любом конечном интервале, т.е. на числовой оси, а т.к.f(0)=1, то получим разложение: e= (1) Т.к. R=, то ряд абсолютно сходится на всей числовой оси. 2. Разложим в ряд функции f(x)=sinx и f(x)=cosx: f(x)=sinx: , поэтому : следовательно функция sinx раскладывается в степенной ряд на всей числовой оси Тогда ,. Аналогично получаем, что ,. 3. Разложим в ряд: На основании теоремы о поименном интеграле степенного ряда с учётом выражения для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеем: Указанный ряд сходится попризнаке Лейбница и при x=1. Следовательно разложение справедливо при x(-1;1] 4. Разложим в степенной ряд в степени бинома . Поскольку формула Тейлора для функции имеем вид: Формула Стирлинга (формула описывает асимптотическое поведение факториала n! при n→∞) n! при n→∞ согласно опред.асимптот.равенства для последовательностей, это означает, что =1 Формулы Эйлера определение функций , sin z, cos z для комплексного аргумента z cos z = , sin z= , =cos z +i sin z 49.Ряды Фурье по ортонормированной системе функций. Опр.: Ряд вида наз. тригонометрическим рядом. Теорема1: Пусть (1) и ряд, стоящий в правой части этого рав-ва сходится равномерно на отр-ке . Тогда (2) Доказательство: Поскольку ряд, стоящий в правой части рав-ва (1) сходится раномерно на отр-ке, а все его члены явл. непрерывными на этом отрезке функциями, то его сумма непр. на отр-ке , а сам ряд можно почленно интегрировать от до , т.е. , откуда следует (2). Если ряд (1) почленно умножить на и , то полученные ряды будут также равномерно сходиться на отрезке . Интегрируя почленно эти ряды и используя св-во ортогональности тригонометрической системы и равенство , получим: Аналогично получим akk Из полученных соотношений вытекают формулы (2) Опр.4. Тригоном.ряд коэфф которого выражаются по формулам (2) наз рядом Фурье, или тригоном рядом Фурье функ f(x) где считается, что f(x) абсолютно интегрируема на отрезке [-] f(x)+ Теорема (Римана)Если функция f (x) абсолютно интегрируема на промежутке (а; b) конечном или бесконечном, то Теорема 3. Коэффициенты Фурье абсолютно интегрируемой функции стремятся к нулю при n —>. 50. Интеграл Дирихле. Пусть ф-ция абсолютно интегрируема на отр-ке . Подставив в выражения для коэффициентов Фурье получим: Положим , тогда: Ф-ция наз. ядром Дирихле, а интеграл, стоящий в правой части этого рав-ва – интегралом Дирихле. Лемма: Ядро Дирихле:
51. Сходимость рядов Фурье в точке(лемма 1) Опр.: Функция непрерывна в точке x справа(слева), если Опр.: Непрерывная справа(слева) функция имеет в точке х правую(левую) производную, если существует конечный предел Если ф-ция непрерывна как справа, так и слева и в точке х, то функция имеет в точке х конечную производную , причем Опр.: Точка называется регулярной точкой функции , если Составим вспомогательную ф-цию . Если ф-ция регулярна в точке х, то Лемма: Пусть - периодическая, абсолютно интегрируемая ф-ция на отрезке длины . Тогда интегралы , где сходятся и расходятся одновременно. Доказательство: В силу аддитивности Интеграл является сходящимся, т.к. ф-ция явл. абсолютно интегрируемой ф-цией как сумма абсолютно интегрируемых функций, а функция 1/(sin(t/2)) является непрерывной на отрезке []. Поскольку =1/2, то на основе предельного признака сравнения несобственных интегралов заключаем, что интегралы сходятся и расходятся одновременно, так как функция fx *(t) абсолютно интегрируема, значит имеет только конечное число особых точек. Последнее позволяет выбрать ῆ так, что у функции fx *(t)/t и fx *(t)/sin t/2 есть одна особенность t=0ю Полученное доказывает лемму 52. Признак Дини и следствия из него Теорема4: Пусть выполняются условия:
