Курс лекций по теоретической механике Статика
 Скачать 3.66 Mb.
|
|
бесконечно малые перемещения, допускаемые наложенными на систему связями. Возможные перемещения не зависят от приложенных к системе сил. ■ Вычисление возможных перемещений: - в силу малости возможных перемещений при повороте твердого тела любая его точка может рассматриваться движущейся не по дуге, а по перпендикуляру к радиусу вращения в сторону угла поворота: x A O бxA бyA=бsA Для малых углов cos ≈ 1, sin ≈ , тогда: ■ Возможная работа силы – элементарная работа силы на том или ином возможном перемещении: ■ Примеры использования принципа возможных перемещений для определения реакций связей: Пример 1. Определить реакцию балки в правой опоре: A B a l б бsP бsB Запишем сумму работ: Вычислим возможные перемещения: Пример 2. Определить опорный момент многопролетной составной балке в левой опоре: б бsP бsB Отбросим в жесткой заделке связь, препятствующую повороту балки, и заменим ее парой сил MA: MA A B a l l C D E b b бsD Вычислим возможные перемещения: Запишем сумму работ: Заметим, что 1. для нахождения опорного момента MA из уравнений статики потребовалось бы решить как минимум три уравнения равновесия; 2. эпюра возможных перемещений пропорциональна линии влияния усилия; 3. если задать возможное перемещение для искомой реакции равным 1, например, б =1, то эпюра перемещений будет полностью тождественна линии влияния поскольку Лекция 5 ■ Трение скольжения. При действии сдвигающей силы, приложенной к телу, покоящемуся на шероховатой поверхности, возникает сила, противодействующая возможному смещению тела (сила трения сцепления) из равновесного положения или его действительному перемещению (сила трения скольжения) при его движении. Основные законы трения (Амонтона - Кулона): 1. Сила трения лежит в касательной плоскости к соприкасающимся поверхностям и направлена в сторону противоположную направлению, в котором приложенные к телу силы стремятся его сдвинуть или сдвигают в действительности (реактивный характер). 2. Сила трения изменяется от нуля до своего максимального значения Максимальная сила трения пропорциональна коэффициенту трения и силе нормального давления 3. Коэффициент трения есть величина постоянная для данного вида и состояния соприкасающихся поверхностей (f = const). 4. Сила трения в широких пределах не зависит от площади соприкасающихся поверхностей. ■ Способы определения коэффициента трения. 1. Сдвигающая сила изменяется от нуля до своего максимального значения – 0 ≤ T ≤ Tmax, (0 ≤ P ≤ Pmax). 2. Сила нормального давления изменяется от некоторого начального значения до минимального значения – N0 ≥ N ≥ Nmin (G0 ≥ G ≥ Gmin). 3. Сдвигающая сила и сила нормального давления изменяются при изменении угла наклона плоскости скольжения от нуля до максимального значения – 0 ≥ φ ≥ φmax . ■ Угол трения. С учетом силы трения, возникающей при контакте с шероховатой поверхностью полная реакция такой поверхности может рассматриваться как геометрическая сумма нормальной реакции абсолютно гладкой поверхности и силы трения: Угол отклонения полной реакции шероховатой поверхности – угол трения, равный: При изменении направления сдвигающей силы T на опорной поверхности ее поворотом относительно нормали к плоскости полная максимальная реакция шероховатой поверхности описывает конус трения. Активные силы (G, T и др.) можно заменить равнодействующей силой P, имеющей угол отклонения от вертикали α. Можно показать, что равновесие возможно лишь в том случае, когда эта сила остается внутри пространства конуса трения: Условие равновесия по оси x: Psinα ≤ Fтрmax. Из уравнения равновесия по оси у: N = Pcosα. Максимальная сила трения Fтрmax = fN = tgφN = tgφPcosα. Тогда Psinα ≤ tgφPcosα, откуда tgα ≤ tgφ и α ≤ φ. 15 Лекция 5 (продолжение – 5.2) ■ Учет сил трения при решении задач на равновесие. При наличии сил трения: К действующим на объект активным силам и реакциям абсолютно гладких поверхностей добавляются соответствующие силы трения, направленные по общей касательной к контактным поверхностям в сторону, противоположную возможному смещению точки касания объекта относительно опорной шероховатой плоскости. К уравнениям равновесия, составленным для объекта, добавляются выражения для максимальных сил трения в количестве, равном числу сил трения. ■ Пример решения задачи на равновесие с учетом трения. Человек весом G собирается установить легкую лестницу под углом α к вертикали (стене) и взобраться на половину длины лестницы для выполнения работы. Коэффициенты трения в точках контакта лестницы с полом (A) и со стеной (B) равны fA и fB соответственно. Определить предельное значение угла наклона, при котором лестница с человеком может сохранять равновесие. Весом лестницы пренебречь. 