Математика. Контрольная работа по дисциплине Математика Семестр 1 Вариант 2 студент гр. Иб360891 Богданов М. Ю
![]()
|
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего образования «Тульский государственный университет» Интернет-институт КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА По дисциплине «Математика» Семестр 1 Вариант 2 Выполнил: студент гр. ИБ360891 Богданов М. Ю. Проверил: д.ф.-м.н., проф. Христич Д. В. Тула, 2020 1. Для данного определителя ![]() ![]() Решение. Минором ![]() ![]() Вычислим минор ![]() ![]() Алгебраическое дополнение ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() Ответ: 31. 2. Найти матрицы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. 1) Находим ![]() ![]() 2) Находим ![]() ![]() 3) Найдем матрицу ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Обратная матрица имеет вид: ![]() 3. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее матричным методом . ![]() Решение. Совместность данной системы докажем, используя теорему Крамера, а именно: если главный определитель отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Находим главный определитель системы: ![]() ![]() Решим заданную систему: Матричным способом. Для нахождения решения СЛАУ с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме AX=B, где ![]() ![]() ![]() Решение СЛАУ в матричной форме имеет вид ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Обратная матрица имеет вид: ![]() Итак: ![]() Итак, решение системы: ![]() Ответ: ![]() 4. Доказать, что векторы ![]() ![]() ![]() Решение. Векторы ![]() ![]() ![]() В данном случае, ![]() ![]() Для разложения вектора ![]() ![]() ![]() или в координатной форме ![]() Задача сведена к решению системы ![]() по формулам Крамера. Матрица коэффициентов и матрица-столбец свободных членов данной системы: ![]() Определитель матрицы коэффициентов ![]() поэтому систему уравнений можно решить по формулам Крамера: ![]() ![]() ![]() Так как ![]() то ![]() ![]() то ![]() ![]() то ![]() Таким образом, в базисе ![]() ![]() ![]() 5. Вершины пирамиды находятся в точках А(7,4,9), В(1,−2,−3), С(−5,−3,0), D(1,−3,4). Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной из вершины С. Решение. Объем пирамиды находится по формуле: ![]() ![]() ![]() Найдем координаты векторов, используя формулу: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для нахождения длины высоты, опущенной из вершины C на грань ABD найдем сначала площадь грани ABD. ![]() ![]() Sосн = ![]() Т.к. V = ![]() ![]() 6. Найти расстояние от точки ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Расстояние от точки ![]() ![]() ![]() Найдем уравнение плоскости проходящей через точки ![]() Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки ![]() ![]() Для нашей задачи имеем: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда расстояние от точки ![]() ![]() ![]() 7. Написать канонические уравнения прямой ![]() ![]() Решение. Канонические уравнения прямой, проходящей через точку ![]() ![]() ![]() Перейдем к канонической форме уравнения прямой. Находим точку на данной прямой. Пусть ![]() ![]() ![]() Направляющий вектор прямой найдем из векторного произведения нормальных векторов пересекаемых плоскостей, т.е. ![]() ![]() ![]() Т.е. ![]() Получаем канонические уравнения прямой: ![]() Ответ: ![]() 8. Найти точку пересечения прямой, заданной каноническими уравнениями, и плоскости. ![]() Решение. Запишем уравнение прямой, заданной каноническими уравнениями, в параметрической форме: ![]() ![]() ![]() Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнение плоскости, находим значение параметра t , при котором происходит пересечение прямой и плоскости: ![]() Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение ![]() ![]() Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости есть ![]() Ответ: ![]() 9. Вычислить предел ![]() Решение. Непосредственная подстановка предельного значения аргумента x=0 приводит к неопределенности ![]() Т.к. ![]() ![]() ![]() Ответ: 2. 10. Вычислить предел ![]() Решение. В этом случае имеем неопределенность вида ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: 2. 11. Вычислить предел ![]() Решение. Под знаком предела есть иррациональность в числителе дроби. Непосредственная подстановка предельного значения аргумента x= –4 приводит к неопределенности вида ![]() Чтобы раскрыть эту неопределенность, достаточно числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, домножить на выражение, сопряженное числителю дроби: ![]() Ответ: ![]() 12. Вычислить предел ![]() Решение. При x=0 числитель и знаменатель дроби равны 0, имеем неопределённость вида ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() 13. Вычислить предел ![]() Решение. ![]() При вычислении этого предела использована обобщенная формула второго замечательного предела ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() 14. Составить уравнение касательной к данной кривой в точке с абсциссой ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Уравнение касательной: ![]() Находим ![]() Находим производную функции и вычисляем ее значение при ![]() ![]() ![]() Тогда уравнение касательной: ![]() Ответ: ![]() 15. Найти дифференциал функции в точке с абсциссой ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Дифференциал функции ![]() ![]() ![]() Находим производную функции ![]() Применим правила дифференцирования сложной функции: ![]() В заданной точке: ![]() Тогда дифференциал: ![]() Ответ: ![]() |