математика. Контрольная работа по дисциплине Математика Семестр 2 Вариант 2 Проверил Тула 2021

• Название: Контрольная работа по дисциплине Математика Семестр 2 Вариант 2 Проверил Тула 2021
• Дата: 26.01.2023
• Размер: 0.5 Mb.
• Имя файла: математика.docx
• Тип: Контрольная работа; #905821

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Тульский государственный университет»

Интернет-институт

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Математика»

Семестр 2

Вариант 2

Выполнил:

Проверил:

Тула 2021

1. 
   Провести полное исследование функции и построить её график:
   

1. 
   Область определения :
   

2. 
   Функция не является ни чётной, ни не чётной, т.к.
   

Функция непериодическая.

3. 
   Асимптоты.
   

а) Исследуем точку разрыва на наличие вертикальной асимптоты





Т.к. односторонние пределы бесконечны,

в точке разрыв II рода;

Прямая вертикальная асимптота.

б) Найдём наклонную асимптоту по формуле

,



(

Значит, прямая наклонная асимптота.

4. 
   Интервалы монотонности и экстремумы функции
   

существует на , решаем уравнение :

критическая точка

Получили: функция возрастает на интервале ( , убывает на интервале ( имеем минимум:



( точка минимума.

5. 
   Интервалы выпуклости, вогнутости, точка перегиба.
   

существует на ; уравнение корней не имеет ⇒

нет критических точек II рода;

на . Следовательно, график функции вогнутый на всей области определения, точек перегиба нет.

6. 
   Точки пересечения с осями координат.
   

С осью 0y точек пересечений нет, т.к. прямая (ось 0y) вертикальная асимптоты

С осью 0x:

⇒ ;

точка пересечения с осью 0x

7. 
   Дополнительные точки:
   

8. 
   График функции.
   

2. 
   Найдите действительную часть комплексного числа
   

действительная часть. В данном случае:

.

Ответ: 1.

3. 
   Найти неопределенный интеграл
   

4. 
   Найти неопределенный интеграл.
   

5. 
   Найти неопределенный интеграл.
   

6. 
   Найти неопределенный интеграл.
   

7. 
   Найти неопределенный интеграл.
   

8. 
   Вычислить определенный интеграл.
   

Ответ:

9. 
   Вычислить определенный интеграл.
   

Ответ: 7+2 ln2.

10. 
    ⁡Вычислить несобственный интеграл или указать его расходимость.
    

Это несобственный интеграл II рода, подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв при







Ответ: .

11. 
    Вычислить длину дуги кривой.
    

Для вычисления длины дуги используем формулу:



В данном случае:



=



Получаем:







Ответ: .

12. 
    Вычислить объем тела вращения вокруг оси ОY фигуры, ограниченной графиками функций.
    

,



Выполним чертёж.

Для вычисления объёма тела вращения используем формулу:



В данном случае:

Получаем:



Ответ: куб.ед.

13. 
    Найти значения частных производных функции в точке .
    

Находим частную производную ,

Считая



Находим частную производную ,

Считая



Находим частную производную ,

Считая



Находим значение частных производных в точке :







Ответ:

14. 
    Исследовать на экстремум функцию
    

Найдём критические точки функции используя необходимые условия экстремума:



Получили критическую точку М (2;0).

Исследуем эту точку, используя достаточные условия экстремума:











Т.к. и , функция имеет в точке М минимум:



Ответ:

15. 
    Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D:
    

Выполним чертёж области D



Найдём критические точки функции



критическая точка, принадлежащая D



Исследуем функцию на границе области D:

1. 
   Отрезок AB: ; ;
   

2. 
   Дуга параболы
   

Из полученных значений функции наибольшим является 18 ( в точке А(-2;8)), а наименьшими -14 ( в точке В(2;8)).

Ответ: