Литература 12 введение математический анализ общеобразовательная математическая дисциплина, объектом изучения которой является большая область математики, связанная с понятиями функций, производной и интеграла. Дисциплина Математический анализ
![]()
|
СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 2 1. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 ПустьG – область в Rn, функция f: G R, интеграл не существует из-за того, что либо область G не ограничена, либо функция fне ограничена в области G,либо и то, и другое, но на каждом замкнутом кубируемом подмножестве функция f интегрируема по Риману. 3 При выполнении всех перечисленных выше условий 3 (1) 3 будем называть несобственным кратным интегралом. 3 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВДОЛЬ ЛИНИИ 4 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 5 4. ВЫЧЕСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 10 Интеграл Эйлера-Пуассона 10 Рассмотрим Это – несобственный двойной интеграл. Возьмём в качестве исчерпывающей последовательности последовательность кругов Тогда 10 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 11 ЛИТЕРАТУРА 12 ВВЕДЕНИЕ Математический анализ – общеобразовательная математическая дисциплина, объектом изучения которой является большая область математики, связанная с понятиями функций, производной и интеграла. Дисциплина «Математический анализ» отражает важное направление развития современной математики. В ней рассматриваются вопросы, связанные с методами вычислений, что важно для нашей специальности. Интегральное исчисление, раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. Интегральное исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа (или анализа бесконечно малых). Центральными понятиями интегрального исчисления являются понятия определённого интеграла и неопределённого интеграла функций одного действительного переменного. Так же не малую роль играет понятие кратные интегралы. Кратный интеграл - интеграл от функции нескольких переменных. Определяется при помощи интегральных сумм, аналогично определённому интегралу от функции одного переменного. В зависимости от числа переменных различают двойные, тройные, n-кратные интегралы. Так же существуют кратные несобственные интегралы. И целью моей курсовой работы является раскрыть один из разделов кратных интегралов – кратные несобственные интегралы. 1. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПустьG – область в Rn, функция f: G ![]() ![]() ![]() При выполнении всех перечисленных выше условий ![]() будем называть несобственным кратным интегралом. 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВДОЛЬ ЛИНИИ Пусть функция F (x, y) непрерывна на открытом круге ![]() Тогда для любого положительного b < a интеграл ![]() Однако может случится, что существует предел ![]() Предел I называется интегралом от F по Ga в несобственном смысле и обозначают как обычный риманов интеграл ![]() Площадь сферы ׀Sa׀, соответствующей Ga., нам пришлось определить при помощи не простого риманова интеграла, а несобственного интеграла ![]() ![]() Мы рассмотрели пример несобственного интеграла, когда подынтегральная функция неограниченна вдоль линии. 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Рассмотрим несобственный интеграл ![]() зависящий от параметра x = (x1,…,xm). Будем считать, что интеграл имеет единственную особенность в точке ![]() Точнее, мы рассматриваем область Ω точек y = (y1,…,yn) n-мерного пространства, в которой происходит интегрирование и область Gточек x = (x1,…,xm) – область параметров. Так как мы интегрируем по Ω, а в дальнейшем будем интегрировать и по G, то будем считать, что обе области Ω и G и имеют кусочно-гладкую границу. Что же касается функции f (x,y), то предполагается, что она непрерывна на ![]() На Ω в окрестности каждой точки (x, y0) функция f (x, y), вообще говоря, неограниченна. Мы предполагаем, что несобственный интеграл (1) существует для всех ![]() ![]() ![]() где ![]() и Ωε = Ω \ U (y0, ε) есть множество точек y ![]() Важно отметить, что интеграл (3) – это обыкновенный интеграл Римана (собственный), и так как функция f (x, y) непрерывна на ![]() Fε (x) непрерывная функция от ![]() Законно менять местами порядок интегрирования ![]() ![]() при дополнительно условии, что частная производная ![]() ![]() Возникает вопрос, сохраняются ли свойства 1) – 3) при ε =0, т.е. сохраняются ли они для несобственного интеграла (1). Это, вообще говоря, не так. Однако если на сходимость ![]() ![]() ![]() По определению интеграл (1) сходящийся равномерно на ![]() ![]() ![]() ![]() т.е. ![]() ![]() ![]() равномерно на ![]() Другими словами, интеграл (1) сходится равномерно на ![]() ![]() ![]() ![]() К равномерно сходящимся интегралам можно применить теорию равномерно сходящихся последовательностей функции, связанную с теорией равномерно сходящихся рядов. Мы знаем, что если последовательность функций Fn (x) (n=1, 2,…), непрерывных на множестве ![]() ![]() ![]() ![]() Мы знаем также, что дополнительно считать, что частные производные ![]() ![]() ![]() ![]() равномерно на ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При доказательстве этих свойств не имеет значения тот факт, что n, возрастая, пробегает натуральные числа. Можно считать также, что n = ε стремиться непрерывно к нулю (ε → 0). Поэтому указанные свойства автоматически переносятся на равномерно сходящиеся несобственные интегралы. Понятие равномерной сходимости для несобственных интегралов, зависящих от параметра, столь же важно, как и для функциональных рядов. Теорема 1. Если интеграл (1) равномерно сходиться на ![]() ![]() ![]() В самом деле, из непрерывности ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В этой цепи мы воспользовались (во втором равенстве) формулой ![]() ![]() верной, потому что Fε и F непрерывны на G и Fε→ F равномерно на ![]() Теорема 2. Если, кроме того, что выполняются условия теоремы 1, известно, что частная производная ![]() ![]() ![]() равномерно сходится на ![]() ![]() т.е. законно дифференцировать под знаком интеграла. В самом деле, ![]() ![]() Во втором равенстве этой цепи применено свойство: если функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4. ВЫЧЕСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Интеграл Эйлера-Пуассона Рассмотрим ![]() ![]() ![]() ![]() А теперь возьмём в качестве исчерпывающей последовательности последовательность квадратов ![]() ![]() ![]() ЗАКЛЮЧЕНИЕ Торричелли и П. Ферма в 1644. Точные определения несобственных интегралов даны О. Коши в 1823. Различие условно и абсолютно сходящихся несобственных интегралов установлено Дж. Стоксом и П. Г. Л. Дирихле (1854). Ряд работ математиков 19 в. посвящен вычислению несобственных интегралов в случаях, когда соответствующая первообразная не выражается через элементарные функции. Значения многих несобственных интегралов приводятся в различных таблицах. Несобственные интегралы имеют важное значение во многих областях математического анализа и его приложений. В теории специальных функций (цилиндрических функций, ортогональных многочленов и др.) одним из основных способов изучения является изображение функций в виде несобственных интегралов, зависящих от параметра, например. К несобственным интегралам относится и Фурье интеграл, а также интегралы, встречающиеся при других интегральных преобразованиях. Решения краевых задач математической физики записываются кратными несобственными интегралами с неограниченной подынтегральной функцией. В теории вероятностей важное значение имеет несобственный интеграл ЛИТЕРАТУРА Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. - М.: Наука, 2000. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. - М.: Наука, 1999. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. - М.: Наука, 2003. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: учебник для вузов. 3-е изд., испр. – М: Наука. Гл. ред. физ-мат. мет., 1989.- 464с. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Наука, 1999. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа (под редакцией А.В.Ефимова и Б.П. Демидовича). – Т.2. - М.: Наука, 2004. |