Квадратні рівняння з параметром

• Название: Квадратні рівняння з параметром
• Дата: 15.01.2022
• Размер: 482.31 Kb.
• Имя файла: 166681.docx
• Тип: Документы; #331656
• страница: 3 из 3

Взаємне розташування коренів двох квадратних рівнянь

З’ясуємо питання про взаємне розташування коренів двох квадратних рівнянь.

Нехай рівняння має корені , а рівняння має корені , при чому . У цьому випадку кажуть, що корені рівняння перемежовуються.

На рисунку показане взаємне розташування графіків цих функцій. Графіки мають єдину точку перетину з абсцисою .

Очевидно, що , звідки . (Відмітимо, що при графіки співпадають або не перетинаються.) Нехай , тоді , або , звідки

. (*)
Приклад 20. При яких значеннях параметра корені рівнянь та перемежовуються ?

Розв’язання

У даному випадку

З нерівності (*) одержуємо, що

,

або звідки

Відповідь.
Приклад 21. Знайти всі значення параметра , при кожному з яких рівняння (1 – 2а)х² – 6ах – 1 = 0 і ах² – х + 1 = 0 мають хоча б один спільний корінь.

Розв’язання
При а≠0 и 1 – 2а ≠ 0 запишемо умову (*) для цих рівнянь:

( + )² = (− + ) (− − ).

Спростивши рівняння, отримаємо:

(1− а)² = - (6а² + 2а – 1)( 6а + 1). Розкриємо дужки та перенесемо всі доданки в одну частину, винесемо а за дужки:

а( 36а² + 19а – 6) = 0.

За умовою а ≠ 0, тому тільки

36а²+ 19а – 6 = 0,

а₁ = і а₂ =  .

Підставимо значення а в друге рівняння ах² – х + 1 = 0.

Отримаємо

х² – х + 1 = 0, D отже  а = не задовольняє умову.

х² – х + 1 = 0. D ≠ 0.

Відповідь. а = .
Рівняння, що містять модуль
Приклад 22. При якому значенні параметра р  рівняння

| х² – 5х + 6 | + | х² – 5х + 4 | = р  має рівно чотири корені?

Розв’язання
Розглянемо функцію у = | х² – 5х + 6 | + | х² – 5х + 4 |

Так як х² – 5х + 6 = (х – 2)(х – 3)  і х² – 5х + 4 = (х – 1)(х – 4), то

 y = | (х – 2)(х – 3) | + | (х – 1)(х – 4) |.

Розв’яжемо рівняння на кожному із п’яти проміжків, на які розбивають числову вісь корені квадратних тричленів:

1. 
   x < 1
   

y = x² – 5x + 6 + x² – 5x + 4,

y = 2x² – 10x + 10,

y = x² – 5x + 5 − парабола.

2. 
   1 < x < 2
   

y  = x² – 5x + 6 –  x² + 5x – 4,

y = 2 – пряма.

3. 
   2 < x < 3
   

y = – x² + 5x – 6 –  x² + 5x – 4,

y = – 2x² + 10x – 10,

y = – x² + 5x – 5 – парабола.

4. 
   3 < x < 4
   

y = x² – 5x + 6 – x² + 5x – 4,

y = 2 – пряма.

5. 
   x > 4
   

y= x² – 5x + 6 + x² –5x + 4,

y = x² – 5x + 5 – парабола.

Побудувавши на кожному із проміжків відповідні графіки, отримаємо:

х

Отже, рівняння має чотири корені за умови 2 < а < 2,5.

Відповідь. а  .

Приклад 23. При якому найбільшому цілому значенні параметра  рівняння  має рівно чотири корені?

Розв’язання

Початкове рівняння матиме 4 корені, якщо рівняння  матиме корені, і обидва вони будуть додатними. рівняння матиме корені за умови  , звідки  .

За теоремою Вієта  ,  .

Отже, для того щоб обидва корені були додатними, необхідно щоб  було додатним.

Маємо:  , тому найбільшим цілим значенням  буде 6.

Відповідь. 6.

Приклад 24. Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння 2х² + (2а–10)|x| +a² – 10 a +16 = 0 має два розв'язки.

Розв'язання

Перша ідея – виділити повний квадрат відносно параметра а:



Наступна ідея не настільки очевидна, але абсолютно типова – виділити повний квадрат щодо модуля х. Тоді не буде необхідності в розкритті модульних дужок.



