тест ответы синергия. Коротаева - (в.6). Контрольная работа по предмету Математика

• Название: Контрольная работа по предмету Математика
• Анкор: тест ответы синергия
• Дата: 14.07.2021
• Размер: 89.85 Kb.
• Имя файла: Коротаева - (в.6).docx
• Тип: Контрольная работа; #224343

Контрольная работа по предмету «Математика» I семестр
Задание 1.

Построить экономико-математическую модель задачи. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Расходы сырья задаются матрицей A=(a_ij), где a_ij – это расход i-го сырья на 1ед. продукции j-го вида. Запасы сырья задаются матрицей Q=(q_i), где q_i – запас сырья i-го вида. Определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья. Исходные данные приведены ниже в соответствующих таблицах (первые три столбца – матрица A, четвертый – матрица Q). Систему решить матричным способом и методом Крамера.

№ вар-та
6.	1 2 3 44 4 1 4 66 2 1 1 33

Решение:

Запишем экономико-математическую модель задачи:



Решение.

1. 
   Матричный способ
   

Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

,

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.

Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А^-1. Умножив обе части уравнения на А^-1, получим: А^-1*А*Х = А^-1*B, А^-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.



Вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы А











Составляем матрицу :








Ответ:

2. Найдем решение системы уравнений методом Крамера.

Формулы Крамера: , где - определитель системы, - определители, полученные из определителя системы заменой, соответственно, первого, второго и третьего столбцов на столбец свободных членов.

Вычислим определители, раскрывая их по первой строке.









Таким образом, по формулам Крамера


Ответ:

Задание 2.

Исследовать на совместность и, в случае совместности, решить 3 системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (в таблицах даны элементы расширенных матриц систем 4-х уравнений с 4-мя неизвестными):

№ вар-та
6.

Решение:

а)

Найдем ранг расширенной матрицы системы и ранг матрицы системы. Для этого составим расширенную матрицу системы и приведём её к треугольному виду, применяя элементарные преобразования к строкам матрицы. Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки.





Ранг основной и расширенной матриц равны rang=4, следовательно, система совместна.









Ответ:
б)

Найдем ранг расширенной матрицы системы и ранг матрицы системы. Для этого составим расширенную матрицу системы и приведём её к треугольному виду, применяя элементарные преобразования к строкам матрицы. Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки.







Ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы rang=3, но меньше числа неизвестных, отсюда следует, что система совместна и имеет бесконечно много решений.











Ответ:






в)

Найдем ранг расширенной матрицы системы и ранг матрицы системы. Для этого составим расширенную матрицу системы и приведём её к треугольному виду, применяя элементарные преобразования к строкам матрицы. Поменяем местами 1-й и 2-й столбцы.





Ранг расширенной матрицы (rang=4) не равен рангу матрицы системы (rang=3), поэтому система несовместна (не имеет решений).

Ответ: система несовместна, нет решений
Задание 3.

Заданы координаты вершин пирамиды АВСD. Требуется:

1. 
   Записать векторы в системе орт ;
   
2. 
   Найти угол между векторами ;
   
3. 
   Найти проекцию вектора на вектор ;
   
4. 
   Найти площадь грани АВС;
   
5. 
   Найти объем пирамиды АВСD;
   
6. 
   Найти длину высоты DH пирамиды, опущенной из вершины D на основание АВС.
   

6. 
   A(1;2;1), B(-1;5;1), C(-1;2;7), D(1;5;9)
   

Решение:

1. 
   Запишем векторы в системе орт
   

2. 
   Найдем угол между векторами ;
   

В нашем случае

3. 
   Найдем проекцию вектора на вектор ;
   

4. 
   Найдем площадь грани АВС;
   

Найдем площадь треугольника.

кв. ед.

5. 
   Найдем объем пирамиды АВСD;
   

Для нахождения объема пирамиды надо найти объем параллелепипеда, построенного на гранях АВ, АС и АD и поделить его на 6. Объем этого параллелепипеда равен модулю векторного произведения векторов AB, AC и AD

6. 
   Найдем длину высоты DH пирамиды, опущенной из вершины D на основание АВС.
   

Найдем уравнение плоскости ABC.

Уравнение плоскости, проходящей через точки , , имеет вид:



Тогда уравнение плоскости ABC в имеет вид^

или .









Для вычисления расстояния от точки D (1;5;9) до плоскости ABC применим формулу:





Ответ: 1) ; ;

2)

3)

4) кв. ед.

5)

6)

Задание 4.

Даны координаты векторов , . Найти разложение по векторам .

№ вар-та
6.	(-4; 0; -1)	(-1; 2; -1)	(-1; 3; 2)	(-5; 1; -5)

Решение:

Для разложения вектора по базису запишем векторное уравнение:



Перепишем векторное уравнение в матричном виде



Проверим образуют ли заданные вектора базис, для этого найдем определитель матрицы:



Так как определитель матрицы не равен нулю, то система векторов является базисом. Решим уравнение методом Гаусса. Разделим последнюю строку на -1 и поменяем ее местами с 1-й строкой.













Ответ:
Задание 5.

Даны вершины треугольника АВС. Координаты точек A,B и C заданы в таблице.

Найти:

1) длину стороны АВ;

2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты;

3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01;

4) уравнение высоты CD и ее длину ;

5) уравнение медианы АЕ и ее длину;

Построить чертеж.

№ вар-та	A	B	C
	(-4;1)	(8;-8)	(6;6)

Решение:

1) Найдем длину стороны АВ




2) Найдем уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты

Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид



Составим уравнение АВ. По условию А(-4;1), В(8;-8). Подставим координаты точек А и В в уравнение:













- уравнение АВ, угловой коэффициент k = -3/4.

Составим уравнение АС. По условию А(-4;1), С(6;6). Подставим координаты точек А и С в уравнение:













- уравнение АС, угловой коэффициент k = 1/2.
3) Найдем внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01














4) Найдем уравнение высоты CD и ее длину

Используем уравнение прямой на плоскости, проходящей через данную точку (C) с данным нормальным вектором (AB):



Тогда искомое уравнение:

,

т.е. 12

– уравнение высоты CD

Длину высоты найдем по формуле:

– расстояние от точки C до прямой AB

AB:




5) Найдем уравнение медианы АЕ и ее длину

Обозначим середину стороны BC буквой E. Тогда координаты точки E найдем по формулам деления отрезка пополам.

E(7;-1)

Уравнение медианы AE найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AE проходит через точки
A(-4;1) и E(7;-1), поэтому:

Каноническое уравнение прямой:





Получаем – уравнение медианы AE.

Найдем длину медианы.

Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:





Ответ:_1)'>Ответ: 1)

2) - уравнение АВ, угловой коэффициент k = -3/4; - уравнение АС, угловой коэффициент k = 1/2.

3)

4) – уравнение высоты CD,

5) – уравнение медианы AE,
Задание 6.

Найти указанные пределы

6. 
   ; а) х₀ = - 1; б) х₀ = 1; в) х₀ = .
   

Решение:

а) х₀ = - 1



б) х₀ = 1





















в) х₀ = 





Ответ: а) -5/3, б) 3, в) -4