лабораторная 5. Лабораторная работа №5. Лабораторная работа Краткие теоретические сведения Метод множителей Лагранжа

• Название: Лабораторная работа Краткие теоретические сведения Метод множителей Лагранжа
• Анкор: лабораторная 5
• Дата: 05.12.2021
• Размер: 306.02 Kb.
• Имя файла: Лабораторная работа №5.docx
• Тип: Лабораторная работа; #292270
• страница: 9 из 9

Пример выполнения лабораторной работы № 8

Исходные данные:

Исходные данные:

1. 
   Уравнения движения:
   

2. 
   Ограничение :
   

3. 
   Граничные условия:
   

𝑥₁⁽0⁾ = 𝑥₂⁽0⁾ = 0, , 𝑡_𝑓 = 10 с.

4. 
   Критерий оптимальности в случае минимального расхода энергии управляющего воздействия равен:
   

Решение:

1. 
   Гамильтониан
   

2. 
   Уравнения Эйлера–Лагранжа
   

Решение данной системы уравнений с точностью до постоянных интегрирования:

𝜓₁ = 𝐶₁, 𝜓₂ = −𝐶₁𝑡 + 𝐶₂.

3. 
   Условие принципа максимума:
   

max 𝐻 = max⁽𝜓₁𝑥₂ + 𝜓₂𝑢⁾ = 𝜓₁𝑥₂ + max⁽𝜓₂𝑢⁾.

|𝑢|≤5

|𝑢|≤5

|𝑢|≤5

Из условия принципа максимума следует, что 𝑢 = 5sign(𝜓₂). То есть принимает значение 5 или –5 в зависимости от знака функции 𝜓₂ = −𝐶₁𝑡 + 𝐶₂. Так как функция 𝜓₂ линейная, то она может изменить знак только один раз и может быть только одна точка переключения. Обо- значим момент переключения 𝑡₁. Возможно два варианта:



Далее необходимо полностью выполнить решение для обеих гипотез и выбрать ту из них, для которой ответ получится оптимальным.

Для начала рассмотрим первую гипотезу:

4. 
   Найдем решение системы уравнений движения для двух участков
   

а) Первый участок 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡₁, 𝑢 = 5.

С учетом граничных условий в начальный момент времени 𝑥₁⁽0⁾ = 𝑥₂⁽0⁾ = 0 решение данной системы дифференциальных уравнений будет следующим:

б) Второй участок 𝑡₁ < 𝑡 ≤ 𝑡_𝑓, 𝑢 = −5.


С учетом граничного условия в конечный момент времени 𝑥₂⁽10⁾ = 0 решение данной системы дифференциальных уравнений будет иметь одну произвольную постоянную:

𝑥₁₂ = 𝐶 + 𝑡⁽50 − 5𝑡⁾, 𝑥₂₂ = 50 − 5𝑡.

Для определения постоянной 𝐶 и времени переключения 𝑡₁ запишем условия неразрывности:


Решив данную систему уравнений, получим: 𝑡₁ = 5 c, 𝐶 = −125.

5. 
   Таким образом, оптимальные управляющая переменная и пере менные состояния будут равны:
   

Графики функции управления 𝑢^∗(𝑡⁾ и переменных состояния

представлены на рис. 8.1.

Контрольные вопросы к лабораторной работе № 8

1. 
   В чем суть принципа максимума? Что общего с методом множителей Лагранжа и в чем отличие?
   
2. 
   В каких случаях следует применять принцип максимума Понтрягина?
   
3. 
   Расскажите алгоритм решения задачи оптимального управления с помощью принципа максимума Понтрягина.
   
4. 
   Чему равен критерий оптимальности в задаче? Как записать критерий оптимальности исходя из условий задачи?
   
5. 
   Классифицируйте задачу, решаемую в лабораторной работе.
   
6. 
   Как составляется условие максимума? Для чего оно используется?
   
7. 
   Как составляется условие неразрывности? Для чего оно используется?
   

5

u*
0
-5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t, с
150


100



_x *

1
50


0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t, с
25
20
15

_x *

2
10
5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

T, c

Рис. 8.1. Зависимости управления 𝑢∗(𝑡) и переменных состояния 𝑥1 ∗(𝑡), 𝑥2 ∗(𝑡) от времени