ПИДР. 01 03 Косвенные измерения (1). Курс лекций метрология и Информационноизмерительная техника (М и иит) 2021 осень тема Основы метрологии фрагмент лекции

• Название: Курс лекций метрология и Информационноизмерительная техника (М и иит) 2021 осень тема Основы метрологии фрагмент лекции
• Дата: 11.10.2022
• Размер: 133.62 Kb.
• Имя файла: 01 03 Косвенные измерения (1).docx
• Тип: Курс лекций; #728321

редакция 10.02.2022 г.

Макарычев П.К.

курс лекций:
метрология и Информационно-измерительная техника (МиИИТ)

2021 осень

тема 1. Основы метрологии

…

[ФРАГМЕНТ ЛЕКЦИИ]

Косвенное измерения (КИ) это измерение, результат которого получают с использованием известной зависимости физической величины (функции) от нескольких других, значения которых могут быть получены прямыми измерениями.

Простейшие типовые примеры представлены на рисунке 1.1.

Пример 1	Пример 2	Пример 3	Пример 4
R=UV/IA	PR=UV·IA	PR=R·IA2	PR= UV2/R

Рисунок 1.1 – Примеры косвенных измерений

…

1.2 Вычисление погрешностей косвенных измерений. Краткая теория

Для вычисления погрешности КИ мы располагаем известной функциональной зависимостью результата Y от аргументов – результатов прямых измерений Х₁, Х₂,…, Х_n:

Y = f (Х₁, Х₂, … Х_n)

Требуется найти погрешность ΔY, возникающую от погрешностей
ΔХ₁, ΔХ₂,… ΔХ_n.

Упростим обозначения: ΔY = Δ; ΔХ₁ = Δ₁; ΔХ₂ = Δ₂; … ΔХ_n = Δ_n.

Для решения нашей задачи в математике имеет место т.н. «формула полного дифференциала»:

(1.1)

Если мы используем при расчёте погрешности метод наихудшего случая (МНС), то предельное значение Δ_п в свёрнутой форме:

Р = 1.

(1.2)

Примечание – Погрешности ∆_i в проведённом эксперименте могут иметь как положительное значение, так и отрицательное. Эти знаки могут меняться от эксперимента к эксперименту. Используя МНС, мы выбираем наихудшие сочетания знаков: или все «плюс» или все «минус».

Два частных случая позволяют формализовать решение практических задач по расчёту погрешностей КИ.

Частный случай 1.

Y = a₁X₁ + a₂X₂ +...+a_nX_n = ,

т.е. Y – линейная функция аргументов Х₁, Х₂,…, Х_n.

Воспользуемся выражениями (1.1 и 1.2):

, следовательно,

и

(1.3)

Примеры:

а) Y = X₁ + X₂; Р = 1.

Здесь a₁ = а₂ = 1, тогда: Δ = 1Δ₁ + 1Δ₂;

Для МНС: Δ_п = ± (|1Δ_1,п| + |1Δ_2,п|);
б) Y = X₁ – X₂; Р = 1.

Здесь a₁ = 1; а₂ = – 1, тогда: Δ = Δ₁ – Δ₂;

Δ_п = ± (|1Δ_1,п| + |1Δ_2,п|);
Полезный вывод: Δ_п для суммы и разности аргументов одинаковы.

Частный случай 2.

Y = X₁^a1·X₂^a2· … ·X_n^an,

где а₁; а₂;…а_n – действительные числа, положительные или отрицательные, целые или дробные.

Пример: Y = здесь а₁ = 2; а₂ = – 0,5.

Частные производные:

= ;

=

……………………………………….

=
Далее:

= Y ;

=…….. ;

……………………….

=…….. ;

Следовательно,

Δ = Y(a₁δ₁ + a₂δ₂ + ...+ a_nδ_n);

δ = .

Предельное значение:

(1.4)

Забыли выкладки и используем только окончательное выражение (1.4)

Примеры:

а) Y = X₁X₂; P =1.