Тогда ряд Фурье функции сходится в точке х к значению . Следствие 1. Если условия теоремы 4 выполнены, то в любой регулярной точке функции f (вчастности, во всех ее точках непрерывности) ряд Фурье этой функции сходится к ее значению в рассматриваемой точке. Следствие 1 непосредственно следует из теоремы в силу определения регулярной точки функции. Следствие 2. Если f — 2п-периодическая функция, абсолютно интегрируемая на отрезке длины 2п, и в точке x существуют f(x+0), f (x—0), f+ 1(x) и f— 1(x), то ряд Фурье функции f сходится в этой точке к значению Следствие 3. Ряд Фурье кусочно дифференцируемой на отрезке [—п;п] функции f сходится в каждой точке интер- вала (—п, п) к значениюа в точкаx= —п и x= п к значению . 53. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических. Пусть функция fабсолютно интегрируема на отрезке [ -п;п , ] и удовлетворяет условию f( -п ) = f(п ) , а следовательно, 2п-периодически продолжаема на всю действительную ось. Пусть Sn(x) -ее суммы Фурье, а Dn(x) - ядра Дирихле, n= 0,1, 2,... Рассмотрим средние арифметические: Сумма называется суммой Фейера n-го порядка функции f, а Фn(x) — ядром Фейера n-го порядка. Из формулы Sn(x) = получаем = du. Будем исследовать поведение сумм при n→, т.е. рассмотрим суммирование ряда Фурье методом средних арифметических. Лемма 1. Ядра Фейера имеют следующие свойства: 1) Они являются непрерывными, четными, 2п-периодическим функциями и Фn(0)= ; 2) 3) При t≠ 2пm, m€Z справедлива формула Фn(t) = Доказ-во:Свойство 1) следует из соотв.свойств ядер Дирихле, например: . Свойство 2) также следует из соответв. Свой-ва ядра Дирихле. . Второе рав-во свойства 2) сразу следует из четности ядер Фейера. Докажем сво-во 3). Пусть t≠2пm, m€Z, тогда . 54. Теорема Фейера. Теорема 5 (Фейера). Если функция f непрерывна на отрезке [—п,п] и принимает на его концах равные значения, то последовательность ее сумм Фейера сходится равномерно на этом отрезке к самой функции. Доказательство. Пусть функция fнепрерывна на отрезке [ -п, п] и f(-п) = f( п) . Продолжим ее 2п-периодически на всю числовую ось R. Оценим разность f (x) — (x) Зафиксируем точку x€ [ — п, п] и зададим произвольное > 0. Имеем (4.16) где δ>0 выбрано так, что значение модуля непрерывности w(; f) функции fудовлетворяет неравенству w(; f) <. Это возможно, так как функция fравномерно непрерывна на всей числовой оси R. Поэтому для любого x € R имеем . (4.17) Оставшиеся два интеграла оцениваются одинаковым способом: функция fограничена на всей числовой прямой, т.е. существует такая постоянная M>0, что для всех x€Rимеет место неравенство |f(x)|<=M. Согласно следствию 2 из леммы 1, правая часть полученного неравенства стремится к нулю при n→, поэтому существует такое n0, что при всех n>n0выполняется неравенство(4.18) Аналогично, для любого x€R и всех n>n0имеем(4.19) Из (4.16), (4.17), (4.18) и (4.19) для произвольного x€R и всех n>n0имеем |f (x) — (x)| <и, так как выбор номера n0 не зависит от выбора точки x, то последовательность {n(x)} сходится равномерно на всей числовой оси R к функции f. 55. Теорема Вейерштрасса. Теорема 6 (Вейерштрасса). Если функция f непрерывна на отрезке [—п, п] и f(—п) = f (п), то для каждого>0 существует такой тригонометрический многочлен T(x), что | f(x) — T(x) | <, —п<=x<=п. Доказательство. Очевидно, что все частичные суммы Фурье, а следовательно, и суммы Фейера абсолютно интегриру- емых на отрезке [—п, п] функций являются тригонометрическими многочленами. Поэтому в качестве искомого тригонометрического полинома T(x) можно взять, например, соответствующую сумму Фейера), являющуюся, очевидно, тригонометрическим полиномом порядка не выше n. Теорема 7 (Вейерштрасса). Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], то для каждого >0 существует алгебраический многочлен P(x) такой, что | f(x) — P(x) | <, a<= x<= b. Док-во. Отобразим отрезок [0;] линейно на отрезок [a;b]: x=a+t, 0≤t≤, a≤x≤b, и пусть f*(t)=f(a+t). Функция f* определена на [0;]. Продолжим ее четным образом на отрезок [-], т.е. положим f*(t)=f*(-t), если tϵ[-]. Полученная т.о. функция f* непрерывна на [-] и f*()=f*(-). Поэтому, согласно теореме 6, для ε>0 существует тригонометрический полином T(t) такой, что < T(t)=ktk 56. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Теорема 8. Пусть квадрат функции f интегрируем на отрезке [—п,п]. Тогда если Sn(x) - ее сумма Фурье порядка n, то (1) где минимум в правой части равенства берется по всем тригонометрическим многочленам Tnстепени не выше n. Если a0, an, bn, n = 1, 2,. .. - коэффициенты Фурье функции f, то справедливо неравенство (2) Называемое неравенством Бесселя. Доказательство. Пусть Tn (x)=+ Тогда, раскрывая скобки в выражении (3) получим = Теорема 9. Пусть функция f непрерывна на отрезке [—п, п] , f(п) = f(—п) и a0, ak, bk, k=1, 2,. .. - ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство Называемое равенством Парсеваля. 57.Диф. тригонометрических рядов Фурье. Теорема10. Пусть функция f непрерывна на отрезке [-], f(-)=f() и пусть f(x)+ Если функция f кусочно непрерывно дифференцируема на отрезке [-], то f’(x) Т.е ряд Фурье производной получается из ряда Фурье самой функции формальным почленным дифференцированием (при этом без каких-либо предположений о сходимости ряда Фурье производной). Доказательство. Пусть f’(x)+ Тогда замечаем, что f(-)=f() и интегрируя по частям, получим 0=(f()- f(-))=0, n=f()cosnt+f()sinntdt=nbn, n=f()sinnt- f()cosntdt= = -nan, n=1,2,… 58. Интегрирование рядов Фурье Теорема12. Пусть f – непрерывная на отрезке [-] функция и + (1) ее ряд Фурье. Тогда + (2) И ряд, стоящий справа, сходится равномерно. Доказательство. Рассмотрим функцию F(t)= (3) Она непрерывна на отрезке [-], и более того. Имеет непрерывную производную F’(t)= Причем F()- F(-)=0. Поэтому в силу теоремы о сходимости ряда Фурье функции к самой функции, ее ряд сходится к ней, и притом равномерно. Обозначим ее коэффициенты через А0, An, Bn, n=1,2,.. тогда в силу сказанного F(x)=+ (4) найдем коэффициенты этого ряда. Интегрируя по частям, получим n=F()sinnt- -)sinntdt= -bn/n , n=1,2,… Аналогично Bn=an/n, n=1,2,.. Чтобы найти A0, положим в (4) t=0. Тогда F(0)=0 получим +=0, откуда = Получаем в итоге F(t)= Так отсюда и из (3) следует формула(2), равномерная сходимость ряда (2) следует из равномерной сходимости ряда (4). 59.Комплексная форма ряда Фурье. Пусть f(x)+ (1) Известно cos nx=1/2 *(+), (2) sin nx=1/2i *(-)=i/2**(-) (3) Подставив (2) и (3) в (1) получим f(x)++ Возьмем c0=, cn=, c-n= имеем f(x)n (4) Поскольку cos ��isin��=, то будем иметь Cn=, nZ (5) Подставим (5) в (4) получим f(x) |