ЛаФизикаРаб2. Лабораторная работа 1. Исследование пассивных двухполюсников. Пассивные rcфильтры

• Название: Лабораторная работа 1. Исследование пассивных двухполюсников. Пассивные rcфильтры
• Анкор: HAVING 1=1 -
• Дата: 27.02.2023
• Размер: 0.63 Mb.
• Имя файла: ЛаФизикаРаб2.pdf
• Тип: Лабораторная работа; #958242

Лабораторная работа №1.
Исследование пассивных двухполюсников. Пассивные RC-фильтры.
Простейшими элементами электронных схем являются двухполюсники. Различают пассивные и активные двухполюсники.
Активные двухполюсники являются источниками энергии, например, источники тока и напряжения. График вольт-амперной характеристики пассивного двухполюсника всегда проходит через начало координат.
Пассивные двухполюсники бывают линейными и нелинейными. примером нелинейного двухполюсника является полупроводниковый диод. Резисторы, конденсаторы и индуктивности относятся к линейным двухполюсникам: их вольт-амперные характеристики представляют собой прямую линию (рис. 1).
( )
( )
R
R
U
t
R I
t
= 
( )
( )
d d
L
L
I
t
U
t
L
t
= 
( )
( )
d d
C
C
U
t
I
t
C
t
= 
Рис. 1. Вольт-амперные характеристики линейных двухполюсников
Вольт-амперная характеристика не отражает фазовых соотношений между током и напряжением на двухполюснике. Кроме этого из приведенных зависимостей видно, что индуктивное и емкостное сопротивления зависят от частоты. Зависимость фазы и модуля полного сопротивления электрическому току Z рассматриваемых двухполюсников от угловой частоты ω прикладываемого синусоидального напряжения приведены на рис. 2.
Если собрать делитель напряжения из пары пассивных двухполюсников разного типа, например, из резистора и конденсатора, то возникает цепь, называемая «пассивный четырехполюсник» (рис. 3).
Очевидно, что выходное напряжение
( )
2
U
t на рис. 3 (а и б) должно зависеть от частоты входного напряжения
( )
1
U t в результате изменения емкостного сопротивления конденсатора. Фаза выходного напряжения при изменении частоты также не останется неизменной, так как вклад в полное сопротивление со стороны компонента (конденсатора), у которого имеется

фазовый сдвиг между током и напряжением, будет разным для разных частот.
Рис. 2. Частотные зависимости модуля импеданса Z, фазового сдвига ϕ между током и напряжением, векторная диаграмма Френеля и осциллограммы тока и напряжения: а – на резисторе; б – индуктивности; в – конденсаторе.

Рис. 3. Четырехполюсник: а – фильтр нижних частот; б – фильтр верхних частот; в – обобщенное изображение
Итак, если на входе условного четырехполюсника действует гармонический сигнал с зависимой от частоты фазой:
( )
( )
(
)
1 1
1
sin
m
U t
U
t

 
=

 +
,
(1) то в результате линейности элементов, образующих четырехполюсник, выходной сигнал останется синусоидальным, но будет иметь другую амплитуду и дополнительный, зависимый от частоты, фазовый сдвиг:
( )
( )
( )
(
)
2 2
1 2
sin
m
U t
U
t

   
=

 +
+
(2)
Комплексная передаточная функция, учитывающая амплитудные и фазовые соотношения между входными и выходными сигналами, имеет вид
(
)
2 1
/
K j
U
U


=
(3)
Эта функция всегда может быть сведена к виду
(
)
( )
( )
(
)
exp
K j
K
j


 

=


,
(4) где
( )
K

– модуль комплексного числа.
( )
K

является коэффициентом передачи четырехполюсника по напряжению и представляет собой частотную зависимость отношения амплитуд
2
m
U
к
1
m
U
. Эта зависимость называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). Зависимость фазового сдвига выходного сигнала от частоты называется фазочастотной характеристикой
(ФЧХ) четырехполюсника.
Из правил перемножения экспоненциальных зависимостей вытекают два важных свойства последовательных соединений двух и более четырехполюсников
– результирующая
АЧХ получается путем

перемножения АЧХ отдельных четырехполюсников, а результирующая ФЧХ образуется сложением ФЧХ последовательных четырехполюсников:
( )
( )
( )
( )
1 1
n
K
K
K
K




=

 
,
(5)
( )
( )
( )
( )
1 2
n
 
   
 
=
+
+ +
(6)
Вместо экспоненциальной формы записи выражение (4) может быть представлено в другой форме:
(
)
( )
K j
A
j B



