Вопросы к экзамену по дифференциальным уравнениям

• Название: Вопросы к экзамену по дифференциальным уравнениям
• Дата: 03.03.2021
• Размер: 376 Kb.
• Имя файла: VOP.doc
• Тип: Вопросы к экзамену; #181627

Вопросы к экзамену по дифференциальным уравнениям.
Часть 1
1. ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной. Определение решения. Постановка задачи Коши. Теорема об эквивалентнос- ти задачи Коши для ОДУ первого порядка и задачи нахождения решения соответствующего интгрального уравнения.

2. ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной. Понятие поля направлений. Изоклины. Определение интегральной кривой. Определение существования задачи Коши. Теорема Пеано (формулировка). Единственность решения задачи Коши. Теорема Коши-Пикара (формулиров-ка).

3. ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной. Определение точки единственности и неединственности решения задачи Коши. Область единственности. Определение частного и особого решений. Где могут располагаться особые решения? Определение общего решения, интеграла и общего интеграла. Свойства интеграла.

4. ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной. Определение продолжения решения вправо (влево). Теорема о продолжимос-ти. Понятия полного решения и максимального интервала существования ре-шения. Чем отличается максимально возможный промежуток решения ОДУ от максимального интервала существования решения уравнения?

5. ОДУ с разделяющимися переменными и приводимые к ним линейной заменой. Метод нахождения общего и особых решений.

6. Однородные ОДУ и приводимые к ним переносом начала координат. Метод нахождения общего и особых решений. Обобщенные однородные ОДУ.

7. Линейные ОДУ с непрерывными на интервале коэффициентами. Нахождение области единственности и общего решения. Выяснить возмож-ность существования особых решений. Уравнения Бернулли и Риккати. Метод нахождения общего и особых решений.

8. ОДУ в полных дифференциалах. Теорема о необходимом и доста-точном условии существования уравнения в полных дифференциалах. Решение задачи Кощи.

9. Понятие интегрирующего множителя. Уравнение интегрирующего множителя. Нахождение интегрирующего множителя в простейших случаях.

10. Теорема о существовании интегрирующего множителя. Какая связь существует между двумя интегрирующими множителями одного и того же уравнения?

11. Доказать, что множество непрерывных на отрезке функций с метрикой представляет собой полное мет-

рическое пространство.

12. Сжимающий оператор и его непрерывность. Теорема о существова-нии неподвижной точки. Оценка погрешности.

13. Основное доказательство теоремы Коши-Пикара.

14. Огибающая семества интегральных кривых. Теорема о связи огиба-ющей с особой интегральной кривой. Теорема о необходимом условии сущес-твования огибающей у семейства гладких кривых , где - па- раметр, а функция дифференцируема по

15. Определение - дискриминантной кривой. Всякая ли -дискрими- нантная кривая является огибающей? Привести примеры. Достаточные усло- вия существования огибающей семейства гладких кривых где - параметр, а функция дифференцируема по

16. ОДУ первого порядка, не разрешенные относительно производной. Определение решения в явном, неявном и параметрическом видах. Постанов-ка задачи Коши для таких уравнений. Точки единственности и неединствен- ности. Теорема Коши-Пикара для таких уравнений.

17. Нахождение общего и особых решений уравнений и Метод нахождения особых решений уравнения где . Определение -дискриминантной кривой. Всякая ли -дискрими- нантная кривая является особой интегральной кривой? Привести примеры.

18. Нахождение общего и особых решений уравнений и Метод нахождения особых решений уравнения где . Определение -дискриминантной кривой. Всякая ли -дискрими- нантная кривая является особой интегральной кривой? Привести примеры.

19. Нахождение общего и особых решений уравнений Лагранжа и Клеро. Метод нахождения особых решений уравнения где . Определение -дискриминантной кривой. Всякая ли -дискрими- нантная кривая является особой интегральной кривой? Привести примеры.

20. ОДУ высших порядков, разрешенные относительно старшей производной. Определение решения. Задача Коши и теорема Коши-Пикара для таких уравнений. Определение общего решения.

21. ОДУ высших порядков, не разрешенные относительно старшей производной. Определение решения. Задача Коши и теорема Коши-Пикара для таких уравнений. Различные случаи понижения порядка уравнения.

22. ЛОДУ -го порядка с непрерывными на интервале коэффици-ентами. Определение решения. Постановка задачи Коши и теорема Коши-Пи-кара для таких уравнений. Выяснить возможность существования особых ре-шений.

23. Определения линейной зависимости и линейной независимости сис-темы функций, определенных на интервале Доказать, что системы функций N) и для , где и все R) линейно независимы на бесконечном интер-

вале Понятие определителя Вронского для системы функций . Теорема о необходимом условии линейной зависи- мости системы функций .

24. ЛООДУ -го порядка с непрерывными на интервале коэффи-циентами. Теорема о линейной комбинации решений. Теорема об эквивалент-ности трех утверждений о линейной зависимости решений.

25. Определение фундаментальной системы решений (ФСР) ЛООДУ -го порядка. Теорема о существовании ФСР у ЛООДУ -го порядка с неп-рерывными на интервале коэффициентами. Теорема о структуре обще- го решения ЛООДУ -го порядка с непрерывными на интервале коэф- фициентами.

26. Теорема о максимальном числе линейно независимых решений ЛООДУ -го порядка с непрерывными на интервале коэффициентами. Как построить ЛООДУ -го порядка, если известна его ФСР ? Теорема о ра-венстве двух ЛООДУ -го порядка, имеющих общую ФСР на интервале неп-рерывности коэффициентов.

