Иррациональные уравнения и их системы. Иррациональные уравнения и их системы

• Название: Иррациональные уравнения и их системы
• Дата: 14.01.2022
• Размер: 75.88 Kb.
• Имя файла: Иррациональные уравнения и их системы.docx
• Тип: Решение; #330694

Тема: Иррациональные уравнения и их системы.

Иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное (переменная) содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в рациональную (дробную) степень.

  Для решения иррациональных уравнений обычно используются следующие приемы:

1)возведение в соответствующую степень обе части уравнения;

2) введение новой переменной;

3) сведение к системе уравнений;

4) применение свойств функций, входящих в уравнение.

 При решении иррациональных уравнений необходима проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение или нахождение ОДЗ и следующий анализ корней (при решении методом приведения к равносильной смешанной системе уравнений и неравенств необходимость в этом отпадает).

Простейшим иррациональным уравнением является уравнение вида:

                                                         ,               

при решении которого важную роль играет четность или нечетность n.

         Если  n- нечетное, то данное уравнение равносильно уравнению

.

         Если n - четное, то, так как корень считается арифметическим, необходимо учитывать ОДЗ (область допустимых значений):  . Уравнение   в этом случае равносильно системе:

.

 Пример 1. 

Решить  уравнение .

Решение.  Так как n=2  - четное, то обе части уравнения возводим во 2ю степень:

Ответ:_28_Пример_2_.'>Ответ: 28

 Пример 2. 

Решить уравнение  .

Решение. Так как в данном примере n=3 - нечетное, то после возведения обеих частей уравнения в третью степень получим равносильное  данному  уравнение:   .

Ответ:  .

 Пример 3. 

Решить  уравнение  .

Решение.  Так как n=2 - четное, то исходное уравнение равносильно системе:



Ответ:  .

Уравнения вида  , решаются следующим образом:

n – нечетное  

n - четное   или  .

  Пример 4. 

Решить уравнение:



Ответ: 0,6

Пример 5. 

Решить уравнение:  

Решение. Запишем данное уравнение в виде:    Возводя обе части в квадрат и учитывая, что  получим уравнение  2х+6=х+1, решение которого есть х = -5 – не удовлетворяет выписанному условию. Значит, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений

 Если иррациональное уравнение содержит несколько радикалов. В этом случае для избавления от радикалов уравнение приходится возводить в соответствующую степень несколько раз. При этом предварительно уединяют один из радикалов так, чтобы обе части уравнения стали неотрицательными. Особое внимание следует обратить на правильное нахождение ОДЗ.

 Пример 6. 

Решить уравнение  .

Решение. Запишем уравнение в виде:  . Так как теперь обе части полученного уравнения неотрицательны, то возведем их в квадрат:

.

Полученное уравнение равносильно исходному. Для его решения рассмотрим систему:



.

Ответ:  .

         Введение новой переменной в ряде случаев позволяет перейти от иррационального уравнения к рациональному уравнению.

 Пример 7. 

 Решить уравнение  .

Решение. Возведение данного уравнения в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени, что нерационально. Поэтому запишем уравнение в виде   и введем «новую» переменную:

,  .

Получим  .

Вернемся к «старым» переменным  или  . Второе из полученных уравнений решений не имеет, а решения первого есть числа 

Ответ:  .

         Иногда при решении иррационального уравнения возникает необходимость ввести не одну, а несколько «новых» переменных. Такая ситуация возникает, например, при решении уравнений, содержащих радикалы разных степеней.

 Пример 8. 

Решить уравнение  .

Решение. Пусть   и  . Тогда  . С другой стороны  . Получаем систему

.

Решим последнее уравнение системы:



.

Получим, что  , а тогда  . По условию  , следовательно исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: нет решений.

       При решении некоторых иррациональных уравнений нахождение области допустимых значений входящих в уравнение неизвестных может существенно облегчить решение уравнения.

 Пример 9. 

Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение имеет весьма громоздкий вид и неясно как подойти к его решению. Поэтому найдем сначала ОДЗ:



.

Получим, что область допустимых значений данного уравнения является пустым множеством и, следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Ответ: нет решений.

При решении иррациональных уравнений бывает полезно воспользоваться монотонностью функций.

 Пример 10. 

Решить уравнение  .

Решение. Один корень данного уравнения   легко найти подбором. Покажем, что других корней нет. Запишем уравнение в виде  .

         По свойству степенных функций функции   и   являются возрастающими на промежутке  , где они обе определены. Поэтому их сумма   на этом промежутке также возрастает, следовательно, она принимает каждое свое значение (в том числе и 6) только один раз. Поэтому других корней нет.

Ответ:  .