Квадратні рівняння з параметром
 Скачать 482.31 Kb.
|
|
КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ З ПАРАМЕТРОМ Майже вся теорія квадратного тричлена, а також розв’язання багатьох задач, пов’язаних з ним, базується на прийомі, що називається «виділенням повного квадрата». Застосовуючи цей прийом до квадратного тричлена  , приходимо до рівності: Вираз D= b2 - 4асназивають дискримінантом. Квадратне рівняння може мати два корені (D>0), один корінь (D=0) або не мати коренів(D<0). Корені квадратного рівняння х1 і х2 дорівнюють:  ; .Правда, нумерація коренів умовна. Зазвичай намагаються занумерувати їх у порядку зростання, але це не обов’язково. Також деякі термінологічні проблеми виникають у випадку D=0, тожзауважимо, що вирази «квадратне рівняння має один розв’язок» і «квадратне рівняння з рівними коренями» означають одне і те ж. Якщо другий коефіцієнт квадратного рівняння - парне число, тобто b = 2k, то при розв’язуванні квадратного рівняння можна користуватися формулою:  , де  ,  .До азбуки квадратного тричлена відноситься також і теорема Вієта. Для того, щоб х1 і х2 рівняння ах2 + bх + с = 0 , необхідно і достатньо, щоб виконувались рівності:   . Звернемо увагу на те, що тут сформульовано два твердження – пряме та обернене. Часто обмежуються одним прямим твердженням. Зауваження. Важливо звертати увагу учнів на випадки, коли коефіцієнт при х2 дорівнює нулю, і розглядати їх у першу чергу, що допоможе учням уникати поширеної помилки: взагалі не розглядати таких випадків. Рівняння з вимогою «розв’язати для всіх значень параметра» Розв’язання рівнянь такого типу слід з питання «А чи є воно квадратним?». Далі можна скористатись схемою.  Приклад 1. Розв’язати рівняння ax2– 2x + 4 = 0. Розв’язання Якщо a = 0, то x = 2. Якщо а ≠ 0, то рівняння є квадратним. D = 4 – 16a. ЯкщоD < 0, тобто a >0,25, рівняння розв’язків не має. Якщо D = 0, тобто a =0,25, то x = 4. Якщо D > 0, тобто a < 0,25 ,то рівняння має два кореня x1,2=  . Приклад 2. Розв’язати рівняння x2 2xa0.Розв’язання Рівняння квадратне, тому розв’язки залежатимуть від дискримінанта: D 1a . Якщо а > 1, то D 0, то коренів немає. Якщо а = 1, то D 0, то отримаємо один корінь х = 1. Якщо а < 1, то D 0 , то рівняння має два різних дійсних кореня x1,211a . Відповідь. Якщо а > 1, то розв’язків немає; Якщо а = 1, то х = 1; якщо а < 1, то x1,211a . Приклад 3. Розв’язати рівняння: (  +1)х2+2 х+ −2=0.Розв’язання 1) Якщо +1= 0 тобто = -1, то задане рівняння буде мати вигляд: -2х – 3 = 0, тобто х =- 2) Якщо +1≠0 ( ≠ -1), то одержимо квадратне рівняння, дискримінант якого D=4( +2). Тому розглянемо три випадки:якщо D=0, тобто 4( +2) = 0, то = -2 i х = -2;якщо D<0, тобто 4( +2) < 0 ( < -2), то коренів немає;якщо D>0: 4( +2) > 0; > -2 і ≠ -1, тобто -2 < < -1 і > -1, то квадратне рівняння має два різні корені: х1=  ; х2= .Відповідь. Якщо =-1, то х=- ; якщо ≠-1 і ≥-2, то х= .Приклад 4. Розв’язати рівняння 3(2а – 1)х2 – 2(а + 1)х + 1 = 0 . Розв’язання Якщо а =  , дане рівняння перетворюється в лінійне рівняння:0·х2 – 2( + 1)х + 1 = 0;−3х + 1 = 0; х =  .