1. Физические измерения и вычисление погрешностей A5. Лабораторная работа 1 Физические измерения и вычисление их погрешностей цель работы

• Название: Лабораторная работа 1 Физические измерения и вычисление их погрешностей цель работы
• Дата: 05.12.2019
• Размер: 0.64 Mb.
• Имя файла: 1. Физические измерения и вычисление погрешностей A5.pdf
• Тип: Лабораторная работа; #98758

ВСГУТУ. Кафедра «Физика».
№1. Физические измерения и вычисление их погрешностей
1 из 20
Лабораторная работа №1
Физические измерения
и вычисление их погрешностей
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Ознакомление с некоторыми методами физических измерений и вычис- ление погрешностей измерений на примере определения плотности твердого тела правильной формы.
ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
Металлический цилиндр, штангенциркуль, микрометр, весы.
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Физическое измерение – сравнение измеряемой величины с эталоном
(единицей измерения).
Измерения классифицируют по различным признакам. По способу полу- чения числового результата все измерения делят на прямые и косвенные.
Прямые измерения – измерения, результат которых получают непо- средственно с помощью меры или измерительного прибора:
A
x

Косвенные измерения – измерения, результат которых определяют на основе прямых измерений величин, связанных с измеряемой величиной некоторой зависимостью:
)
,
,
(
C
B
A
f
x

Например, к прямым измерениям относят измерение массы
m
на весах, измерение высоты цилиндра
h
или его диаметра
D
; к косвенным изме- рениям можно отнести измерение плотности твердого тела цилиндриче- ской формы:

ВСГУТУ. Кафедра «Физика».
№1. Физические измерения и вычисление их погрешностей
2 из 20
h
D
m
h
R
m
V
m
2 2
4








(1)
Измерения по области применения делят на технические и лаборатор-
ные. Технические измерения производят сравнительно грубыми прибора- ми без учета погрешностей; лабораторные измерения производят более точными приборами, при этом учитывают погрешности.
Точность измерений – характеристика, отражающая близость резуль- татов измерений к истинному значению измеряемой величины. Высокая точность измерений соответствует малым погрешностям результата.
Погрешность
Под погрешностью понимают разность между точным (истинным) зна- чением величины
ист
x
и ее приближенным (измеренным) значе- нием
измер
x
В физике точность измерений ставят в зависимость от цены деления шкалы или меры измерительного прибора. Под выражением "измерение произведено с точностью до сантиметра" понимают, что цена деления на шкале
см
1
и погрешность не превышает
см
1
Деление шкалы прибора – это промежуток между двумя соседними отметками штрихами шкалы.
Цена деления шкалы – это значение измеряемой величины, соответ- ствующее одному делению (2)
n
A
C

,
(2) где
A
– диапазон шкалы;
n
– число делений в данном диапазоне.

ВСГУТУ. Кафедра «Физика».
№1. Физические измерения и вычисление их погрешностей
3 из 20
Чем меньше цена деления на шкале прибора, тем меньше абсолютная погрешность результата измерения, однако между ценой деления и аб- солютной погрешностью нет численного равенства. Это объясняется тем, что точность измерения зависит не только от цены деления, но и от других причин.
Причины возникновения погрешностей:
1. непостоянство внешних условий;
2. неточность приборов измерения;
3. неполное соответствие объекта модели;
4. неточность метода измерений;
5. некорректные действия со стороны экспериментатора.
КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ
По форме представления
Абсолютная погрешность — понимают разность между точным (ис- тинным) значением величины
ист
x
и ее приближенным (измеренным) значением
измер
x
:
измер
ист
x
x
x



(3)

ВСГУТУ. Кафедра «Физика».
№1. Физические измерения и вычисление их погрешностей
4 из 20
Знак погрешности часто бывает несущественным. Поэтому за величину погрешности принимают модуль разности:
измер
ист
x
x
x



На практике истинное значение величины нам, как правило, не извест- но, поэтому вместо
ист
x
берут среднее значение величины
сред
x
(т.к., со- гласно математической статистике,
сред
x
наиболее близко к
ист
x
):
измер
сред
x
x
x



(4)
Абсолютная погрешность является оценкой абсолютной ошибки изме- рения, поэтому абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.
Абсолютную погрешность применяют для сравнения точности измере- ния величин одного порядка и одной размерности.
Например, значение силы тока в одной лампочке
A
5
,
0 1

