Иррациональные уравнения и их системы. Иррациональные уравнения и их системы
![]()
|
Тема: Иррациональные уравнения и их системы. Иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное (переменная) содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в рациональную (дробную) степень. Для решения иррациональных уравнений обычно используются следующие приемы: 1)возведение в соответствующую степень обе части уравнения; 2) введение новой переменной; 3) сведение к системе уравнений; 4) применение свойств функций, входящих в уравнение. При решении иррациональных уравнений необходима проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение или нахождение ОДЗ и следующий анализ корней (при решении методом приведения к равносильной смешанной системе уравнений и неравенств необходимость в этом отпадает). Простейшим иррациональным уравнением является уравнение вида: ![]() при решении которого важную роль играет четность или нечетность n. Если n- нечетное, то данное уравнение равносильно уравнению ![]() Если n - четное, то, так как корень считается арифметическим, необходимо учитывать ОДЗ (область допустимых значений): ![]() ![]() ![]() Пример 1. Решить уравнение ![]() Решение. Так как n=2 - четное, то обе части уравнения возводим во 2ю степень: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ:_28_Пример_2_.'>Ответ: 28 Пример 2. Решить уравнение ![]() Решение. Так как в данном примере n=3 - нечетное, то после возведения обеих частей уравнения в третью степень получим равносильное данному уравнение: ![]() Ответ: ![]() Пример 3. Решить уравнение ![]() Решение. Так как n=2 - четное, то исходное уравнение равносильно системе: ![]() Ответ: ![]() Уравнения вида ![]() n – нечетное ![]() ![]() n - четное ![]() ![]() Пример 4. Решить уравнение: ![]() ![]() Ответ: 0,6 Пример 5. Решить уравнение: ![]() Решение. Запишем данное уравнение в виде: ![]() ![]() Ответ: нет решений Если иррациональное уравнение содержит несколько радикалов. В этом случае для избавления от радикалов уравнение приходится возводить в соответствующую степень несколько раз. При этом предварительно уединяют один из радикалов так, чтобы обе части уравнения стали неотрицательными. Особое внимание следует обратить на правильное нахождение ОДЗ. Пример 6. Решить уравнение ![]() Решение. Запишем уравнение в виде: ![]() ![]() Полученное уравнение равносильно исходному. Для его решения рассмотрим систему: ![]() ![]() Ответ: ![]() Введение новой переменной в ряде случаев позволяет перейти от иррационального уравнения к рациональному уравнению. Пример 7. Решить уравнение ![]() Решение. Возведение данного уравнения в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени, что нерационально. Поэтому запишем уравнение в виде ![]() ![]() ![]() Получим ![]() Вернемся к «старым» переменным ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() Иногда при решении иррационального уравнения возникает необходимость ввести не одну, а несколько «новых» переменных. Такая ситуация возникает, например, при решении уравнений, содержащих радикалы разных степеней. Пример 8. Решить уравнение ![]() Решение. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решим последнее уравнение системы: ![]() ![]() Получим, что ![]() ![]() ![]() Ответ: нет решений. При решении некоторых иррациональных уравнений нахождение области допустимых значений входящих в уравнение неизвестных может существенно облегчить решение уравнения. Пример 9. Решить уравнение ![]() Решение. Данное уравнение имеет весьма громоздкий вид и неясно как подойти к его решению. Поэтому найдем сначала ОДЗ: ![]() ![]() Получим, что область допустимых значений данного уравнения является пустым множеством и, следовательно, данное уравнение решений не имеет. Ответ: нет решений. При решении иррациональных уравнений бывает полезно воспользоваться монотонностью функций. Пример 10. Решить уравнение ![]() Решение. Один корень данного уравнения ![]() ![]() По свойству степенных функций функции ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() |