Лабораторная работа по статистике Построение вариационных рядов. ЛР1Статистика. Лабораторная работа 1 Построение вариационных рядов. Расчет числовых характеристик Иркутск 2022 Лабораторная работа 1

• Название: Лабораторная работа 1 Построение вариационных рядов. Расчет числовых характеристик Иркутск 2022 Лабораторная работа 1
• Анкор: Лабораторная работа по статистике Построение вариационных рядов
• Дата: 04.02.2022
• Размер: 78.07 Kb.
• Имя файла: ЛР1Статистика.docx
• Тип: Лабораторная работа; #351446

Министерство науки и образования Российской Федерации

ИРКУТСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт Заочно-вечернего обучения

МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Лабораторная работа №1

«Построение вариационных рядов. Расчет числовых характеристик»

Выполнил:

Иркутск 2022

Лабораторная работа №1.

Построение вариационных рядов. Расчет числовых характеристик

Цель работы: овладение способами построения рядов распределения и методами расчета числовых характеристик.

Вариант № 2.

Имеются данные о пропускной способности 50 участков эталонного газопровода (м3 /сут.):

19,8 19,1 19,3 18,8 20,2 20,8 20,7 19,7 19,6 19,2 20,9 20,9 20,2

19,6 20,4 20,4 20,2 20,4 18,9 19,7 19,8 20,6 20,7 19,7 20,3 19,8

20,4 20,3 20,6 20,5 20,4 20,5 20,3 20,5 20,2 20,5 20,7 21,0 20,4

20,8 20,5 20,4 20,6 21,0 20,4 20,4 20,3 19,7 19,9 20,1

1. 
   Построение рядов распределения (интервального и дискретного вариационных рядов).
   

Вариационным рядом (или статистическим распределением) называется ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариант с соответствующими им частотами (весами).

Различают дискретные и непрерывные вариационные ряды.

Дискретной называют такую случайную величину, которая принимает конечное или бесконечное счетное множество значений.

Таблица №1. Дискретный вариационный ряд

Вар. Х	18,8	18,9	19,1	19,2	19,3	19,6	19,7	19,8	19,9	20,1	20,2	20,3	20,4	20,5	20,6	20,7	20,8	20,9	21
Част. N	1	1	1	1	1	2	4	3	1	1	4	4	9	5	3	3	2	2	2

Рис.1. График дискретного вариационного ряда.



Непрерывной называют такую случайную величину, которая принимает любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала.

• 
  Рассчитывая размах варьирования признака по формуле R = x_max – x_min= 21-18,8=2,2;
  
• 
  Число интервалов вариационного рассчитываю по формуле: k= , где n-объем выборки; k= =7;
  
• 
  Рассчитываю длину h частичных интервалов по формуле h=R/k=2,2/7=0,3
  

Таблица №2. Интервальный вариационный ряд.

Вар. Х	18,8-19,1	19,1-19,4	19,4-19,7	19,7-20	20-20,3	20,3-20,6	20,6-20,9	20,9-21,2
Част. N	2	3	2	8	5	18	8	4

Рис.2. График интервального вариационного ряда.

2. 
   Записываем дискретный вариационный ряд (табл. 3). В качестве вариант x_i берем середины интервалов интервального вариационного ряда.
   

Таблица №3. Дискретный вариационный ряд.

Вар. Х	18,9	19,2	19,5	19,8	20,1	20,4	20,7	20,95
Част. N	2	3	2	8	5	18	8	4

Рис.3. Гистограмма и полигон к табл.№3.

2. 
   Строим график накопленных частот — кумуляту (рис. 4)
   

Предварительно составляем расчеты: относительные частоты, w_i = N_i/n и накопительные относительные частоты, W_i =W_{i – 1}+w_i; n=50

Таблица №4. Данные накопительных частот.

Вар. х	18,9	19,2	19,5	19,8	20,1	20,4	20,7	20,95
Част.wi	0,04	0,06	0,04	0,16	0,1	0,36	0,16	0,08
Отн. Ч Wi-1+ wi	0,04	0,1	0,14	0,3	0,4	0,76	0,92	1

Рис.4. Кумулятивная кривая

3. 
   Находим эмпирическую функцию распределения.
   

Воспользуемся формулой: F_в (x) = где n — объем выборки, n_x — число вариант , меньших х.

Таблица №5. Таблица распределения выборки.

