Теория вероятностей и математическая статистика. Контрольная работа. Контрольная работа По дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика" Выполнил Группа

Название	Контрольная работа По дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика" Выполнил Группа
Анкор	Теория вероятностей и математическая статистика
Дата	17.02.2021
Размер	349 Kb.
Формат файла
Имя файла	Контрольная работа .doc
Тип	Контрольная работа #177122

Федеральное агентство связи

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

Контрольная работа

По дисциплине: “Теория вероятностей и математическая статистика”

Выполнил:

Группа:

Вариант: Билет №7

Проверил: __________________

Новосибирск, 2019 г

Дистанционное обучение

Дисциплина «Теория вероятностей и МС»

Билет № 7
1.Математическое ожидание случайной величины , дисперсия и среднее квадратическое отклонение и их свойства. Моменты распределения и другие числовые характеристики одномерной случайной величины

_Ответ:

_{Математическим ожиданием}_{дискретной}_{случайной величины Х называется сумма произведений значений случайной величины на вероятности этих значений:}

_Если

При условии, что ряд абсолютно сходится

_{Математическим ожиданием}_{непрерывной}_{случайной величины Х определяется равенством}

При условии, что интеграл абсолютно сходится. Здесь f(x) – плотность вероятности случайной величины Х.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной случайной величины:

Дисперсия всегда положительна.

_{Средним квадратичным отклонением}_{случайной величины Х называется квадратный корень дисперсии}

Некоторые числовые характеристики одномерных случайных величин: начальные и центральные моменты, мода, медиана, квантиль.

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины X^k:

V_k=M(X^k)

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины (Х – М(Х))^k:

µ_k=M(X-M(X))²

Модой М дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, модой М непрерывной случайной величины – значение, в котором плотность вероятности максимальна.

Медианой Ме непрерывной случайной величины называют такое ее значение, для которого

p(X < Me )=p( X > Me )

Для случайной величины Х с функцией распределения F(X) квантилью порядка р (0 < p < 1) называется число К_р такое, что F(K_p) ≤ p, F(K_p + 0) ≥ p. В частности, если F(X) строго монотонна, К_р: F(K_p) = p.

_{Из урны, где находятся 2 белых и 8 черных шаров, случайно вытащены 5 шаров. Какова вероятность того, что среди них будет 4 черных шара?}

Решение.

Всего шаров в урне N=10

Из них: Черных К=8,Белых N-K=2

Достали из урны n=5

Из них: черных k=4, белых n-k=1

252 способа выбрать 5 шаров из 10.

70 способов выбрать 4 черных шара из 8 черных.

2 способа достать 1 белый шар из 2 белых.

Вероятность того, что вынуто 4 черных и 1белый шар, равна Р=0.556

Ответ: P=0.556.

Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения

_Х	₀	₁	₂	₃	₁₀
_р	₀_,12	_0,15	_0,10	_0,11	_а

_{Найти величину}_a_{, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.}
Решение.

Поскольку случайная величина Х обязательно примет одно из значений x₁, x₂, x₃, ….x_n, то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:

p₁+p₂+p₃+…+p_n=1.

Следовательно,

_{Математическое ожидание это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний, т.е.}

_{Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называется квадратный корень дисперсии}

Дисперсия характеризует разбросанность возможных значений случайной величины от математического ожидания.

_Х	₀	₁	₂	₃	₁₀
_р	₀_,12	_0,15	_0,10	_0,11	_0.52
_x-M(X)	_-5.88	_-4.88	_-3.88	_-2.88	_4.12
	_34,5744	_23,8144	_15,0544	_8,2944	_16,9744
	_4,1489	₃_,₅₇₂₁	_1,5054	_0,9123	_8,82₆₆

_{Суммируем значения последней строки таблицы}

_Ответ:.

_4._{Непрерывная случайная величина имеет плотность распределения}

_{Найти величину}_с_{, интегральную функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.}
Решение.

По свойству плотности распределения

.

Берём интеграл и получим уравнение для определения "с".

Значит плотность распределения данной СВ:

Ответ : 1) с = 4/3 2) 3) М(Х) = 4/7, (X)  0,271.

_5._{Двумерная дискретная случайная величина имеет таблицу распределения}

_Y _X	₁	₂	₃	₄
₁₀	_0,01	_0,11	_0,12	₀
₂₀	₀	_0,13	_0,11	_0,05
₃₀	₀	_0,21	_0,02	_0,05
₄₀	_0,01	_0,11	_0,03	_q

_{Найти величину}_q_{и коэффициент корреляции этой случайной величины.}
Решение.

Т.к. соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:

q=1-0,01-0,11-0,12-0-0-0,13-0,11-0,05-0-0,21-0,02-0,05-0,01-0,11-0,03=0,04

Исходя из того, что корреляция:

Находим следующие величины:

cov(X;Y)= M(XY)-M(X)M(Y) (2)

(3)

Составим законы распределения СВ X и Y, найдем их математические ожидания:

x_i	10	20	30	40
p_i	0,24	0,29	0,28	0,19

M(X)=10*0.24+20*0.29+30*0.29+40*0.19=24.2 (4)

y_i	1	2	3	4
p_i	0.02	0,56	0,28	0,14

M(Y)=1*0.02+2*0.56+3*0.28+4*0.14=2.54 (5)

Находим ковариацию, подставляя в формулу (2) значения из (3), (4), (5).

cov(X;Y)=61,3-24,2*2,54= - 0,168 (6)

Следующим шагом находим D(X) и D(Y):

(7)

(8)

Исходя из того, что , подставляем в формулу (1) значения из (6), (7), (8) и производим необходимые математические действия:

Ответ: q=0.04, .