лабораторная 5. Лабораторная работа №5. Лабораторная работа Краткие теоретические сведения Метод множителей Лагранжа

• Название: Лабораторная работа Краткие теоретические сведения Метод множителей Лагранжа
• Анкор: лабораторная 5
• Дата: 05.12.2021
• Размер: 306.02 Kb.
• Имя файла: Лабораторная работа №5.docx
• Тип: Лабораторная работа; #292270
• страница: 7 из 9

Пример выполнения лабораторной работы № 7

Исходные данные:

3. 
   Уравнения движения:
   

Граничные условия:

𝑥₁⁽0⁾ = 𝑥₂⁽0⁾ = 0, ,

Критерий оптимальности в случае минимального расхода энергии управляющего воздействия равен:

Решение:

Для учета изопериметрического ограничения введем дополнительную переменную состояния:

𝑥̇₃ = 𝑢²; 𝑥₃⁽0⁾ = 0; .

Таким образом, уравнения движения и граничные условия примут вид:

1. 
   Гамильтониан
   

2. 
   Уравнения Эйлера–Лагранжа
   

Условие стационарности

3. 
   Из условия стационарности выразим
   

Подставив 𝑢 в уравнения движения и уравнения Эйлера–Лагранжа, получим систему уравнений

4. 
   Решение данной системы дифференциальных уравнений с учетом начальных граничных условий 𝑥₁⁽0⁾ = 𝑥₂⁽0⁾ = 𝑥₃⁽0⁾ = 0 имеет вид:
   

𝜓₁⁽𝑡⁾ = 𝐶₇,

𝜓₂⁽𝑡⁾ = −𝐶₇𝑡 + 𝐶₉,

𝜓₃⁽𝑡⁾ = 𝐶₈.

Управляющая переменная будет равна:

𝑢⁽𝑡⁾ = − ^{𝐶9−𝐶7𝑡}.

2𝐶₈

Применить три граничных условия в конечный момент времени нель зя, так как неизвестно значение 𝑡_𝑓.

Используя граничные условия в конечный момент времени

запишем три уравнения:







Так как конечное время не фиксировано, составим условие трансверсальности, обусловленное вариацией конечного момента времени:


где 𝐺 = 𝑡_𝑓.

Таким образом


𝐻|_{𝑡=𝑡𝑓} = −1,

𝜓₁(𝑡_𝑓)𝑥₂(𝑡_𝑓) + 𝜓₂(𝑡_𝑓)𝑢(𝑡_𝑓) + 𝜓₃(𝑡_𝑓)𝑢(𝑡_𝑓)² = −1.

Подставив выражения 𝜓₁(𝑡), 𝜓₂(𝑡), 𝜓₃(𝑡), 𝑥₁(𝑡), 𝑥₂(𝑡), 𝑥₃(𝑡) с заменой

𝑡 = 𝑡_𝑓, получим



Запишем полученную систему из четырех уравнений (одно условие трансверсальности и три граничных условия):


Решение этой системы уравнения относительно неизвестных 𝐶₇, 𝐶₈, 𝐶₉, 𝑡_𝑓 имеет вид:

𝐶₇ = 0,5623,

𝐶₈ = −0,0562,

𝐶₉ = 0,4743,

𝑡_𝑓 = 1,6869 с.

Вообще, данная систем уравнения имеет три корня, но в двух из них время 𝑡_𝑓 равно комплексной величине, поэтому оставляем только корень, в котором время является положительным действительным числом.

5. 
   Подставив найденные постоянные в выражения для 𝑥_𝑖(𝑡) и 𝑢(𝑡), получим