, а в другой –
A
5
,
0 10

. Абсолютные погрешности обоих чисел одинаковы, однако очевидно, что погрешность
A
5
,
0
при значении силы тока
A
1
велика
(50% измеряемой величины), для силы тока
A
10
погрешность
A
5
,
0
со- ставляет лишь 5 %.
Точно так же бессмысленно ставить вопрос о том, какое измерение более точное: измерение длины с точностью до 1 см или измерение массы с точностью до 1 г.
Для сравнения точности любых приближенных величин применяют по- нятие относительной погрешности.
Относительная погрешность — погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерений
x

к истинному зна- чению
ист
x
измеряемой величины:

ВСГУТУ. Кафедра «Физика».
№1. Физические измерения и вычисление их погрешностей
5 из 20
ист
измер
ист
ист
x
x
x
x
x
x





Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо из- меряется в процентах. Поэтому относительная погрешность позволяет
сравнивать разнородные величины.
%
100



ист
x
x
x

(5)
На практике формула (5) переходит в (6):
%
100



сред
x
x
x

(6)
где
сред
x
– среднее значение величины.
Приведённая погрешность — погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому зна- чению величины, постоянному во всем диапазоне измерений или в ча- сти диапазона. Вычисляется по формуле
%
100



норм
x
x
x

где
норм
x
– нормирующее значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:
1. Если шкала прибора односторонняя, то есть нижний предел из- мерений равен нулю, то
норм
x
определяется равным верхнему пределу измерений;
2. Если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измерений прибора.

ВСГУТУ. Кафедра «Физика».
№1. Физические измерения и вычисление их погрешностей
6 из 20
Приведённая погрешность является безразмерной величиной, либо изме- ряется в процентах.
По причине возникновения
Инструментальные (приборные) погрешности— погрешности, кото- рые определяются погрешностями применяемых средств измерений и вызываются несовершенством принципа действия, неточностью градуи- ровки шкалы, ненаглядностью прибора.
Обобщённой характеристикой средств измерения является класс точно-
сти, определяемый предельными значениями допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими параметрами, влияю- щими на точность средств измерения; значение параметров установле- но стандартами на отдельные виды средств измерений.
Класс точности средств измерений характеризует их точностные свой- ства, но не является непосредственным показателем точности измере- ний, выполняемых с помощью этих средств, так как точность зависит также от метода измерений и условий их выполнения.
Методические погрешности — погрешности, обусловленные несовер- шенством метода, а также упрощениями, положенными в основу мето- дики.
Субъективные (операторные, личные) погрешности — погрешности, обусловленные степенью внимательности, сосредоточенности, подго- товленности и другими качествами оператора.
Одним из проявлений субъективных погрешностей можно отнести по-
грешность отсчета. Если стрелка-указатель совпала с каким-либо штрихом, то за отсчет принимают число, соответствующее этому штри- ху.

ВСГУТУ. Кафедра «Физика».
№1. Физические измерения и вычисление их погрешностей
7 из 20
Если стрелка остановилась в промежутке между штрихами, то за отсчет принимают тот числовой штрих, к которому стрелка ближе, например 8.
За отсчет может быть принята также середина интервала между штри- хами – 8,5.
Во всяком случае, возможная погрешность отсчета равна половине цены
деления.
Для секундомера карманного типа возможная погрешность равна не полцены деления, а всей цене деления, так как секундная стрелка дви-
жется по шкале от штриха к штриху скачками.
Невозможность остановки стрелки между штрихами и приводит к по- грешности, равной цене деления.
По характеру проявления
Случайная погрешность — погрешность, меняющаяся (по величине и по знаку) от измерения к измерению.
Случайная погрешность является невоспроизводимой ошибкой. Легко ви- деть, что влияние случайных ошибок на результат измерений может быть существенно уменьшено при многократном повторении опыта.
Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством прибо- ров (трение в механических приборах и т. п.), тряской в городских усло- виях, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления), с особен- ностями самой измеряемой величины (например при измерении коли- чества элементарных частиц, проходящих за единицу времени через счётчик Гейгера).
Систематическая погрешность — погрешность, изменяющаяся во вре- мени по определённому закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические

ВСГУТУ. Кафедра «Физика».
№1. Физические измерения и вычисление их погрешностей
8 из 20
погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т. п.), неучтёнными экспериментатором.
Грубая погрешность (промах) — погрешность, возникшая вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры (напри- мер, если экспериментатор неправильно прочёл номер деления на шка- ле прибора или если произошло замыкание в электрической цепи).
Погрешности косвенных величин
Как уже отмечалось, косвенным называется измерение, при котором значение физической величины находят на основании известной зави- симости между этой величиной и величинами, найденными в результате прямых измерений.
При косвенных измерениях искомая величина
Z
определяется зависимо- стью


3 2
1
,
,
A
A
A
f
Z

где
3 2
1
,
,
A
A
A
– прямо измеряемые величины, являющиеся аргумен- тами функции
Z
Обращаем внимание на то, что методы строгого анализа погрешности
косвенных измерений отличаются значительной сложностью, поэтому мы
используем упрощенный порядок расчета погрешностей.
Расчет погрешностей косвенной величины
Z
можно выполнить одним из двух способов.
Способ 1. Вначале определить абсолютную погрешность по формуле
2 3
2 3
2 2
2 2
2 1
2 1
A
A
Z
A
A
Z
A
A
Z
Z































(7) или, если не учитывать знак погрешностей величин
3 2
1
,
,
A
A
A

ВСГУТУ. Кафедра «Физика».
№1. Физические измерения и вычисление их погрешностей
9 из 20 3
3 2
2 1
1
A
A
Z
A
A
Z
A
A
Z
Z































(8) где
1
A
Z


,
2
A
Z


,
3
A
Z


– частные производные искомой функции
Z
Для расчета частных производных необходимо использовать измерен- ные значения прямых величин
3 2
1
,
,
A
A
A
3 3
2 2
1 1
,
,
A
A
A
A
A
A






Затем определить относительную погрешность по формуле
Z
Z
Z



Способ 2. Вначале определить относительную погрешность
2 3
2 3
2 2
2 2
2 1
2 1
ln ln ln
A
A
Z
A
A
Z
A
A
Z
Z
Z































(9) или, если не учитывать знак погрешностей величин
3 2
1
,
,
A
A
A
3 3
2 2
1 1
ln ln ln
A
A
Z
A
A
Z
A
A
Z
Z































(10)
Абсолютную погрешность вычислить по формуле
Z
Z
Z




Рассмотрим нахождение погрешностей по формуле (10) на примере определения относительной погрешности плотности
h
D
M
2 4




, т.е.


h
D
M
f
,
,



ВСГУТУ. Кафедра «Физика».
№1. Физические измерения и вычисление их погрешностей
10 из 20 1. Прологарифмируем формулу для

:
h
D
M
ln ln
2 4
ln ln





2. Продифференцируем:
h
dh
D
dD
M
dM
d



2


3. Формально заменим все «–» на «+»:
h
dh
D
dD
M
dM
d



2


4. Перейдем бесконечно малых приращений к конечным, получим ито- говую формулу относительной погрешности:
h
h
D
D
M
M







2


(11) где
h
D
M



,
,
– абсолютные погрешности прямых величин
h
D
M
,
,
, определяемых по (3), (4).
5. Найдем абсолютную погрешность







(12)
Суммарная погрешность измерения
На основе сказанного можно сделать вывод, что в простых, прямых лабо-
раторных измерениях можно оценивать следующие погрешности: ин- струментальную погрешность
инстр

, погрешность отсчета
отсчет

, а также случайную погрешность
случ

. Источники других погрешностей могут и должны быть исключены.

ВСГУТУ. Кафедра «Физика».
№1. Физические измерения и вычисление их погрешностей
11 из 20
Полная погрешность измерения равна сумме составляющих погрешно- стей (простые, прямые измерения):
случ
отсчет
инстр







При этом возможны следующие случаи:
1.
инстр



. Источников случайных погрешностей нет, а погрешность отсчета пренебрежимо мала по сравнению с инструментальной по- грешностью.
Инструментальная погрешность штангенциркуля равна точности из- мерения его нониуса, инструментальная погрешность штангенцирку- ля равна точности его нониуса, инструментальная погрешность мик- рометра равна точности измерения нониуса микрометра.
2.
отсчет