1. Выбираем на объект (человек и лестница), отбрасываем связи и заменяем их действие реакциями гладкой поверхности. A B 2. Добавляем активные силы (силу тяжести G). 3. Добавляем силы трения, направленные в сторону, противоположную возможному перемещению контактных точек A и B лестницы под действием приложенной активной силы. 4. Составляем уравнения равновесия: 5. Добавляем выражения для сил трения: 6. Подстановка последних выражений в уравнения равновесия с простыми преобразованиями третьего уравнения дает : 7. Решение первых двух уравнений дает выражения для нормальных реакций: 8. Подстановка выражений для нормальных реакций в третье уравнение равновесия приводит к возможности определения предельного угла наклона α: ■ Определение области равновесия. Задача решена для конкретного положения человека, угол наклона соответствует предельному равновесию (использованы максимальные значения сил трения). С помощью понятия конуса трения, образовываемого полной реакцией шероховатой поверхности и теоремы о трех силах можно определить область возможных равновесных положений человека на лестнице. Для этого достаточно по заданным коэффициентам трения определить углы трения, определяющие предельные положения полной реакции и построить конусы трения. Общая область конусов дает область равновесных положений человека. Хорошо видно, что для более высокого положения человека надо уменьшать угол наклона. A B 16 Лекция 5 (продолжение 5.3) ■ Сопротивление при качении. При действии сдвигающей силы, приложенной к катку, покоящемуся на шероховатой поверхности, возникает сила, противодействующая возможному смещению тела (сила трения сцепления) из равновесного положения или его действительному перемещению (сила трения скольжения) при его движении и пара сил, момент которой препятствует повороту катка (момент сопротивления качению). Возникновение пары сил, препятствующей качению, связана с деформацией опорной плоскости, в результате которой равнодействующая нормальных реактивных сил по площадке контакта смещена от линии действия силы тяжести в сторону возможного или действительного движения. Основные законы трения качения: 1. Момент сопротивления качению всегда направлен в сторону противоположную, тому направлению, в котором приложенные к телу силы стремятся его повернуть, или действительному повороту под действием этих сил (реактивный характер). 2. Момент сопротивления качению изменяется от нуля до своего максимального значения. Максимальный момент сопротивления качению пропорционален коэффициенту трения качения и силе нормального давления: . 3. Коэффициент трения качения есть величина постоянная для данного вида и состояния соприкасающихся поверхностей (fк = const). 4. Момент сопротивления качению в широких пределах не зависит от радиуса катка. Если коэффициент трения скольжения является безразмерной величиной, то коэффициент трения качения измеряется единицами длины и равен по величине указанному смещению равнодействующей нормального давления. В силу малости деформаций коэффициент трения качения имеет очень малую величину и составляет, например, для стального бандажа по стальному рельсу 0.0005 м. 17 Лекция 6 Пространственная произвольная система сил – силы не лежат в одной плоскости и их линии действия не пересекаются в одной точке. Для рассмотрения такой системы сил необходимо ввести новые понятия: Момент силы относительно центра в пространстве. Момент силы относительно оси. Момент пары сил в пространстве. Момент силы относительно центра в пространстве – векторная величина, равная векторному произведению радиуса-вектора, проведенного из центра к точке приложения силы, и вектора силы. По определению векторного произведения вектор момента силы направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через центр и силу, в ту сторону, откуда поворот радиуса-вектора к вектору силы на наименьший угол представляется происходящим по часовой стрелке. Модуль вектора момента силы относительно центра равен: Модуль вектора момента силы относительно центра численно равен удвоенной площади треугольника OAB. Момент силы относительно оси – алгебраическая величина, равная произведению проекции вектора силы на плоскость, перпендикулярную оси, на плечо этой проекции относительно точки пересечения оси с плоскостью, взятая со знаком + (плюс), если вращение плоскости под действием силы представляется при взгляде навстречу оси происходящим против часовой стрелки, и со знаком – (минус) в противном случае. Момент силы относительно