= + 
,
(7) где A и B – вещественная и мнимая части комплексного числа.
Модуль передаточной функции, записанной в форме (7), так же как и для формы записи (4) является коэффициентом передачи по напряжению
( )
K

:
( )
( )
2 2
K
A
B


=
+
(8)
Зависимый от частоты фазовый сдвиг
( )
 
, или ФЧХ, вычисляется из
(7) по формуле:
( )
( )
arctg
B
A

 


=




(9)
Для того чтобы далее производить расчеты фильтров, вспомним основные правила действий с комплексными числами:
• если дано z a j b
= +  , то сопряженное ему комплексное число определяется как z
a
j b
= −  ;
• результат умножения числа на его комплексно сопряженное равен квадрату модуля этого числа, то есть
2 2
z z
a
b
 =
+ ;
• если
1 1
1
z
a
j b
= + 
и
2 2
2
z
a
j b
=
+ 
, то
(
)
(
)
1 2
1 2
1 2
z
z
a
a
j
b
b
+
=
+
+ 
+
;
(
)
(
)
1 2
1 2
1 2
1 2
2 1
z z
a a
b b
j
a b
a b
 =
 − 
+ 
 + 
;
• для получения отношения
1 2
z z
в форме a
j b
+  достаточно умножить числитель и знаменатель на
2
z
Рассмотрим пример расчета АЧХ и ФЧХ простейшего RC-фильтра нижних частот (рис. 3, а). Данный фильтр является делителем напряжения, к которому не подключена никакая нагрузка. Выходное напряжение
2
U
представляет собой в данной схеме падение напряжения на конденсаторе
C
и поэтому зависит от частоты.
Согласно закону Ома, ток в данной цепи определяется выражением
1
I
U Z
=
, где Z – полное сопротивление (импеданс) цепи для входного синусоидального напряжения:

1 1
Z
R
R
j
j
C
C


= +
= −
 

(10)
Выходное напряжение
2
U
равно произведению тока на емкостное сопротивление:
1 2
1 1
1
U
U
I
j
j
C
C
R
j
C







=
− 
=
 − 










− 

(11)
С учетом (11) комплексная передаточная функция рассматриваемого фильтра примет вид
(
)
2 1
1 1
1 1
j
U
C
K j
U
j R
C
R
j
C




− 


=
=
=
+   
− 

(12)
Произведение
R C

выражается в секундах, тогда единицей измерения
(
)
1 R C

, как и для угловой частоты, будет секунда в минус первой степени.
Обозначим
0 1
R C

=
 и подставим в формулу (12), умножив числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателя:
(
)
0 2
2 0
1 1
j
K j





− 

=
+
(13)
Из (13) можно найти АЧХ, как модуль данного выражения по формуле
(8), и ФЧХ, как арктангенс отношения аргументов мнимой и вещественной частей по формуле (9):
( )
2 2
0 2
2 2
2 0
0 1
1 1
1
K







+
=
=
+
+
,
(14)
( )
0
arctg

 



−
=




(15)
Графическое представление полученных амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик дано на рис. 4 и рис. 5.

Рис. 4. АЧХ однозвенного RC-фильтра нижних частот
Угловая частота, при которой коэффициент передачи по напряжению уменьшается в
1 2
раз (уровень 0,707) по сравнению с максимальным значением коэффициента передачи фильтра, называется граничной частотой или частотой среза
ГР
 . В данном случае
0 1
ГР
R C


=
=
 . На этой частоте сдвиг фазы составляет -45°.
Рис. 5. ФЧХ однозвенного RC-фильтра нижних частот
Итак, фильтр нижних частот (ФНЧ) пропускает только низкочастотные сигналы, обычно от постоянной составляющей до частоты среза. Фильтр верхних частот (ФВЧ), напротив, должен подавлять в спектре сигнала все частоты от нуля до частоты среза, а пропускать частоты выше частоты среза.
Аналогично приведенному примеру расчета однозвенного фильтра нижних частот могут быть рассчитаны АЧХ и ФЧХ фильтра верхних частот (рис. 3, б). Комплексное сопротивление ФВЧ, на которое нагружен источник
1
U
, по- прежнему определяется через (10). Ток, протекающий через это сопротивление, вызывает падение напряжения на резисторе R , которое совпадает с выходным комплексным напряжением ФВЧ –
2
U
. Тогда:

1 2
1
U
U
I R
R
R
j
C

=  =

− 

(16)
Подставим в выражение
(
)
2 1
K j
U
U


=
частоту
(
)
0 1 R C

=

, разделим числитель и знаменатель выражения на R , умножим на комплексно-сопряженное знаменателя, и получим:
(
)
0 2
0 2
0 1
1 1
1 1
j
R
K j
R
j
j
C