. Источников случайных погрешностей нет, а инструмен- тальная погрешность пренебрежимо мала по сравнению с погрешно- стью отсчета. С этим случаем встречаемся при измерении массы на весах.
3.
случ



. Случайная погрешность больше инструментальной и по- грешности отсчета. Результат измерения получен методом среднего арифметического.
Например, пять раз измерили длину пластинки микрометром и полу- чили:
мм
l
l
l
l
6
,
15 5
4 3
1




и
мм
l
5
,
15 2

мм
l
ср
58
,
15 5
5
,
15 4
6
,
15




В качестве погрешности принимают среднее отклонение отдельных результатов от среднего арифметического:

ВСГУТУ. Кафедра «Физика».
№1. Физические измерения и вычисление их погрешностей
12 из 20
мм
l
ср
03
,
0 5
16
,
0 5
08
,
0 4
02
,
0






, так как она превосходит инструментальную погрешность микромет- ра, равную 0,01 мм.
4.
0


Измерение проведено с нулевой погрешностью. В этом случае по- грешность измерения находится за пределами точности измерений.
Например, при измерении длины с точностью до 1 см погрешностью в 1 мм пренебрегают.
Измерение линейных размеров
Основным приборам для измерения длины служит масштабная линейка с нанесенными на ней делениями – обычно сантиметрами и миллимет- рами.
Для повышения точности измерения до десятых или сотых долей милли- метра масштаб снабжают дополнительным устройством, называемым
нониусом.
Применение нониуса основано на свойстве человеческого глаза точнее оценивать совпадение штрихов, нежели расстояние между несовпадаю- щими штрихами.
Нониус представляет собой маленькую линейку, укрепленную на мас- штабной линейке и свободно передвигающуюся вдоль нее (
рис.1
).
Нониус разбит по всей длине на некоторое число делений n с таким рас- четом, чтобы на такой же длине масштабной линейки укладывалось чис- ло делений на единицу меньше


1

n
(
рис. 1а, б
).
Поэтому линейный размер деления нониуса (цена деления) оказывается несколько меньше цены деления масштабной линейки.

ВСГУТУ. Кафедра «Физика».
№1. Физические измерения и вычисление их погрешностей
13 из 20
Рис.1.
Примеры нониусов
Разность между ценой деления масштабной линейки и ценой деления нониуса, которую мы можем фиксировать, называется точностью но-
ниуса.
Точность нониуса определяется следующим образом. Обозначим цену деления нониуса –
B
, цену деления масштаба –
C
, число делений нониу- са – n, тогда


1

n
число делений масштабной линейки, соответствующее всей длине нониуса. Тогда


C
n
B
n




1


n
C
n
B



1
Так как точность нониуса равна
B
C

, то


n
C
n
C
n
C
B
C






1
При достаточно мелких делениях масштаба деления нониуса делают бо- лее крупными (
рис.1б
). Тогда число делений нониуса n таково, что на

ВСГУТУ. Кафедра «Физика».
№1. Физические измерения и вычисление их погрешностей
14 из 20
такой же длине масштабной линейки укладывается


1 2

n
делений. При этом


B
n
C
n




1 2
;


n
C
n
B



1 2
Точность нониуса в этом случае равна


n
C
n
C
n
C
B
C






1 2
2 2
Другими словами, точность нониуса равна величине отношения цены де-
ления масштабной линейки к числу делений нониуса.
Рис. 2.
Штангенциркуль
Нониусами снабжаются штангенциркули, теодолиты и многие другие приборы.
Для измерения линейных размеров предмета с помощью штангенцир-
куля его зажимают между клювовидными выступами (
рис. 2
).

ВСГУТУ. Кафедра «Физика».
№1. Физические измерения и вычисление их погрешностей
15 из 20
Определение размеров с помощью нониуса
Сначала отсчитывают размер предмета в масштабных единицах по по- ложению нулевого деления нониуса относительно деления масштабной линейки, например 1,2 см (
рис. 3
).
Чтобы отсчитать доли, миллиметра, пользуются нониусом. Находят де- ление нониуса, совпадающее с каким-либо делением масштаба, и номер совпавшего деления нониуса – 7, точность нониуса – 0.1 мм, доли мил- лиметров, отсчитанные нониусом в этом случае – 0.7 мм.
Рис. 3.
Определение значений по нониусу
При точных измерениях расстояний нередко применяют микрометри-
ческие винты – винты с малым и очень точно выдержанным шагом.
Такие винты употребляются, например, в микрометрах (
рис.5
).
Один поворот винта микрометра передвигает его стержень на 0,5 мм.
Барабан, связанный со стержнем, разбит на 50 делений. Поворот на одно деление соответствует смещению стержня на 0,01 мм.

