Главная страница
Навигация по странице:

  • Ответ: 28 Пример 2 .

  • Ответ

  • Решение

  • Иррациональные уравнения и их системы. Иррациональные уравнения и их системы


    Скачать 75.88 Kb.
    НазваниеИррациональные уравнения и их системы
    Дата14.01.2022
    Размер75.88 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаИррациональные уравнения и их системы.docx
    ТипРешение
    #330694

    Тема: Иррациональные уравнения и их системы.

    Иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное (переменная) содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в рациональную (дробную) степень.

      Для решения иррациональных уравнений обычно используются следующие приемы:

    1)возведение в соответствующую степень обе части уравнения;

    2) введение новой переменной;

    3) сведение к системе уравнений;

    4) применение свойств функций, входящих в уравнение.

     При решении иррациональных уравнений необходима проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение или нахождение ОДЗ и следующий анализ корней (при решении методом приведения к равносильной смешанной системе уравнений и неравенств необходимость в этом отпадает).

    Простейшим иррациональным уравнением является уравнение вида:

                                                             ,               

    при решении которого важную роль играет четность или нечетность n.

             Если  nнечетное, то данное уравнение равносильно уравнению

    .

             Если n - четное, то, так как корень считается арифметическим, необходимо учитывать ОДЗ (область допустимых значений):  . Уравнение   в этом случае равносильно системе:

    .

     Пример 1. 

    Решить  уравнение .

    Решение.  Так как n=2  - четное, то обе части уравнения возводим во 2ю степень:

    Ответ:_28_Пример_2_.'>Ответ: 28

     Пример 2. 

    Решить уравнение  .

    Решение. Так как в данном примере n=3 - нечетное, то после возведения обеих частей уравнения в третью степень получим равносильное  данному  уравнение:   .

    Ответ:  .

     Пример 3. 

    Решить  уравнение  .

    Решение.  Так как n=2 - четное, то исходное уравнение равносильно системе:



    Ответ:  .

    Уравнения вида  , решаются следующим образом:

    n – нечетное  

    n - четное   или  .

      Пример 4. 

    Решить уравнение:



    Ответ: 0,6

    Пример 5. 

    Решить уравнение:  

    Решение. Запишем данное уравнение в виде:    Возводя обе части в квадрат и учитывая, что  получим уравнение  2х+6=х+1, решение которого есть х = -5 – не удовлетворяет выписанному условию. Значит, данное уравнение не имеет решений.

    Ответ: нет решений

     Если иррациональное уравнение содержит несколько радикалов. В этом случае для избавления от радикалов уравнение приходится возводить в соответствующую степень несколько раз. При этом предварительно уединяют один из радикалов так, чтобы обе части уравнения стали неотрицательными. Особое внимание следует обратить на правильное нахождение ОДЗ.

     Пример 6. 

    Решить уравнение  .

    Решение. Запишем уравнение в виде:  . Так как теперь обе части полученного уравнения неотрицательны, то возведем их в квадрат:

    .

    Полученное уравнение равносильно исходному. Для его решения рассмотрим систему:



    .

    Ответ:  .

             Введение новой переменной в ряде случаев позволяет перейти от иррационального уравнения к рациональному уравнению.

     Пример 7. 

     Решить уравнение  .

    Решение. Возведение данного уравнения в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени, что нерационально. Поэтому запишем уравнение в виде   и введем «новую» переменную:

    .

    Получим  .

    Вернемся к «старым» переменным  или  . Второе из полученных уравнений решений не имеет, а решения первого есть числа 

    Ответ:  .

             Иногда при решении иррационального уравнения возникает необходимость ввести не одну, а несколько «новых» переменных. Такая ситуация возникает, например, при решении уравнений, содержащих радикалы разных степеней.

     Пример 8. 

    Решить уравнение  .

    Решение. Пусть   и  . Тогда  . С другой стороны  . Получаем систему

    .

    Решим последнее уравнение системы:



    .

    Получим, что  , а тогда  . По условию  , следовательно исходное уравнение решений не имеет.

    Ответ: нет решений.

           При решении некоторых иррациональных уравнений нахождение области допустимых значений входящих в уравнение неизвестных может существенно облегчить решение уравнения.

     Пример 9. 

    Решить уравнение .

    Решение. Данное уравнение имеет весьма громоздкий вид и неясно как подойти к его решению. Поэтому найдем сначала ОДЗ:



    .

    Получим, что область допустимых значений данного уравнения является пустым множеством и, следовательно, данное уравнение решений не имеет.

    Ответ: нет решений.

    При решении иррациональных уравнений бывает полезно воспользоваться монотонностью функций.

     Пример 10. 

    Решить уравнение  .

    Решение. Один корень данного уравнения   легко найти подбором. Покажем, что других корней нет. Запишем уравнение в виде  .

             По свойству степенных функций функции   и   являются возрастающими на промежутке  , где они обе определены. Поэтому их сумма   на этом промежутке также возрастает, следовательно, она принимает каждое свое значение (в том числе и 6) только один раз. Поэтому других корней нет.

    Ответ:  .

            


    написать администратору сайта