лабораторная 5. Лабораторная работа №5. Лабораторная работа Краткие теоретические сведения Метод множителей Лагранжа

• Название: Лабораторная работа Краткие теоретические сведения Метод множителей Лагранжа
• Анкор: лабораторная 5
• Дата: 05.12.2021
• Размер: 306.02 Kb.
• Имя файла: Лабораторная работа №5.docx
• Тип: Лабораторная работа; #292270
• страница: 5 из 9

Пример выполнения лабораторной работы № 6

Исходные данные:

1. 
   Уравнения движения:
   

Граничные условия:

𝑥₁⁽0⁾ = 𝑥₂⁽0⁾ = 0, , 𝑡_𝑓 = 1 с.

2. 
   Критерий оптимальности в случае минимального расхода энергии управляющего воздействия равен:
   

Решение:

1. 
   Гамильтониан
   

2. 
   Уравнения Эйлера–Лагранжа
   

Условие стационарности

3. 
   Из условия стационарности выразим
   

𝑢 = 𝜓₂^⁄2.

Подставив 𝑢 в уравнения движения и уравнения Эйлера–Лагранжа, получим систему уравнений

4. 
   Решение данной системы дифференциальных уравнений с учетом трех имеющихся граничных условий имеет вид:
   

Для поиска постоянной 𝐶₁ запишем условие трансверсальности:



где 𝐺 = 𝑔₀ = 0, так как в критерии оптимальности отсутствует терми нальное слагаемое. Таким образом,

5. 
   Подставив найденные постоянные в выражения для 𝑥_𝑖(𝑡) и 𝜓_𝑖(𝑡), получим
   

Графики функции управления 𝑢^∗(𝑡⁾ и переменных состояния представлены на рис. 6.1.

3


2



u*
1


0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t, с



1
0.8

1
0.6

x
0.4
02
0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t, с




1.5


1



x

2
0.5


0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t, с
Рисунок. 6.1.Зависимости управления 𝑢^∗(𝑡⁾

и переменных состояния от времени