лабораторная 5. Лабораторная работа №5. Лабораторная работа Краткие теоретические сведения Метод множителей Лагранжа

• Название: Лабораторная работа Краткие теоретические сведения Метод множителей Лагранжа
• Анкор: лабораторная 5
• Дата: 05.12.2021
• Размер: 306.02 Kb.
• Имя файла: Лабораторная работа №5.docx
• Тип: Лабораторная работа; #292270
• страница: 1 из 9

Лабораторная работа № 5.

Краткие теоретические сведения

Метод множителей Лагранжа

Метод множителей Лагранжа позволяет решить задачу оптимального управления, постановка которой в общем случае имеет вид:

1. 
   Уравнения движения объекта управления
   

𝑥̇_𝑖 = 𝑓_𝑖⁽𝐱, 𝐮, 𝑡⁾, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛,

где 𝐱 = ⁽𝑥₁ 𝑥₂ … 𝑥_𝑛^)𝑇 – вектор фазовых координат,

𝐮 = ⁽𝑢₁ 𝑢₂ … 𝑢_𝑟^)𝑇 – вектор управляющих переменных.

Уравнения движения объекта управления должны быть приведены к дифференциальным уравнениям первого порядка, разрешенным относительно производных всех фазовых координат 𝑥_𝑖. Таким образом, количество дифференциальных уравнений совпадает с количеством фазовых координат 𝑛.

2. 
   Ограничения 𝜑_𝑘⁽𝐱, 𝐮, 𝑡⁾ = 0, 𝑘 = 1, 2, … , 𝑙.
   

Ограничения представляют собой алгебраические уравнения, кото рым должны удовлетворять фазовые и управляющие переменные. Ограничения могут отсутствовать (то есть 𝑙 = 0), если все процессы, протекающие в объекте управления, описаны с помощью дифференциальных уравнений.

3. 
   Граничные условия
   

В задаче с фиксированными концами все фазовые координаты заданы в начальный 𝑡₀ и конечный 𝑡_𝑓 моменты времени. Таким образом, будет 2𝑛 граничных условий. В задаче с подвижным концом отсутствуют одно или несколько граничных условий и их будет меньше чем 2𝑛.

В более общем случае граничные условия имеют вид



где 𝑞 ≤ 𝑛 – количество граничных условий.

4. 
   Критерий оптимальности
   

Критерий оптимальности в общем случае включает терминальное слагаемое 𝑔₀ и интегральное. Терминальное слагаемое может присутствовать только в задаче с подвижным концом или нефиксированным временем, так как в задаче с закрепленными концами и фиксированным временем исключена вариация величин .

Алгоритм решения такой задачи включает следующие действия:

1. 
   Составить гамильтониан
   

При 𝑙 = 0 вторая сумма отсутствует. Множитель Лагранжа 𝜓₀ = −1.

2. 
   Составить уравнения Эйлера–Лагранжа
   

Последние уравнения называют условием стационарности.

3. 
   Выразить управляющие переменные 𝑢_𝑠 (𝑠 = 1, 2, … , 𝑟) из условия стационарности и подставить в уравнения движения и уравнения Эйлера– Лагранжа. Получится система дифференциальных уравнений:
   

𝑥̇_𝑖 = 𝑓_𝑖⁽𝐱, 𝐮, 𝑡⁾, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛;

4. 
   Решить данную систему уравнений с учетом граничных условий. В случае отсутствия некоторых граничных условий (задача с подвижным концом) записываются условия трансверсальности:
   

Для задачи с нефиксированным временем составляются условия трансверсальности, обусловленные вариацией начального или конечного момента времени:

.

Количество граничных условий и условий трансверсальности должно совпадать с количеством постоянных интегрирования, то есть с количеством дифференциальных уравнений. Найти постоянные интегрирования.

5. 
   Подставить найденные постоянные интегрирования в выражения для 𝑥_𝑖(𝑡) и 𝜓_𝑖(𝑡), затем выразить 𝑢_𝑗(𝑡) и записать в ответе оптимальные функции управления и функции переменных состояния . Построить графики функций ^и .