Курс лекций по теоретической механике Статика
 Скачать 3.66 Mb.
|
|
MA на два момента M* и M1, по двум направлениям: направлению главного вектора и перпендикулярно ему. 2. Представим пару сил с моментом M1, в виде сил, равных по модулю главному вектору. Плечо этой пары будет равно: 3. Систему сил в точке A удалим (аксиома присоединения). 4. Оставшуюся пару сил с моментом M* перенесем в точку приложения оставшейся силы R’* (теорема о переносе пары в пространстве). O Таким образом, исходная система сил в центре приведения A в новом центре приведения O превратилась в силовой (статический) винт и более не может быть упрощена. Перпендикулярная главному вектору составляющая главного момента M1 исчезла, а другая составляющая M* осталась неизменной. Заметим, исходная величина главного момента равна: При выборе точек приведения по линии AO от исходной точки до конечной d → 0 и главный момент MA → M* = min, минимальному главному моменту. Геометрическое место точек центров приведения, для которых главный момент системы является минимальным называется центральной осью системы. Кинематическое состояние системы не меняется при переносе главного вектора и главного минимального момента вдоль центральной оси системы. Следовательно, полученный результат справедлив для любой точки приведения, лежащей на этой оси. Можно показать, что при выборе точек приведения на одном и том же расстоянии от центральной оси (цилиндрической поверхности) главные моменты системы равны по модулю и образуют одинаковый угол α с образующей цилиндра: Главный минимальный момент может быть вычислен как проекция главного момента в любой точке приведения на центральную ось: 21 Умножая на модуль главного вектора левую и правую части выражения главного минимального момента в проекции на центральную ось получаем: , откуда главный минимальный момент выражается через скалярное произведение: Лекция 7 (продолжение – 7.3) Инварианты системы сил – величины, не зависящие от выбора центра приведения: Первый (векторный) инвариант – главный вектор системы сил R*: Главный момент не является инвариантом, поскольку он зависит от выбора центра приведения. Однако существует величина, связанная с главным вектором, не зависящая от выбора центра приведения: 1. Запишем зависимость для главного момента системы от выбора точки приведения: 2. Умножим левую и правую части этого выражения скалярно на главный вектор и раскроем скобки: 3. Второе слагаемое в правой части обращается в ноль, т.к. главный вектор R* перпендикулярен вектору векторного произведения в скобках. Отсюда получаем тождество: Таким образом, скалярное произведение главного вектора R* на вектор главного момента MA есть второй (скалярный) инвариант: Отсюда, главный минимальный момент M* также является инвариантной величиной: Теоремы Вариньона о моментах равнодействующей для пространственной системы сил: Если система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра равен геометрической сумме моментов сил системы относительно того же центра. момент равнодействующей относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов сил системы относительно той же оси. Доказательство: Пусть система сил F1, F2, F3 … приводится к равнодействующей, приложенной в точке O. Такая система не находится в равновесии (R ≠ 0). A O Уравновесим эту систему силой R’, равной равнодействующей R, направленной по линии ее действия в противоположную сторону (аксиома о двух силах). Система исходных сил F1, F2, F3 … и уравновешивающей силы R’ находится в равновесии и должна удовлетворять условиям равновесия, например: Поскольку сила R’, равна равнодействующей R и направлена по линии ее действия в противоположную сторону, то MA(R’) = - MA(R). Подстановка этого равенства в уравнение равновесия дает: или Cпроектируем это векторное равенство на любую ось, например, x: 22 Лекция 8 Сложение параллельных сил. Две параллельные и направленные в одну сторону силы приводятся к одной силе – равнодействующей, приложенной в точке, делящей прямую на расстояния, обратно пропорциональные величинам сил. Последовательно складывая попарно параллельные силы приходим также к одной силе – равнодействующей R: Поскольку силу можно переносить по линии ее действия, то точка приложения силы (равнодействующей) по существу не определена. Если все силы повернуть на один и тот же угол и вновь провести сложение сил, то получаем другое направление линии действия равнодействующей. Точка пересечения этих двух линий действия равнодействующих может рассматриваться, как точка приложения равнодействующей, не изменяющей своего положения при одновременном