ВСГУТУ. Кафедра «Физика».
№1. Физические измерения и вычисление их погрешностей
16 из 20
Рис. 5.
Микрометр
С этой точностью обычно и производятся измерения с помощью мик-
рометра (
рис.5
).
Конструкция микрометра: внутри правой части рамки микрометра проходит микрометрический винт, который оканчивается выступом
d
На левой части рамки имеется неподвижный выступ
a
На внешней цилиндрической поверхности "хвоста" ролика, через кото- рый проходит винт, нанесены две шкалы сверху и снизу с делениями через 1 мм, но смещенными относительно друг друга на 0,5 мм.
На винт насажена муфта
b
, на скошенном краю которой по всей окруж- ности нанесена круговая шкала, разделенная на 50 делений.
Рис. 6.
Определение значений микрометра

ВСГУТУ. Кафедра «Физика».
№1. Физические измерения и вычисление их погрешностей
17 из 20
При вращении муфты выступ перемещается и смещается на 0,5 мм
при одном обороте. Когда выступы
a
и
d
сдвинуты вплотную, край муфты проходит через нуль линейной шкалы, а нуль шкалы муфты совпадает с горизонтальной чертой. Отношение шага винта 0,5 мм
к числу делений круговой шкалы 50 и есть точность микрометра
мм
01
,
0 50 5
,
0

(
рис. 6
)
Взвешивание тела
В случаях, когда не требуется высокой точности определения массы, пользуются техническими весами. Весы технические 2 класса не имеют шкалы.
Отсчет получают путем суммирования номинальных значений гирь, находящихся в чашке. Если при измерении массы достигнуто "точное" равновесие весов, то за результат отсчета принимают массу гирь в чаш- ке. Если равновесие весов не достигнуто, то это признак того, что отсут- ствуют гири мелкого номинала.
Например, при измерении массы на весах оказалось, что масса тела больше 65 г 270 мг, но меньше 65 г 300 мг. В этом случае измерение про- изведено с точностью до 30 мг. Абсолютная погрешность равна 15 мг.
Для определения погрешности при точном взвешивании на аналитиче- ских весах следует предварительно уравновесить весы гирями, добавля- ют к гирям еще 20–30 мг. При этом стрелка отклонится на несколько де- лений шкалы. Разделив добавочную нагрузку на число делений, находим чувствительность весов.
Погрешность взвешивания принимается равной половине чувствительно-
сти весов.

ВСГУТУ. Кафедра «Физика».
№1. Физические измерения и вычисление их погрешностей
18 из 20
ХОД РАБОТЫ
1. Измерить высоту цилиндра штангенциркулем. Проверить получен- ный результат повторными измерениями высоты при повороте ци- линдра вокруг оси. Оценить погрешность измерения высоты
h

по формуле (4).
2. Измерить диаметр цилиндра микрометром, также проверяя получен- ный результат. Оценить погрешность измерения диаметра
D

3. Взвесить цилиндр на технических весах. Оценить погрешность взве- шивания
m

4. Вычислить плотность цилиндра

по формуле (1).
5. Вычислить относительную и абсолютную погрешности по форму- лам (11) и (12).
6. Результаты измерений и значения погрешностей измерений занести в Таблицу.
Таблица
№
h
, м
h

, м
D
, м
D

, м
m
, кг
m

, кг

, кг/м
3






,
%


, кг/м
3 1
2 3
Сред
Все найденные величины должны быть выражены в единицах системы СИ.

ВСГУТУ. Кафедра «Физика».
№1. Физические измерения и вычисление их погрешностей
19 из 20
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называют измерением физической величины?
2. Виды измерений.
3. Что такое погрешность?
4. Виды погрешностей.
5. Причины возникновения погрешностей.
6. Правила пользования штангенциркулем и микрометром.
7. Что называется плотностью вещества?
8. В каких единицах она измеряется?