+ 

=
=
=
− 
− 
+

(17)
Согласно формулам (8) и (9) составим выражения для АЧХ и ФЧХ
ФВЧ:
( )
2 0
2 2
2 0
0 2
2 1
1 1
1
K







+
=
=
+
+
,
(18)
( )
0
arctg

 



=




(19)
Графики АЧХ и ФЧХ для ФВЧ показаны на рис. 6 и рис. 7.
Рис. 6. АЧХ однозвенного RC-фильтра верхних частот

Рис. 7. ФЧХ однозвенного RC-фильтра верхних частот
В отличие от теоретической электротехники и математики, в практической схемотехнике угловую частоту
0
 обозначающую угловую скорость вращения вектора [рад/с], заменяют на частоту вращения вектора
0
f
, выраженную в Герцах (1Гц = 1об/с). Связь между  , f и периодом вращения вектора (T ) устанавливается следующими выражениями:
2
f


=   ;
1
T
f
=
Шкала частот  или f в графическом изображении АЧХ и ФЧХ фильтров практически всегда приводится в логарифмическом масштабе, т.е. через равные интервалы откладываются частоты … 0,01; 0,1; 1; 10; 100 Гц … и т.д., либо … 0,01 0
f
, 0,1 0
f
, 1 0
f
, 10 0
f
, 100 0
f
, … , где
0
f
– частота среза для ФНЧ и ФВЧ. Для полосового фильтра – более сложной схемы, ослабляющей напряжение в определенном диапазоне частот (полосно- запирающий фильтр) или наоборот, за его пределами (полосно- пропускающий) – ключевую величину
0
f
называют центральной частотой.
Масштаб шкалы коэффициента передачи фильтра
( )
K

или
( )
K f может быть установлен в децибелах [дБ]:
( )
2 2
10 1
1 20 log
20 lg
дБ
U
U
K
U
U





=

=









,
(20) где
2
U
и
1
U
– соответственно, выходное и входное напряжения четырехполюсника для выбранной частоты  или f .
Результирующий коэффициент передачи
( )
дБ
K

для каскадного включения четырехполюсников, с учетом правил работы с логарифмами, в отличие от выражения (5), представляется суммой
( )
i
дБ
K
 отдельных четырехполюсников. Уровень 0,707, для которого устанавливаются граничные частоты фильтров (частота среза), соответствует в этом случае

величине
( )
20 lg 1 2
3дБ
− 
 −
Форма представления
АЧХ с логарифмическим масштабом по шкале частот и с коэффициентом передачи, выраженным в децибелах, называется диаграммой Боде (см. рис. 8). Как видно из рис. 8, а, логарифмический масштаб дает линейный спад
(затухание) коэффициента передачи ФНЧ на частотах, больших
0
f
(и наоборот для ФВЧ, см. рис. 8, б). Крутизна этого затухания для однозвенного фильтра составляет 20 дБ на декаду. Изменение частоты на одну декаду соответствует ее изменению в 10 раз.
Рис. 8. АЧХ и ФЧХ в представлении Боде для ФНЧ (а) и ФВЧ (б)
Комбинации фильтров верхних и нижних частот позволяют создавать полосовые фильтры, с помощью которых из всего спектра частот пропускается только определенная область частот (полоса). Схемы простейших полосовых фильтров приведены на рис. 9.
Рис. 9. Простейшие полосовые фильтры: а – двухзвенный RC; б – фильтр
Вина

Рассчитаем передаточную функцию обоих полосовых фильтров и затем
– их АЧХ и ФЧХ.
Двухзвенный RC-фильтр фактически представляет собой ФНЧ и ФВЧ, для которых передаточные функции известны, включенные последовательно.
Однако использовать уже полученные соотношения для
(
)
K j


и просто перемножить их нельзя, т.к. это не учтет того, что первый фильтр, обладая ненулевым выходным сопротивлением, нагружен на конечное входное сопротивление второго фильтра.
Для поиска формулы передаточной функции двухзвенного RC-фильтра его удобно преобразовать, как показано на рис. 10, заменив цепь из двух конденсаторов и одного резистора на полное сопротивление этой цепи, обозначенное как X .
Источник напряжения
1
U
оказывается нагруженным на последовательно включенные сопротивления R и X . Они формируют делитель с выходным напряжением
3
U
Рис. 10. К анализу двухзвенного RC-фильтра.
Рассматривая для краткости записи полученную цепь R-X как простейшую цепь постоянного тока, можно применить формулу делителя напряжения.
Как известно, для делителя напряжения
(
)
ВЫХ
ВХ
Н
В
Н
U
U
R
R
R
=