Здесь: а₁ = а₂ = 1, тогда δ = 1δ₁ + 1δ₂;

Для МНС имеем: δ_п = ± (|1δ_1.п| + |1δ_2.п|);

б) Y = P =1

Здесь: а₁ = 1; a₂ = – 1, тогда δ = 1δ₁ – 1δ₂;

Для МНС имеем: δ_п = ± (|1δ_1.п| + |1δ_2.п|).

Полезный вывод: δ_п для произведения и частного одинаковы.

Объединяя наши четыре примера, можно сделать следующие выводы:

для суммы и разности надо суммировать предельные значения абсолютных погрешностей аргументов, для произведения и частного – предельные значения относительных погрешностей аргументов.
Несложный комплексный пример расчёта результата КИ.

Рассмотрим для примера несложную абстрактную функцию
Y = , где Хi – величины, значения которых известны с погрешностями ∆_i.п*):

Х1 = Х₁±∆_1.п

Х2 = Х₂±∆_2.п

Х3 = Х₃±∆_3.п

Х4 = Х₄±∆_4.п

Примечание – В общем случае Хi либо результаты прямых измерений, либо величины с нормированными значениями погрешностей, например, мера электрического сопротивления с известным допуском.

Проведём расчёт погрешности косвенного измерения функции Y в соответствии с выражениями (1.3) и (1.4).

Исходное выражение для погрешности функции запишем на основании (1.4):

δ_у=δ_1.п+δ_2.п+δ(_3+4).п= ∆_1.п/Х₁+∆_2.п/Х₂+ δ_(3+4).п

здесь использовано обозначение δ_(3+4).п (∆_3.п+∆_4.п)/(Х3-Х4)

Окончательно имеем:

∆_у.п=[∆_1.п/Х₁+∆_2.п/Х₂+(∆_3.п+∆_4.п)/(Х3-Х4)] Х2/Х1(Х3-Х4)

Осталось подставить значения и произвести расчёт.
1.3 Решение типовых задач

Задание 1

Сопротивление резистора R измеряется с помощью миллиамперметра и вольтметра по схеме, представленной на рис. 1.2.



Рисунок 1.2 – Схема косвенного измерения сопротивления постоянному току

Примечания

1 При реализации этой несложной схемы эксперимента следует помнить, что при протекании тока резистор нагревается в соответствии с законом Джоуля-Ленца. Выбирая режимы эксперимента, необходимо соблюдать условие: P_RP_Rном/10, где P_Rном – номинальная мощность рассеивания резистора, которая записывается в его паспорте. В этом случае саморазогрев резистора хотя и приведёт к изменению его сопротивления, но изменение это не превысит заявленной погрешности его изготовления – допуска. Например, резистор типа С2-29 имеет паспортную мощность 1 Вт, номинальное сопротивление R_ном = 10,0 кОм, производственный допуск ∆_пр=±1,0 %, допустимая рассеиваемая мощность 100 мВт.

2 На практике изменяя R_вых, следует добиваться, чтобы один из приборов – амперметр или вольтметр – как получится, измерение осуществлял ближе к концу шкалы, тогда точность результата будет оптимизирована. Вывод: лучше, если в эксперименте будут использованы многопредельные приборы.

Известны результаты измерений напряжения и тока:

- результат прямого измерения напряжения U_V  U_R =(10,030±0,050) В; Р=1;

- результат прямого измерения силы тока I_A  I_R =(1,000±0,025) мА; Р=1.

Внутренние сопротивления измерительных приборов как у идеальных:

у амперметра – ноль, у вольтметра – бесконечность.

Требуется записать результат косвенного измерения R.

Рассчитаем (косвенно измерим) значение сопротивления R:

R_изм R=U_R/I_R = 10,030 В/1,000 мА = 10,03 кОм

Далее рассчитаем погрешность полученного результата.