Першу частину розв'язання виконано. Ми прийшли до того, що ліва частина рівняння залежить від параметра, а права не залежить. Далі має бути  дослідження кількості точок перетину графіків рівнянь:



Перетворимо друге рівняння:



Друге рівняння описує коло із центром на початку координат і радіусом рівним 3. Це коло не залежить від параметра й не змінює свого положення в процесі дослідження. Більш цікавим є графік першого рівняння, точніше множина графіків. Параметр а надає цьому рівнянню динамічність переміщення щодо координатних осей і зміну форми графіка від прямого кута до ламаної лінії із прямими кутами. А саме, при  а – 5 ≥ 0  графік першого рівняння має вигляд:



При а – 5 < 0  графік перетвориться на ламану лінію:



Досліджуємо графічно розв'язок системи: Тоді система й вихідне рівняння мають два розв'язки.



Тепер досліджуємо цю же систему при  a – 5 < 0. У цьому випадку два розв'язки можливі коли: -3 < a – 5 < 0, тобто для значень параметра в межах 2 < a < 5.

Графічно ці розв'язки отримуються у такий спосіб:



При a – 5 = −3 тобто при a = 2 рівняння має три корені. При a < 2 рівняння має чотири розв'язки доти, доки графіки кола й ламаної мають чотири спільні точки. Але настане момент, коли відповідні січні стануть дотичними, і тоді рівняння знову буде мати тільки два розв'язки:



У цьому випадку: АВ = 6, ОВ = 3 , В(0;- 3 ), а - 5 = -3√2,

а = 5 - 3 . Поєднуючи всі отримані розв'язки, маємо:

a (2;8,) a =5 – 3 .

Відповідь. a (2;8), a =5 – 3 .
Приклад 25. Вказати всі значення параметра а , при яких рівняння ׀х² +3ах = −3а має лише два розв’язки.

Розв’язання

Перш за все відмітимо, що рівняння ׀х² +3ах = −3а може мати розв’язки тільки при а < 0 (а Графікy₁= ׀х² +3ах отримаємо з параболиy = х² +3ах відображенням від’ємної частини симетрично осі Ох. Корені цієї параболи х₁ = 0 та х₂ = −3а , а вершина знаходиться в точці і

Графіком є пряма, паралельна осі Ох.



З малюнка слідує, що графіки даних функцій мають дві спільні точки при умові, що

Відповідь.
Приклад 26. Вказати всі значення параметра a, при яких рівняння ((|x - 8| + |x - a|)²) - 7a(|x - 8| + |x - a|) + 10a²+ 6a - 4 = 0

має лише два розв’язки.

Розв’язання

Замітимо, що маємо квадратне рівняння відносно t,

де t = |x − 8| + |x − a|. 

Перепишемо рівняння так, що застосувати теорему Вієта:

t² − 7at + 10a² + 6a - 4 = 0,
t² − 7at + 2(5a² + 3a - 2) = 0,
t² − 7at + 2(a + 1)(5a - 2) = 0,
t² − 7at + (2a + 2)(5a - 2) = 0.
Отже, корені цього рівняння: (2a + 2) и (5a − 2).

Отримаємо: |x − 8| + |x − a| = 2a + 2 або

 |x − 8| + |x − a| = 5a − 2.

Розглянемо функцію  f(x) = |x − 8| + |x − a|.

Точки 8 і а ділять числову вісь на три області. Побудуємо відповідні графіки на кожному з цих проміжків.

При такому розташуванні прямі перетинатимуть графік лише у двох точках, при інших положеннях прямих, можливі й інші варіанти. Щоб знайти точки перетину, можна розв’язати дві системи строгих нерівностей або нерівність

( |x − 8| − (2a + 2))( |x − 8| − (5a − 2))< 0.

Скориставшись методом інтервалів, отримуємо: a= і

a .

Відповідь. a= і a .


Література

1. 
   Мудрякова Н.Н. Урок–лекция «Уравнения и неравенства с параметром» [Электронный ресурс] // Режим доступа: http://festival.1september.ru/articles/531229/
   
2. 
   Ромашко В. Д. Решение уравнений и неравенств с параметрами / В. Д. Ромашко [Электронный ресурс] // Режим доступа: http://parametry.narod.ru/reshenie2.html
   
3. Фалилеева М.В. Методические аспекты обучения решению уравнений и неравенств с параметрами [Электронный ресурс] / М. В. Фалилеева // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 4 (часть 5) – С. 1230-1235 Режим доступа: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=31396
4. 
   Прус А.В., Швець В.О. Задачі з параметрами в шкільному курсі математики. Навчально-методичний посібник. - Житомир: Вид-во «Рута», 2016. 468 с.