+
, где
В
R
и
Н
R
– верхние и нижние плечи делителя, соответственно. Тогда:
(
)
3 1
U
U
X
R
X
=

+
(21)
В то же время, выходное напряжение фильтра
2
U
равно падению напряжения на правом резисторе R (см. на рис. 9, а). Напряжение
2
U
формируется делителем, состоящим из конденсатора и резистора, которые входят в состав цепи X . Если обозначить импеданс конденсатора
C
как
1
Z
j
C

= − 

, для этого делителя справедливо следующее соотношение:
(
)
2 3
U
U
R R
Z
=

+
(22)

Если подставить в выражение для
2 1
U
K
U
=
соотношение (22) и затем
(21), то:
(
) (
) (
) (
)
3 1
1 1
R
U
U R X
R X
R
Z
K
U
U
R
Z
R
X
R
Z
R
X

 

+
=
=
=

+

+
+

+
(23)
Выведем формулу для сопротивления X , состоящего из трех компонентов. Параллельно конденсатору
С
с импедансом
Z включается последовательная цепь из такого же конденсатора и резистора R , импеданс которой равен
(
)
R
Z
+
. Согласно соотношению для параллельного включения сопротивлений,
(
)
1 2
1 2
СУММ
R
R R
R
R
=

+
, то есть
(
)
(
)
(
)
2
Z
R
Z
Z
R
Z
X
Z
R
Z
R
Z

+

+
=
=
+
+
+ 
(24)
Вернемся к соотношению (23), подставив в него выражение для сопротивления X :
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
2 2
2 2
2 2
2 2
3 2
Z
R
Z
R
R Z
R
Z
K
Z
R
Z
Z
R
Z
R
Z
R
R
R
Z
R
Z
R
Z
R Z
R Z
R
Z
Z R
R
Z R
Z R
Z

+


+ 
=
=
=

+

+

 

+

+
+

+ 

 

+ 
+ 

 



=
=
+
+  
+   +  +
(25)
Запомним это соотношение и выполним похожие действия для анализа передаточной функции фильтра Вина (рис. 9, б).
По аналогии представим полное сопротивление конденсаторов
C
как
1
Z
j
C

= −

и запишем выражение для передаточной функции фильтра Вина как формулу делителя напряжения. Входным напряжением для делителя является напряжение
1
U
, выходным –
2
U
. Верхнее плечо делителя формируется последовательно включенным резистором и конденсатором
(
)
R
Z
+
, а нижнее – параллельным включением таких же элементов
R Z
R
Z





+


Тогда из формулы делителя напряжения получим:

(
)
(
)
(
)
2 1
2 2
2 2
3 2
R Z
U
R Z
R
Z
K
R Z
R Z
U
R
Z
R
Z
R
Z
R
Z
R
Z
R Z
R Z
R
Z
RZ
R
Z
RZ
RZ
R
Z
R
Z






+


=
=
=
=



 

+
+
+ +

+

 

+
+

 



=
=
+
+


+
+
+

+


+


(26)
Как видно, выражение для передаточной функции фильтра Вина (26) и ранее полученное выражение для передаточной функции двухзвенного RC- фильтра (25) в точности совпадают. Это значит, что АЧХ и ФЧХ этих фильтров тождественны и осталось лишь получить для них формулы согласно соотношениям (8) и (9). Перед этим, однако, следует поставить вместо величины Z формулу для полного сопротивления конденсатора и сделать ряд преобразований. Не стоит забывать, что передаточная функция обоих фильтров – комплексная, и полная ее запись выглядит как
( )
K
 .
Поскольку
1
Z
j
C

= −

, то
2 2
2 1
Z
C

= −
и
( )
2 2
2 1
3
R
j
C
K j
R
R
j
C
C




−

=
−
−


(27)
Разделим полученное выражение на величину
2
R :
( )
2 2
2 1
1 1
1 3
j
R C
K j
j
R
C
R C




−
 
=
−
−


 
(28)
Обозначим
0 1 (
)
R C


=
и подставим
0
 в (28), после чего умножим числитель и знаменатель дроби на комплексно сопряженное знаменателя:
( )
0 0
2 2
0 0
0 0
2 2
2 0
0 0
2 2
2 0
0 0
0 2
2 1
3 1
3 1
3 1
3 1
3
j
j
K j
j
j
j
j
j
j



