В соответствии с (1.4) легко рассчитать относительную погрешность результата δ_п:

δ_п = δ_V.п + δ_A.п = ± (0,050 /10,030 + 0,025/1,00) = ± (0,00499+0,025) ≈ ± 0,030

Теперь рассчитаем предельное значение погрешности результата в абсолютной форме:

Δ_п = δ_п·R = 10,03 кОм × 0,030 = ±0,30 кОм

Окончательно запишем результат измерения, как мы это уже привыкли делать:

R=(10,03±0,30) кОм; Р = 1 (1.5)

Задание 2

Как изменится результат косвенного измерения, полученный в задании 1, если стало известно, что внутреннее сопротивление вольтметра имеет значение, равное R_V = 100 кОм±1%.?

Решение.

Ток, измеряемый миллиамперметром I_A, является суммой двух токов: один протекает через измеряемый резистор I_R (объект), а второй – через вольтметр I_V (инструмент). Это показано на рис. 1.3. Второй ток вносит погрешность в измерение. Фактически используемая схема реализует косвенное измерение сопротивления параллельно включённых резистора R и входного сопротивления вольтметра R_V.

Примечание – Такие погрешности принято относить к погрешностям взаимодействия: взаимодействует инструмент (вольтметр) с объектом (резистором).



Рисунок 1.3 – Иллюстрация возникновения погрешности взаимодействия при косвенных измерениях сопротивления постоянному току

Следуя высказанному наблюдению, делаем вывод, что в задании 1 мы измерили значение параллельно включённых R и R_V:

R_изм = (R·R_V)/(R+R_V) = (10,03±0,30) кОм. (1.6)

Здесь погрешность чисто инструментальная: обусловлена метрологическими характеристиками использованных приборов.

Однако нам необходимо рассчитать (косвенно измерить) значение R, которое выведем из (1.6):

R=(R_V·R_изм)/(R_V-R_изм)=11,15 кОм.

Рассчитаем погрешность.

В соответствии с (1.4) имеем: δ_R.п= δ_RV.п+ δ_Rизм.п+ δ_{(RV+Rизм).п}, где

δ_{(RV+Rизм).п}=(∆_RV.п+∆_Rизм.п)/(R_V-R_изм)=(1+0,30)/(100-10,03)=0,0144, тогда:

δ_R.п =0,01+0,30+0,0144=0,32→∆_R.п=Rδ_R.п=11,150,32=3,57 кОм.

Окончательно запишем результат:

R=(11,2±3,6) кОм; Р=1 (1.7)

Задание 3

Как изменится результат косвенного измерения R, полученный в
задании 1, если измерения были проведены по альтернативной схеме, представленной на рис. 1.4? Известно значение входного сопротивления миллиамперметра R_А=1,00 кОм±1,0%=1,00±0,01 кОм.



Рисунок 1.4 – Альтернативная схема косвенного измерения сопротивления R

Заметим, что в данной схеме косвенно измеряется сопротивление последовательно включённых резистора R и резистораR_А (входное сопротивление миллиамперметра):

R_изм=R+R_А = (10,03±0,30) кОм. (1.8)

Откуда следует, что

R = R_изм - R_А = (10,03±0,30) кОм – (1,00 ±0,01) кОм = {закончить самостоятельно}.
Самостоятельно сформулировать критерий выбора одной из двух схем измерения R(рис. 1.3 или 1.4), если известны R_А и R_V.

Задание 4

Измерить косвенным методом ЭДС источника сигнала и записать результат в формате: Е = (ИЗ±∆_п.); Р=1

исходные данные:

схема эксперимента
	R1 = 9,1 Ом±2%, R2 = 1,5 кОм±5% Uвых=15,12±0,25 В RV=; CV=0

Схема измерения.

1. 
   Косвенно измерить силу тока в резисторе R₂ и представить результат в виде I₂=[ИЗ±∆_п]; Р=1
   
2. 
   Косвенно измерить падение напряжения в резисторе R₁ и представить результат в виде U₁=[ИЗ±∆_п]; Р=1
   
3. 
   Косвенно измерить Е=U₂+U₁ и представить в виде Е=[ИЗ±∆_п]
   

Примечание

U₂U_вых