27. Теорема Лиувилля-Остроградского и ее применение для нахождения общего решения ЛООДУ второго порядка, если известно одно нетривиальное частное решение этого уравнения.

28. Теорема о линейной однородной замене искомой функции в ЛООДУ -го порядка, где - нетривиальное частное решение этого уравнения. Понижение порядка ЛООДУ, если известно одно или нес-колько нетривиальных частных решений этого уравнения.

29. ЛНОДУ -го порядка с непрерывными на интервале коэффи-циентами и правой частью. Теорема о структуре общего решения. Принцип суперпозиции.

30. Теорема о решении задачи Коши для ЛНОДУ -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения общего решения ЛНОДУ -го порядка.
Часть 2
1. Пространство комплексных чисел. Комплексные функции действи- тельного переменного, являющиеся решениями ЛООДУ n-го порядка с дей- ствительными коэффициентами. Простейшие функции: показательная - , полином - , квазиполином - . Теорема о квазиполиномах.

2. Понятие операторного многочлена. Основные операции и свойства. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение ЛООДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Действие операторного мно- гочлена на простейшие функции: , , ,

3. Вид общего решения ЛООДУ n-го порядка с постоянными коэффици- ентами в случае простых корней характеристического уравнения.

4. Вид общего решения ЛООДУ n-го порядка с постоянными коэффици- ентами в случае наличия кратных корней у характеристического уравнения.

5. Оператор, обратный к операторному многочлену. Из какого класса функций в какой класс функций переводит обратный оператор данную функ- цию ? Будет ли обратный оператор однозначным ? Определение основных операций обратных операторов. Свойство коммутативности произведения прямого и обратного операторов и свойство коммутативности произведения обратных операторов.

6. Свойство линейности обратных операторов. Разложение обратного оператора на сумму простейших. Действие оператора (записать в интег-ральной форме Дирихле) на произвольную функцию. Действие обратного оператора на простейшие функции:

7. Отыскание частного решения ЛНОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами операторным методом и запись этого решения в интеграль- ной форме Дирихле. Алгоритм отыскания частного решения.

8. Отыскание частного решения ЛНОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами операторным методом в случае, когда правая часть есть по- лином

9. Отыскание частного решения ЛНОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами операторным методом в случае, когда правая часть является квазиполиномом , где , а коэффициенты полинома - комплексные числа.

10. Отыскание частного решения ЛНОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами операторным методом в случае, когда правая часть имеет вид: , где числа и коэффициен- ты полиномов и - действительные.

11. Приведение ЛООДУ n -го порядка с переменными коэффициентами к ЛООДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами заменой независи-мой переменной. Применение к нахождению общего решения уравнения Чебышева в интервале

12. Уравнение Эйлера. Нахождение общего решения в интервалах и

13. Уравнение Чебышева. Нахождение общего решения в интервалах и

14. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений: общего вида, канонические, нормальные. Порядок системы. Сведение канонической системы к нормальной. Запись нормальной системы в векторной и симметрической формах.

15. Определение решения нормальной системы. Фазовое и расширенное фазовое пространство. Определение интегральной кривой и фазовой траектории нормальной системы. Какая связь между интегральной кривой и фазовой траекторией ?

16. Задача Коши для нормальной системы. Точки единственности и неединственности решения задачи Коши. Частные и особые решения системы. Теорема Пикара для нормальной системы (формулировка).

17. Определение общего решения нормальной системы. Понятие интеграла, первого интеграла. Свойства интеграла нормальной системы.

18. Функционально независимые интегралы нормальной системы. Опре- делитель Якоби. Необходимое и достаточное условие независимости nпер- вых интегралов нормальной системы n-го порядка. Понятие общего интегра- ла нормальной системы.

19. Теорема о максимальном числе функционально независимых первых интегралов нормальной системы n-го порядка.

20. Понижение порядка нормальной системы с помощью первых интегралов. Приведение нормальной системы к одному уравнению. Всегда ли это возможно ? Метод интегрируемых комбинаций при нахождении общего интеграла нормальной системы.

21. Линейные системы дифференциальных уравнений. Запись в векторной форме. Задача Коши. Теорема Пикара (формулировка). Выяснить возможность существования особых решений.

22. Линейные однородные системы с переменными коэффициентами. Линейно зависимые и независимые системы решений. Доказать, что если система постоянных векторов линейно зависима, то и соответствующая им система решений линейной однородной системы линейно зависима на интервале непрерывности коэффициентов.

23. Фундаментальная система решений линейной однородной системы с переменными коэффициентами. Теорема о существовании ФСР.

24. Определитель Вронского для n произвольных решений линейной однородной системы n-го порядка с переменными коэффициентами. Связь линейной зависимости и независимости системы решений с определителем Вронского.

25. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Теорема о структуре общего решения.

26. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения общего решения линейной неоднородной системы n-го порядка с непрерывными на интервале коэффициентами и свободными членами

27. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами. Операторный метод нахождения общего решения.

28. Теорема Якоби. Необходимое и достаточное условие существования ФСР у линейной однородной системы дифференциальных уравнений.

29. Нахождение ФСР линейной однородной системы с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения.

30. Нахождение ФСР линейной однородной системы с постоянными коэффициентами в случае наличия кратных корней у характеристического уравнения.