Квадратні рівняння з параметром
 Скачать 482.31 Kb.
|
|
Рівняння з умовами щодо коренів Нехай  і  – корені рівняння  = 0,де  ;  ,  ,  ;  – абсциса вершини параболи  .Тоді мають місце такі твердження:  , якщо виконуються умови:   , якщо виконуються умови:    , якщо виконуються умови:   , якщо виконуються умови:    , якщо виконуються умова  .  , якщо виконуються умови:    ,  , якщо виконуються умови:   ,  , якщо виконуються умови:   , , якщо виконуються умови:   Приклад 10. При яких значеннях а один з коренів рівняння  дорівнює квадрату іншого?Розв’язання Для визначення шуканих значень а складемо систему, в якій два перші рівняння описують теорему Вієта для даного квадратного рівняння  ,  , а третє співвідношення містить умову, яка накладається на його корені: .У даному випадку для визначення  та  зручно вибрати друге і третє рівняння системи: тобто  Підставляючи знайдені вирази в перше рівняння системи, одержимо:  ,  ,  Відповідь. а= −1, або а=3. Приклад 11. При яких значеннях параметра а корені рівняння  більші 1? Розв’язання Очевидно, що задача рівносильна наступній: при яких значеннях параметра а корені квадратного тричлена  більші 1.Перехід від одного формулювання задачі до іншого, підкреслює загальну ідею, що пов’язана з описом тих чи інших властивостей квадратного тричлена в їх геометричній інтерпретації на графіку. Для того, щоб корені квадратного тричлена були більші числа  , необхідно і достатньо виконання умов: При а=0 рівняння має корінь х = −1, який не задовольняє умову задачі. Розглянемо випадок  . При таких а умови запишуться у вигляді  .Розв’язуючи цю систему, знаходимо, що  . Очевидно, що цей же результат ми отримали б і розв’язуючи нерівність  , де − менший корінь рівняння.Відповідь. .Приклад 12. При яких значеннях параметра а один із коренів рівняння тричлена (а2 −  + (а2 + а – 1) – а3 + а = 0 більший, ніж число а, а другий менший а? Розв’язання Задача рівносильна наступній: при яких значеннях параметра а корені квадратного тричлена у(х) = (а2 − + (а2 + а – 1) – а3 + а = 0 лежать на дійсній осі по різні сторони від точки х = а?Для розв’язування цієї задачі скористаємося тим загальним фактом, що для того щоб корені квадратного тричлена лежали на дійсній осі по різні сторони від числа , необхідно і достатньо виконання умови . У нашому випадку ця умова набуває вигляду (а2 −  < 0. Тобто, вимогу задачі задовольняють розв’язки нерівності (а2 −  ( а2 −2) а2 + (а2− а −1)а – а3 + а) < 0, де (а2 − ≠ 0(а = ±  не задовольняють умову задачі).Розв’язуючи отриману нерівність, знаходимо, що а  Варто сказати, що розв’язувати цю задачу іншим способом, розглядаючи нерівності  і  , досить складно.Відповідь. а Приклад 13. При яких значеннях параметра а корені та рівняння (3а + + (а – 1) + 4а +3 = 0 задовольняють умовам < − 1 < < 1? Розв’язання Задача рівносильна наступній: при яких значеннях параметра а тільки один, а саме – більший корінь квадратного тричлена f(x) = (3а + + (а – 1 + 4а +3 , де 3а +  належить інтервалу (-1; 1), а другий – менший -1. Вимоги в даній задачі виконуються тільки з-за умов:  .Таким чином ми приходимо до системи:  Розв’язуючи цю систему, приходимо до висновку, що а  .Відповідь. а  Приклад 14. При яких значеннях параметра а корені рівняння  = 0 мають різні знаки і обидва по модулю менші 4?Розв’язання Нехай  . Тоді вимоги задачі виконуються, якщо сумісна система  , яку запишемо у вигляді  і якій задовольняють всі а .Відповідь. а Приклад 15. При яких значеннях параметра а квадратний тричлен (k – 1)х2 + (k+ 4)х + k+ 7 можна представити у вигляді повного квадрата? Розвязання Квадратний тричлен ax2 +bx + cможна представити у вигляді a(х –x0 )2, якщо його корені рівні х1 = х2 = x0. Тобто коли D = 0. В даному випадку D = (k +4)2 −4(k − 1)( k + 7) = 0. Розв’язавши останнє рівняння, отримуємо k = -  і k = 2. Відповідь. k = - і k = 2.Приклад 16. Знайти всі значення параметра  , при кожному з яких корені рівняння  належать інтервалу  .Розв’язання Нехай  .  ,  Якщо  , то  .Якщо  , то задача рівносильна виконанню умов: Відповідь.  .Приклад 17. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких лише один корінь рівняння  належать інтервалу  .Розв’язання Рівняння квадратне.  9.Корені х = а – 1 і х = а + 2. 1< а − 1 < 5, 2< а < 6. 1< а + 2 < 5, −1 < а < 3.  Бачимо, що рівно один корінь належить інтервалу при −1 < а ≤2 або 3 ≤ а < 6.Відповідь:  .Приклад 18. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких корені рівняння  має корені різних знаків і модуль додатного кореня більший, ніж модуль від’ємного.Розв’язання Корені цього квадратного рівняння задовольняє умову тоді і тільки тоді, коли їх добуток буде від’ємним числом, а сума – додатним. За теоремою Вієта отримаємо систему:  Відповідь.  .Приклад 19. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких корені рівняння  більші 3.Розв’язання І спосіб. D 2a2 ; x1 3a  , x2 3a .Щоб корені були більші 3 ( 3 ≤ x1 ≤x2), досить розв’язати тільки одну нерівність: 3a − 3, відокремивши радикал, отримаємо нерівність 3a3, яка рівносильна системі: ІІ спосіб. Розглянемо функцію: f(x) x2 2ax9a2 2a2. Її корені більші 3, якщо виконується система:   Відповідь.  . |