Аполлоний. МиП аполлоний Рыжков. Кривые Аполлония
 Скачать 0.6 Mb.
|
|
МиП “Кривые Аполлония” (см. mkz модель в cdo) Рыжков Владимир 11Б Построение: Дано: Фиолетовые окружности (и их радиусы). Возьмем отрезок задающий радиус касающихся окружностей. Построим каждую такую окружность данного радиуса. В наше ГМТ войдут точки пересечения штриховых окружностей (отмечены квадратными зелеными точками): Беря точку на отрезке r и каждую из точек пересечения используем инструмент МК - траектория. Случаи: Номер случая Условие Ответ Пояснение к ответу 1) d = 0; |r 1 - r 2 | = 0 Вся плоскость, кроме точек самой окружности Можно взять сколько угодно малый радиус (но не 0) то, все точки подойдут кроме самой окружности 2) d = 0; |r 1 - r 2 | > 0 Окружности радиусов |r 1 - r 2 |/2 и |r 1 + r 2 |/2 Окружности концентричны и различны радиусами, есть 2 способа их касания. 1)Наружный (центры лежат между обеих окружностей) 2) Внутренне-наружный (малую окружность касаемся внутренне, большую наружне) 3) |r 1 - r 2 | > d; |r 1 - r 2 | > 0 2 эллипса с фокусами в O 1 и О 2 и длинной большой полуоси |r 1 - r 2 | + |r 1 +r 2 | См. развернутое доказательство 1 4) d = |r 1 -r 2 |; |r 1 - r 2 | > 0 Эллипс с фокусами О1 и О2 и полуосью r 1 +r 2 и линия центров См. развернутое доказательство 1 5) d = r 1 + r 2 , |r 1 - r 2 | = 0 Радикальная ось и линия центров 6) |r1 - r2| < d < |r1 + r2|, |r1 - r2| = 0 Эллипс с фокусами О1 и О2, и полуосью |r 1 + r 2 | и радикальная ось См. развернутое доказательство 1 7) d = r 1 + r 2 , |r 1 - r 2 | > 0 Линия центров и гипербола с фокусами О1 и О2, с разностью расстояний |r 1 -r 2 | Cм. развернутое доказательство 2 8) |r1 - r2| < d < |r1 + r2|, |r1 - r2| > 0 Эллипс с фокусами O 1 и О 2 , и большой полуосью |r 1 + r 2 |, Гипербола с фокусами О 1 и О 2 и разностью расстояний |r 1 - r 2 | Cм. развернутое доказательство 1,2 9) |r1 + r2| < d, |r1 - r2| = 0 Радикальная ось и гипербола с фокусами О 1 и О 2 и r 1 + r 2 См. развернутое доказательство 3 10) r1 + r2| < d, |r1 - r2| > 0 2 гиперболы с фокусами О1 и О2 и расстояниями |r 1 - r 2 | и r 1 + r 2 См. развернутое доказательство 2,3 Развернутые доказательства: 1) 2 эллипса Докажем, что большой эллипс - подходящая ГМТ. Рассмотрим произвольную точку G на эллипсе: О1G + O2G = r 1 - GB + r 2 + GA = (r 1 + r 2 ) r 1 - GB + r 2 + GA = r 1 + r 2 GA - GB = 0; 1)GA = GB При этом GA лежит на одной прямой с О 2 , значит GA - перпендикуляр к окружности с центром О 2 2)Аналогично для окружности с центром О 1 1) и 2) дают, что в точках А и В окружность с центром G будет касаться данных нам окружностей. Докажем, что меньший эллипс - подходящая ГМТ. Рассмотрим произвольную точку G на эллипсе: О2G + О1G = r1 - r2 O1G = r1 - r2 - O2G AG = r1 - O1G = r2 + O2G = GB AG = GB При этом AG и GB лежат на одной прямой с центрами О1 и О2 соотв. Значит малый эллипс - искомое ГМТ. 2) гипербола, с разностью расстояний |r 1 - r 2 | Рассмотрим 3 варианта: 1) Точка лежит внутри обеих окружности: Возьмем произвольную точку G на гиперболе. Продлим GО1 и GО2 до пересечения с данным окр. в точках A и B. GО1 - GО2 = r1 - r2 = BО1 - AО2 Откуда GA = GB. Окружность касается обеих данных. 2) Аналогично когда точка лежит на гиперболе вне двух окружностей на ветви ближней к окружности меньшего радиуса. 3) Точка на левой ветви гиперболы, G’ G’O1 и G’О2 пересекают окружности в точках A’ и B’ G’A’ = О1A’ + О1G’ = r1 + О1G’ = r1 + G’O2 - (r1 - r2) = G’O2 + r2 = G’B’ 3) гипербола, с разностью расстояний |r 1 + r 2 |: Возьмем произвольную точку G на данной гиперболе. GO1 и GO2 пересекут данные нам окружности в точка А и В соотв. GO2 - GO1 = r1+r2 GO1 = GO2 - r1 - r2 GA = GO1 + r1 = GO2 - r1 - r2 + r1 = GO2 - r2 = GB Значит точка G центр касающийся окружности. |