Гиперболические функции курсовая. Гиперболические функции. Курсовая работа выполнена на 22 страницах и содержит 9 рисунков, 23 источника в библиографическом списке
 Скачать 228.49 Kb.
|
|
АННОТАЦИЯ Курсовая работа посвящена применению гиперболических функций при вычислении интегралов. Выделены основные понятия и элементы теории гиперболических функций. Курсовая работа состоит их двух частей. В первой части рассмотрены гиперболические функции, их свойства и графики. Также изучены обратные гиперболические функции. Вторая часть содержит примеры, показывающие применение гиперболических функций при вычислении интегралов. В конце работы сформулированы выводы о гиперболических функциях и сферах их применения. Курсовая работа выполнена на 22 страницах и содержит 9 рисунков, 23 источника в библиографическом списке. ANNOTATION СОДЕРЖАНИЕ Введение…………………………………………………………………………. 3 1. Гиперболические функции…………………………………………………... 5 1.1 Понятие гиперболических функций……………………………………….. 5 1.2 Свойства гиперболических функций………………………………………. 6 1.3 Обратные гиперболические функции и их графики……………………… 12 2. Применение гиперболических функций при вычислении интегралов……………………………………………………………………….. 16 Заключение………………………………………………………………………. 20 Библиографический список……………………………………………………. 21 ВВЕДЕНИЕ Первое появление гиперболических функций историки математики обнаружили в трудах английского математика, ученика и помощника И. Ньютона, Абрахама де Муавра (1667-1754 гг.). Дал же современное определение и выполнил обстоятельное исследование этих функций Винченцо Риккати в 1757 году; он же предложил и обозначения для них. Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы, используя аналогию с единичной окружностью для тригонометрических функций. Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом, который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии (1770 г.). Н.И. Лобачевский (1792–1856 гг.) впоследствии использовал этот параллелизм, доказывая непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой круговая тригонометрия заменяется на гиперболическую [3]. Однако за почти два столетия до начала осознанного изучения гиперболических функций Гиртом де Крёмером (1512-1594 гг.) было обнаружено первое и одно из наиболее важныхприменений гиперболических функций. Его осуществил фламандский географ, более известный под латинским именем Герард Меркатор. В 1569 г. он приступил к созданию карты, в которой кривая (локсодромия), которая всегда наклонена под одинаковыми углами к каждому меридиану, изображалась бы прямой линией. Это было значительным и крупным прорывом в навигации. И сегодня составление морских навигационных и аэронавигационных карт мира базируются на этом подходе. Проекция Меркатора отличается тем, что на картах не искажаются углы и формы. Меркатор опубликовал свою карту без пояснений, и это не позволило другим обнаружить, что его расчетные формулы вели непосредственно к гиперболическим функциям. Актуальность изучения гиперболических функций заключается в том, что они часто применяются при вычислении различных интегралов, в теории неевкидовых геометрий, теории дифференциальных уравнений, теории функций комплексного переменного, в математическом аппарате квантовой механики. Целью курсовой работы является изучение гиперболических функций и их применения для вычислений интегралов. Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи: изучить понятие гиперболических функций; определить свойства гиперболических функций; охарактеризовать обратные гиперболические функции и их графики; изучить применение гиперболических функций при вычислении интегралов. Объект исследования – гиперболические функции. Предмет исследования – применение гиперболических функций при вычислении интегралов. Теоретическую и методологическую базу исследования составили труды отечественных и зарубежных авторов, таких В.И. Гаврилов, Ю.Н. Макаров, В.Г. Чирский, А.П. Карташев, Е.К. Лейнартас, В.Г. Шерватов, И.Я. Штаерман, Е. Янке Е. и др. В работе применялись общенаучные методы анализа и синтеза информации, теоретическое обобщение, сравнительный анализ. 1 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1.1 Понятие гиперболических функций Гиперболические функции – семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями [8]. Гиперболические функции задаются следующими формулами: 1) гиперболический синус:  2) гиперболический косинус:  3) гиперболический тангенс:  4) гиперболический котангенс:  5) гиперболический секанс:  6) гиперболический косеканс:   Ввиду соотношения  (x = cht, y = sht),  гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы x2 − y2 = 1 (рис. 1). Рисунок 1 – Определение гиперболических функций через гиперболу При этом аргумент t = 2S, где S – площадь криволинейного треугольника, взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси OX, и «−» в противоположном случае. 