−
=
=
=
−
−
− +
+


 − +
−




=

 

− +
+
 − +
−

 


 

(29)
С учетом алгебраической формулы для квадрата разности и правил перемножения сопряженных комплексных чисел, получим:

( )
3 2
3 2
0 0
0 0
0 0
3 2
3 2
4 2
4 2
2 0
0 0
0 0
4 2
4 2
2 3
3 1 7 1 2 9
j
j
j
j
K j























−
+
+
−
+
+
=
=


+ + 
+ −
+




(30)
Для более краткой записи умножим числитель и знаменатель полученной дроби на
2 2
0


и сделаем еще одно элементарное преобразование формулы:
( )
0 0
2 2
0 2
2 0
3 7
j
K j


 







+
−




=
+
+
(31)
Полученное выражение для передаточной функции обоих полосовых фильтров является достаточно кратким и позволяет записать формулы для
АЧХ и ФЧХ фильтров с учетом (8) и (9):
( )
0 0
arctg
3


 
 


−




=






,
(32)
( )
2 0
0 2
2 0
2 2
0 9
7
K


 







+
−




=
+
+
(33)
Построив обе полученных зависимости в логарифмических осях, можно получить графики, показанные на рис. 11.

Рис. 11. АЧХ и ФЧХ фильтра Вина и двухзвенного полосового RC-фильтра в представлении Боде
АЧХ полосового фильтра характеризуется центральной полосой пропускания
0
f
, верхней и нижней граничными частотами пропускания
В
f
и
Н
f
(см. рис. 12).
(
)
MAX
K f
для обоих рассмотренных полосовых фильтров составляет
1 3
Рис. 12. К определению центральной, нижней и верхней частот полосового фильтра
Обратите внимание на особенности осей координат, в которых принято изображать АЧХ и ФЧХ. Так, ось Y на АЧХ может быть как линейной
(«разы»), так и логарифмической (дБ). Линейный масштаб удобнее для небольшого диапазона значений АЧХ, логарифмический –для значительного.
Ось частоты обычно логарифмическая. Значения ФЧХ откладываются либо в градусах, либо в радианах.

Задание на лабораторную работу
1. В программе Mathcad рассчитайте значения сопротивлений и емкостей, так чтобы граничная и центральная частоты фильтра удовлетворяли исходным данным, заданным в таблице 1.
Постройте графики АЧХ и ФЧХ указанных фильтров. Обозначьте на графиках значения граничной и центральной частот, а также значения амплитуды и фазы на граничной и центральной частоте.
2. В программе Microcap 12 cоберите схемы однозвенного фильтра (ВЧ или НЧ) и полосового фильтра. Проведите АС-анализ построенных схем фильтров и сохраните графики АЧХ и ФЧХ каждого из фильтров.
Обозначьте на графиках значения граничной и центральной частот, а также значения амплитуды и фазы на граничной и центральной частоте.
3. Отчет по лабораторной работе должен содержать подробный расчет указанных фильтров. Построенную схему в программе Microcap 12.
Графики АЧХ и ФЧХ указанных фильтров, полученные в результате расчетов в Mathcad и при моделировании в Microcap 12.
Таблица 1.
№ бригады Однозвенный фильтр
Полосовой фильтр
1
ФВЧ:
100
ГР
f
МГц
=
RC:
0 1
f
МГц
=
2
ФВЧ:
90
ГР
f
МГц
=
Фильтр Вина:
0 5
f
МГц
=
3
ФНЧ:
80
ГР
f
МГц
=
RC:
0 10
f
МГц
=
4
ФНЧ:
70
ГР
f
МГц
=
Фильтр Вина:
0 20
f
МГц
=
5
ФВЧ:
60
ГР
f
МГц
=
RC:
0 30
f
МГц
=
6
ФНЧ:
50
ГР
f
МГц
=
Фильтр Вина:
0 40
f
МГц
=
7
ФВЧ:
40
ГР
f
МГц
=
RC:
0 50
f
МГц
=
8
ФНЧ:
30
ГР
f
МГц
=
Фильтр Вина:
0 60
f
МГц
=
9
ФВЧ:
20
ГР
f
МГц
=
RC:
0 70
f
МГц
=
10
ФНЧ:
10
ГР
f
МГц
=
Фильтр Вина:
0 80
f
МГц
=
11
ФВЧ:
5
ГР
f
МГц
=
RC:
0 90
f
МГц
=
12
ФНЧ:
1
ГР
f
МГц
=
Фильтр Вина:
0 100
f
МГц
=