оси численно равен удвоенной площади треугольника Oab. Связь момента силы относительно центра и относительно оси. Модуль вектора момента силы относительно центра, лежащего на оси z, равен удвоенной площади треугольника OAB: Момент силы относительно оси z, равен удвоенной площади треугольника Oab: Треугольник Oab получен проекцией треугольника OAB на плоскость, перпендикулярную оси z, и его площадь связана с площадью треугольника OAB соотношением: , где - двугранный угол между плоскостями треугольников. Поскольку вектор момента силы относительно точки перпендикулярен плоскости треугольника OAB, то угол между вектором и осью равен углу . Таким образом, момент силы относительно оси есть проекция вектора момента силы относительно центра на эту ось: 18 Момент пары сил в пространстве – вектор, перпендикулярный плоскости действия пары, направленный в ту сторону, откуда вращение плоскости под действием пары представляется происходящим против часовой стрелки. Модуль вектора момента пары равен произведению одной из сил пары на плечо пары: Теоремы о парах: (Теоремы приводятся без доказательств.) О переносе пары сил в плоскость, параллельную плоскости ее действия – Пару сил можно перенести в любую плоскость, параллельную плоскости ее действия. Кинематическое состояние тела не изменится. Об эквивалентности пар сил – Пару сил можно заменить другой парой сил, если их моменты геометрически (векторно) равны. Кинематическое состояние тела не изменится. О сложении пар сил на плоскости – Систему пар сил на плоскости можно заменить одной парой, момент которой равен геометрической (векторной) сумме моментов исходных пар. Кинематическое состояние тела не изменится. Условие равновесия системы пар сил - Лекция 6 (продолжение – 6.2) Далее будем по-прежнему придерживаться общего плана исследования системы сил, последовательно решая три вопроса : 1. Как упростить систему? 2. Каков простейший вид системы? 3. Каковы условия равновесия системы? Приведение плоской произвольной системы сил к заданному центру – выбираем произвольную точку на плоскости и каждую из сил переносим по методу Пуансо в эту точку. Вместо исходной произвольной системы получим сходящуюся систему сил и систему пар. В отличие от ранее рассмотренной плоской произвольной системы сил теперь при использовании метода Пуансо присоединенные пары сил характеризуются векторами. A Сходящаяся система сил приводится к одной силе, приложенной в центре приведения. Система пар приводится к одной паре (теорема о сложении пар), момент которой равен векторной сумме моментов исходных сил относительно центра приведения. A В общем случае плоская произвольная система сил приводится к одной силе, называемой главным вектором и к паре с моментом, равным главному моменту всех сил системы относительно центра приведения: - главный вектор, - главный момент. 19 Лекция 7 Условием равновесия пространственной произвольной системы сил является одновременное обращение главного вектора и главного момента системы в ноль: Уравнения равновесия получаются в виде системы шести уравнений из условий равновесия с использованием выражений для проекций главного вектора и главного момента системы сил: Аналитическое определение главного вектора системы – вычисляется так же, как и ранее равнодействующая, через проекции на координатные оси и единичные векторы (орты): Отсюда проекции главного вектора : Модуль главного вектора : Направляющие косинусы главного вектора : Аналитическое определение главного момента системы – вычисляется аналогично через проекции на оординатные оси и единичные векторы (орты): Отсюда проекции главного момента : Модуль главного момента : Направляющие косинусы главного момента : Возможные случаи приведения пространственной произвольной системы сил:
Условие приведения системы к равнодействующей: В аналитической (координатной) форме: 20 Лекция 7 (продолжение – 7.2) Зависимость главного момента системы от выбора центра приведения – рассмотрим как изменяется момент произвольной силы Fi при переходе от одного центра приведения к другому и запишем выражения для моментов силы относительно каждого из центров: 1. Свяжем между собой точки приведения A и B радиус-вектором d: 2. Подставим радиус-вектор rBi в выражение для момента силы MB(Fi): 3. Просуммируем моменты всех сил MB(Fi): 4. Получили зависимость главного момента сил от выбора центра приведения: Рассмотрим приведение системы сил к простейшему виду с использованием этой зависимости. Пусть система привелась в точке A к главному вектору R* и паре с главным моментом MA, имеющих между собой произвольный угол α. A 1. Разложим главный момент пары |