курсовая работа (задача) теория многофазных течений. курсовая теория многофазных течений. Курсовая работа По дисциплине Теория многофазных течений

• Название: Курсовая работа По дисциплине Теория многофазных течений
• Анкор: курсовая работа (задача) теория многофазных течений
• Дата: 11.01.2023
• Размер: 144.96 Kb.
• Имя файла: курсовая теория многофазных течений.docx
• Тип: Курсовая; #881648
• страница: 2 из 5

3. Решение задачи

На шар, брошенный под углом к горизонту, действуют сила тяжести, силу Архимеда, силу трения и действие ветра.

Тогда уравнение движение шара имеет следующий вид:





Что бы получили значения изменения скоростей движения шара и его координат, будем использовать численные методы. Методы Рунге – Кутта – это большой класс численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Первые методы данного класса были предложены около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. Кутта.

К классу методов Рунге – Кутта относятся явный метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера с пересчётом, которые представляют собой соответственно методы первого и второго порядка точности. Существуют стандартные явные методы третьего порядка точности, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализуется в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) классический метод Рунге – Кутта, имеющий четвёртый порядок точности. При выполнении расчётов с повышенной точностью всё чаще применяются методы пятого и шестого порядков точности. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями.

Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, а методы восьмого порядка – не менее 11 стадий. Для методов девятого и более высоких порядков (не имеющих, впрочем, большой практической значимости) неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения соответствующего порядка точности.

Среди достоинств методов Рунге – Кутта, определивших их популярность, можно выделить следующее:

• 
  Эти методы легко программируются,
  
• 
  Эти методы обладают достаточными для широкого круга задач свойствами точности и устойчивости.
  
• 
  Эти методы (как и все одношаговые методы) являются самостартующими и позволяют на любом этапе вычислений легко изменять шаг интегрирования.
  

Классический метод Рунге – Кутта четвёртого порядка

Метод Рунге – Кутта четвёртого порядка при вычислениях с постоянным шагом интегрирования столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге – Кутта.

Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Далее ; .

.

Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:



Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:



,





где – величина шага сетки по .









Конкретный метод определяется числом и коэффициентами , и . Эти коэффициенты часто упорядочивают в таблицу (называемую таблицей Батчера).

Этот метод имеет четвёртый порядок точности. Это значит, что ошибка на одном шаге имеет порядок O ( ), а суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок O ( ).

Явные методы Рунге – Кутта

Семейство явных методов Рунге – Кутта является обобщением как явного метода Эйлера, так и классического метода Рунге – Кутта четвёртого порядка. Оно задаётся формулами:



где – величина шага сетки по и вычисление нового значения проходит в этапов.

Явные методы Рунге – Кутта, как правило, непригодны для решения жестких уравнений из-за малой области их абсолютной устойчивости. Неустойчивость явных методов Рунге – Кутта создаёт весьма серьёзные проблемы и при численном решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Неустойчивость явных методов Рунге – Кутта мотивировала развитие неявных методов. Неявный метод Рунге – Кутта имеет вид:



где



Явный метод характерен тем, что матрица коэффициентов для него имеет нижний треугольный вид (включая и нулевую главную диагональ) в отличие от неявного метода, где матрица имеет произвольный вид.

Преимуществом неявных методов Рунге – Кутта в сравнении с явными является их большая устойчивость, что особенно важно при решении жестких уравнений. Простейшим неявным методом Рунге – Кутта является модифицированный метод Эйлера «с пересчётом».

Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге – Кутта является одним из самых распространённых численных методов решений в технике.

Рассмотрим силы, действующие относительно оси ОХ:











Тогда уравнение скорости движения шара относительно оси ОХ имеет следующий вид:



Рассмотрим силы, действующие относительно оси OY:











Тогда уравнение скорости движения шара относительно оси ОY имеет следующий вид:



Рассмотрим силы, действующие относительно оси OZ:



Принимая во внимание, что:







Получаем следующий вид уравнения движения относительно оси ОZ:









Уравнение скорости движения шара относительно оси ОZ имеет следующий вид:



Координаты точек нахождения шара в определенные моменты времени рассчитываем по следующим формулам:







Для нахождения модуля вектора скорости (длины вектора) по известным координатам скоростей используем следующую формулу:



Значение скорости рассчитываем исходя из значений скоростей по каждой из оси по формуле:





Рисунок 1. – Изменение скорости шара



Рисунок 2. – траектория движения шара