1.2 Свойства гиперболических функций Рассмотрим свойства функции y = shx – гиперболического синуса [12]. 1. Область определения: D(y) = (-∞; +∞;). 2. Множество значений: E(y) = (-∞; +∞). 3. Четность и нечетность: нечётная. 4. Периодичность: не периодическая. 5. Нули функции: x = 0. 6. Промежутки знакопостоянства: функция отрицательна для x(-∞; 0), положительна – для x(0; + ∞). 7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет. 8. Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает для всех x(-∞; +∞) 9. Точки пересечения с осями координат: (0; 0). 10. Асимптоты: асимптот не имеет. 11. График функции изображен на рис. 2.  Рисунок 2 – График функции y = shx Рассмотрим свойства функции y = chx – гиперболического косинуса . 1. Область определения: D(y) = (-∞; +∞). 2. Множество значений: E(y) = [1; +∞). 3. Четность и нечетность: чётная. 4.Периодичность: не периодическая. 5.Нули функции: нулей не имеет. 6. Промежутки знакопостоянства: функция положительна для всех x(-∞; +∞). 7. Наибольшее и наименьшее значения: наименьшее значение, равное 1, функция принимает при x= 0. 8. Промежутки возрастания и убывания: функция убывает при x(-∞; 0); возрастает – при x(0; +∞). 9. Точки пересечения с осями координат: функция пересекает ось OУ в точке y = 1, ось Ox не пересекает. 10. Асимптоты: асимптот нет. 11. График функции изображен на рис. 3 [21].  Рисунок 3 – График функции y = сhx Рассмотрим свойства функции y = thx – гиперболического тангенса. 1. Область определения: D(y) = (-∞; +∞). 2. Множество значений: E(y) = (-1; 1). 3. Четность и нечетность: нечётная. 4. Периодичность: не периодическая. 5. Нули функции: x = 0. 6. Промежутки знакопостоянства: функция отрицательна для x(-∞; 0); положительна – для x (0; +∞). 7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет. 8. Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает для всех x(-∞; +∞). 9. Точки пересечения с осями координат: (0; 0). 10. Асимптоты: имеет горизонтальные асимптоты y = -1 и y = 1. 11. График функции изображен на рис. 4.  Рисунок 4 – График функции y = thx Рассмотрим свойства функции y = cthx – гиперболического котангенса. 1.Область определения: D(y) = (-∞; 0) (0; +∞). 2. Множество значений: E(y) = (-∞; -1) ᴗ (1; +x). 3. Четность и нечетность: нечётная. 4. Периодичность: не периодическая. 5. Нули функции: нулей не имеет. 6. Промежутки знакопостоянства: функция отрицательна для x(-∞; 0); положительна – для x(0; +∞). 7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет. 8. Промежутки возрастания и убывания: функция убывает для xD(y). 9. Точки пересечения с осями координат: нет. 10. Асимптоты: имеет горизонтальные асимптоты y = -1 и y = 1 [6]. 11. График функции изображен на рис. 5.  Рисунок 5 – График функции y = сthx Для гиперболических функций существует ряд важных соотношений. 1.  2. Формулы сложения [5]:     3. Формулы двойного угла [11]:       4. Формулы кратных углов [17]:       5. Формулы произведения [5]:     6. Формулы суммы:    7. Формулы понижения степени [5]:   8. Представление через гиперболический тангенс половинного угла [2]:       1.3 Обратные гиперболические функции и их графики Обратные гиперболические функции (известные также как ареафункции или ареа-функции) – семейство элементарных функций, определяющихся как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x2 − y2 = 1 аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину дуги единичной окружности x2 + y2 = 1 [20]. Обратный гиперболический синус (ареасинус) – это функция, обратная к гиперболическому синусу (y = arsh x): область определения –∞ < x < +∞; множество значений –∞ < y < +∞; строго возрастает на всей числовой оси. График ареасинуса представлен на рис. 6 [17].  Рисунок 6 – График обратного гиперболического синуса (ареасинуса) Обратный гиперболический косинус (ареакосинус) – это функция, обратная к гиперболическому косинусу (y = arch x): область определения 1 ≤ x < +∞; множество значений 0 ≤ y < +∞. строго возрастает на своей области определения. График ареакосинуса представлен на рис. 7.  Рисунок 7 – График обратного гиперболического косинуса (ареакосинуса). Пунктиром показана вторая ветвь ареакосинуса Вторая ветвь ареакосинуса также определена при x ≥ 1 и расположена симметрично относительно оси абсцисс, – ∞ < y ≤ 0, она строго убывает на области определения. Обратный гиперболический тангенс (ареатангенс) – это функция, обратная к гиперболическому тангенсу (y = arth x): область определения – 1 < x < 1; множество значений –∞ < y < +∞; строго возрастает на своей области определения. График ареатангенса представлен на рис. 8 [17].  Рисунок 8 – График обратного гиперболического тангенса Обратный гиперболический котангенс (ареакотангенс) – это функция, обратная к гиперболическому котангенсу (x = cth y ): область определения |x| > 1; множество значений y ≠ 0; строго убывает на своей области определения. График ареакотангенса представлен на рис. 9.  