Якщо а ≠ , то дане рівняння є квадратним. Знайдемо дискримінант: = (а + 1)2 – 3(2а + 1) = а2 + 2а +1 – 6а +3 = а2 −4а +4 = = (а – 2)2 ≥ 0 . = 0, якщо а = 2. Тоді рівняння набирає вигляду:9х2 – 6х + 1 = 0; (3х – 1)2 = 0; х = . > 0, якщо а ≠ 2. Тоді рівняння два корені:х1 =  і х2 = .Відповідь. Якщо а = , а = 2, то х = ;якщо а ≠ , а ≠ 2, то х1 = , х2 = .Приклад 5. Розв’язати рівняння  .Розв’язання Якщо а = 2, дане рівняння перетворюється в лінійне,  .Якщо а ≠ 2, то дане рівняння – квадратне. D =   Розв’язуючи нерівність  , знаходимо ті значення а, за яких  набувають дійсних значень:  \ , то  Відповідь. Якщо а = 2, то х =  ; якщо   Приклад 6. Розв’язати рівняння  .Розв’язання Перенесемо всі доданки із правої частини рівняння в ліву з протилежним знаком  і зведемо коефіцієнти при однакових степенях х:  . Застосуємо формулу перетворення різниці квадратів у добуток  і винесемо спільний множник (а+1) за дужки :  .Якщо параметр  то рівняння зводиться до тотожності 0=0. Отже, його розв’язками є всі дійсні числа. Нехай  , тоді  .Поділивши обидві частини рівняння на (а+1), отримаємо  . В залежності від значень параметра а одержимо рівняння різного виду.Якщо а=1, то рівняння стає лінійним. Якщо  , то рівняння буде квадратним.Обчислимо дискримінант рівняння:  .  0 при   . Тоді х1 = х2 =  = 2. 0 при  . Тоді х1,2 =  Відповідь. Якщо а = −1, то х   Якщо а = 1, то х = 1. Якщо , то х1 = х2= 2.Якщо  то х1,2 =  Якщо  , то рівняння розв’язків не має.Існування коренів (коренів певних знаків) Розглянемо завдання на співвідношення між коренями квадратного рівняння з параметрами. Їх можна розв’язувати користуючись схемою. Але деколи зручніше не виписувати значення коренів через дискримінант, а використовуючи теорему Вієта.
Приклад 7. Знайдіть всі значення параметра а, при яких рівнянння 3x2 2(a3)xa2 2a0 має корені різних знаків. Розв’язання Якщо корені x1 і x2 – корені рівняння, то x1 · x2 0 . За теоремою Вієта маємо:  < 0, звідки  Відповідь. (−  – 2)  (0; + .Приклад 8. Довести, що при будь-якому значенні а рівняння  має розв’язок.Розв’язання Можна, звичайно, спробувати знайти дискримінант і довести, що він додатний. Але не будемо поспішати. Позначимо ліву частину даного рівняння як f(x).Відразу зрозуміло, що  при будь-якому значенні а. Твердження задачі буде доведено, якщо ми знайдемо х1, для якого  . Спробуємо  . (Вибір такого значення є зрозумілим, оскільки у цьому випадку зникають члени з  )  при будь-якому значенні а. Тепер легко можна зробити висновок, що рівняння завжди матиме розв’язок. Більше того, якщо  , тобто  і  , дане рівняння матиме два корені; при цьому завжди є корінь, який задовольняє нерівність  . Приклад 9. Знайти значення параметра а, при якому рівняння  має лише один корінь.Розв’язання Якщо а = 2, то рівняння – лінійне (4 − 4)∙х + 3 = 0, що немає коренів. Якщо а ≠ 2, то рівняння квадратне і має один корінь лише тоді, коли D = 0.  .D = 0 при а1 = 2 и a2 = 5. Значення а = 2 не задовольняє умову задачі. Відповідь. а = 5. |