повороте всех сил на один и тот же угол. Такая точка называется центром параллельных сил Центр параллельных сил –точка приложения равнодействующей, не изменяющей своего положения при одновременном повороте всех сил на один и тот же угол. С Для аналитического определения положения центра параллельных сил применим теорему Вариньона: или . A Каждую из сил представим с помощью единичного вектора e , параллельному линиям действия сил: и . Тогда предыдущее равенство примет вид: или после перестановки скалярных множителей в векторных произведениях Из равенства векторных произведений и идентичности второго сомножителя следует: , откуда Проекции полученного соотношения для радиуса-вектора центра параллельных сил на координатные оси дают аналитические формулы для определения координат центра параллельных сил: Центр тяжести – центр приложения равнодействующей сил тяготения (веса) материального тела. При определении положения центра тяжести тела используются гипотезы: 1. Линии действия сил тяготения, приложенные к отдельным частицам тела, параллельны (рассматриваемые тела имеют размеры много меньшие радиуса Земли и углом между линиями действия сил тяготения частиц тел можно пренебречь); 2. Ускорение свободного падения g = const (высота рассматриваемых тел много меньше радиуса Земли и изменением величины ускорения свободного падения по высоте тела можно пренебречь) 3. Рассматриваемые тела – однородные (нет включений материалов с другой плотностью) и сплошные (нет пустот). С учетом принятых гипотез при определении положения центра тяжести можно использовать формулы для определения положения центра параллельных сил: где G – силы тяжести элементарных объемов. 23 Лекция 8 (продолжение – 8.2) Определение положения центра тяжести однородных тел – Выделим элементарный объем dV = dxdydz. Сила тяжести такого объема равна dG =dV, где =const - объемный вес. Замена суммирования дискретных сил тяжести Gi непрерывным распределением приводит к интегральным выражениям по объему тела для определения координат центров тяжести, например, координаты xC: В частном случае плоского тела (постоянной толщины H =const ), dV = Hdxdy = HdS: Для всех трех координат получаются подобные выражения: Для линейного тела (постоянного поперечного сечения S = const, ось – плоская кривая), dV = SdL: Определение положения центра тяжести простейших плоских тел: Прямоугольник: dS=bdy x x Треугольник: Круговой сектор: 24 Лекция 8 (продолжение – 8.3) Методы определения положения центра тяжести сложных фигур – 1. Метод разбиения – сложная фигура разбивается на совокупность простых фигур, для которых известны положения центра тяжести или легко определяются: 1 2 2. Метод отрицательных площадей – так же, как и в методе разбиения, сложная фигура разбивается на совокупность простых фигур, для которых известны положения центра тяжести или легко определяются, но при наличии отверстий или пустот удобно их представление в виде “отрицательных” областей. Например, следующая фигура вместо разбиения на 4 обычных рямоугольника, может быть представлена как совокупность двух прямоугольников, один из которых имеет отрицательную площадь: 1 2 3. Метод симметрии – при наличии у фигуры оси или плоскости симметрии центр тяжести лежит на этой оси или в этой плоскости. С учетом этого свойства уменьшается количество координат центра тяжести, подлежащих определению. См., например, определение положения центра тяжести кругового сектора. Замечание. Поскольку координата, например, x2, может быть отрицательна, то не следует представлять это выражение с использованием разностей: 4. Метод интегрирования – при наличии у фигуры достаточно простого контура, описываемым известным уравнением (окружность, парабола и т.п.), выбирается элементарная площадка или полоска и выполняется аналитическое интегрирование. См. например, определение положения центра тяжести треугольника или кругового сектора. При более сложном контуре, который может быть разбит на более простые граничные отрезки используется предварительно метод разбиения. При сложностях с аналитическим интегрированием используются численные методы интегрирования. 5. Метод подвешивания – экспериментальный метод, основанный на том, что при подвешивании тела или фигуры за какую-либо произвольную точку центр тяжести находится на одной вертикали с точкой подвеса. Для определения положения центра тяжести плоской фигуры достаточно ее подвесить поочередно за две любые точки и прочертить соответствующие вертикали, например, с помощью отвеса, и точка пересечений этих прямых соответствует положению центра тяжести фигуры. 25 |