Рисунок 9 – График обратного гиперболического котангенса В комплексной плоскости гиперболические функции являются периодическими, а обратные им функции — многозначными [9]. 2. ПРИМЕНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ИНТЕГРАЛОВ Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций. Рассмотрим формулы дифференцирования и интегрирования гиперболических функций [10]. 1. Производные:     2. Интегралы:      Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки  Пример 1. Вычислить интеграл  [13].Решение: сделаем подстановку  Тогда  Следовательно, интеграл равен:  Пример 2. Вычислить интеграл  Решение: так как  следовательно  Исходный интеграл можно переписать в виде: Пример 3. Вычислить интеграл  Решение: используем интегрирование по частям   Пример 4. Вычислить интеграл  Решение: так как  то интеграл равен Пример 5. Вычислить интеграл  [7].Решение: по определению  Подставляя это в интеграл, получаем: Пример 6. Вычислить интеграл  Решение: по определению  и  . Подставляя это в интеграл, получаем: Пример 7. Вычислить интеграл  Решение: подставим формулы и в исходный интеграл. Пример 8. Вычислить интеграл  [16].Решение: используем интегрирование по частям  Решая полученное уравнение относительно исходного интеграла, находим ответ:  ЗАКЛЮЧЕНИЕ Гиперболические функции – семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями. Первое появление гиперболических функций историки математики обнаружили в трудах английского математика, ученика и помощника И. Ньютона, Абрахама де Муавра. Дал же современное определение и выполнил обстоятельное исследование этих функций Винченцо Риккати в 1757 году; он же предложил и обозначения для них. Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы, используя аналогию с единичной окружностью для тригонометрических функций. Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом. Гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы. Свойства гиперболических функций во многом аналогичны свойствам тригонометрических функций. Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто вычисляются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций. Библиографический список 1. Баврин И.И. Математический анализ для педагогических вузов: учебник и практикум для прикладного бакалавриата. – Люберцы: Юрайт, 2016. – 327 c. 2. Балдин К.В., Башлыков В.Н., Рукосуев А.В. Математический анализ: Учебник. – М.: Флинта, МПСУ, 2013. – 368 c. 3. Бодряков В.Ю., Быков А.А. История гиперболических функций: их изучение и некоторые приложения // Математическое образование. 2018. № 4. С. 18-29. 4. Будаев В.Д., Якубсон М.Я. Математический анализ. Функции одной переменной: Учебник. – СПб.: Лань, 2018. – 544 c. 5. Воробьев Е.М. Компьютерный практикум по математике. Математический анализ. Линейная алгебра. – М.: КДУ, 2009. – 604 c. 6. Гаврилов В.И., Макаров Ю.Н., Чирский В.Г. Математический анализ: Учебное пособие для студентов учреждений высшего профессионального образования. – М.: ИЦ Академия, 2013. – 336 c. 7. Горлач Б.А. Математический анализ: Учебное пособие. – СПб.: Лань, 2013. – 308 c. 8. Злобина С.В., Посицельская Л.Н. Математический анализ в задачах и упражнениях. – М.: Физматлит, 2009. – 360 c. 9. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Математический анализ. – СПб.: Лань, 2007. – 448 c. 10. Киркинский А.С. Математический анализ: Учебное пособие для ВУЗов. – М.: Академический проект, 2006. – 526 c. 11. Кытманов А.М. Математический анализ. учебное пособие для бакалавров. – Люберцы: Юрайт, 2016. – 607 c. 12. Лейнартас Е.К. Математический анализ: Учебное пособие для бакалавров / А.М. Кытманов, Е.К. Лейнартас, В.Н. Лукин; Под ред. А.М. Кытманов. –М.: Юрайт, 2012. – 607 c. 13. Лосиевская Т.В. Математический анализ: несобственные интегралы: Учебное пособие. – М.: МИСиС, 2018. – 61 c. 14. Очан Ю.С., Шнейдер В.Е. Математический анализ: учебное пособие. – М.: Альянс, 2016. – 880 c. 15. Просветов Г.И. Математический анализ: задачи и решения: Учебное пособие. – М.: БИНОМ. ЛЗ, 2017. – 208 c. 16. Протасов Ю.М. Математический анализ: Учебное пособие / Ю.М. Протасов. – М.: Флинта, Наука, 2017. – 168 c. 17. Шерватов В.Г. Гиперболические функции. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954. – 55 с. 18. Шершнев В.Г. Математический анализ: сборник задач с решениями: Учебное пособие. – М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. – 164 c. 19. Шипачев В.С. Математический анализ. Теория и практика. – М.: Высшая школа, 2009. – 350 c. 20. Штаерман И.Я. Гиперболические функции. – М.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1935. – 55 с. 21. Шубин М.А. Математический анализ для решения физических задач. – М.: МЦНМО, 2003. – 40 c. 22. Янке Е. Специальные функции. – М.: Наука, 1968. – 344 с. 23. Янпольский А.Р. Гиперболические функции. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. – 194 с. |