Вар. Х	До 18,8	18,8-19,1	19,1-19,4	19,4-19,7	19,7-20	20-20,3	20,3-20,6	20,6-20,9	20,9-21,2
Част. N	2	2	3	2	8	5	18	8	4
F(50)	0	0,04	0,1	0,14	0,3	0,4	0,76	0,92	1

Таблица №6. Эмпирическая функция распределения

F(x)	х=18,8	0
	18,8	0,04
	19,1	0,1
	19,4	0,14
	19,7	0,3
	20	0,4
	20,3	0,76
	20,6	0,92
	20,9	1

Рис. 5. График эмпирической функции распределения

4. 
   Вычислить по дискретному и интервальному вариационным рядам и сравнить полученные значения с значениями моды и медианы, вычисленными при помощи функции Excel: а) моду б) медиану.
   

Мода – это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается в данной совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту.

Медианой называется такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда, т.е. в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значение признака больше медианы, другая – меньше медианы.

Для дискретного ряда: 

• 
  модой является значение варьирующего признака, обладающего наибольшей частотой, в данном примере варианта 20,4 встречается наибольшее количество раз (9). Следовательно, модой будет участок с пропускной способностью 20,4 м³/сут.;
  
• 
  для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот, сначала исчисляется полусумма частот, а затем определяется какое значение варьирующего признака ей соответствует: 50/2=25, если суммировать частоты с 1по 12 варианту получим число 24, 24<25, если рассмотрим сумму с 1го по 13ю, получаем 33 т.к 33>25, то медиана равно числам между 24 и 33. Следовательно, медианой будет участок с пропускной способностью 20,4 м³/сут.
  

Для интервального ряда:

• 
  Для интервального ряда сначала определяется модальный интервал (т.е. содержащий моду), в случае интервального распределения с равными интервалами определяется по наибольшей частоте; с неравными интервалами – по наибольшей плотности, а определение моды требует проведения расчетов на основе следующих формул:
  

М_о = Х_Мо + i_Мо *(f_Мо – f_Мо-1 )/((f_Мо – f_Мо-1 ) + (f_Мо – f_Мо+1 )),

где Х_Мо – минимальная граница модального интервала;

i_Мо – величина модального интервала;

f_Мо – частота модального интервала;

f_Мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f_Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Получаем: М_о=20,3+0,3*(18-5)/(18-5)*(18-8)=20,33 м³/сут.

• 
  Для нахождения медианы в интервальном вариационном ряду определяем сначала интервал, в котором она находится (медианный интервал). Таким интервалом будет такой, комулятивная частота которого равна или превышает половину суммы частот. Комулятивные частоты образуются путем постепенного суммирования частот, начиная от интервала с наименьшим значением признака. Половина суммы частот у нас равна 25 (50:2). Следовательно, согласно таблицы 7 медианным интервалом будет интервал со значением от 20,3 м³/сут. до 20,6 м³/сут.
  

До этого интервала сумма накопленных частот составила 20. Следовательно, чтобы получить значение медианы, необходимо прибавить еще 5 единиц (25 – 20).

Таблица 7. Расчет медианы в интервальном вариационном ряду.

Вар. Х	18,8-19,1	19,1-19,4	19,4-19,7	19,7-20	20-20,3	20,3-20,6	20,6-20,9	20,9-21,2
Част. N	2	3	2	8	5	18	8	4
Ком.част.	2	5	7	15	20	38	46	50

При определении значения медианы предполагают, что значение единиц в границах интервала распределяется равномерно. Следовательно, если 18 единиц, находящихся в этом интервале, распределяются равномерно в интервале, равном 0,3, то 5 единицам будет соответствовать следующая его величина: 0,3 * 5/18 = 0,6

Прибавив полученную величину к минимальной границе медианного интервала, получим искомое значение медианы:

М_е = 20,3 +0,6 = 20,9 м³/сут.

Формула исчисления медианы для интервального вариационного ряда имеет следующий вид:

М_е = Х_Ме + i_Ме * (∑f/2 – S_Ме-1 )/f_Ме, где

Х_Ме – начальное значение медианного интервала;

i_Ме – величина медианного интервала;

∑f – сумма частот ряда (численность ряда);

S_Ме-1 – сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;

Подставляя в эту формулу значения из примера, приведенного выше, получим значение медианы:

М_е = 20,3 + 0,3 * (50/2 – 20)/18 = 20,38 м³/сут.

Сделав расчеты моды и медианы для дискретного и интервального рядов в программе Excel получаем: мода дискретного ряда, рассчитанная нами равна 20,4 м³/сут. мода рассчитанная программой тоже равна 20,4 м³/сут.; для интервального ряда мода рассчитанная нами равна 20,33 м³/сут. с помощью программы Excel 20,4 м³/сут. Медиана для дискретного ряда рассчитанная самостоятельно равна 20,4 м³/сут. в программе Excel медиана дискретного ряда равна 20,1 м³/сут. для интервального ряда расчеты проведенные самостоятельно и расчеты при помощи программы соответственно равны 20,38 м³/сут. и 20,4 м³/сут.

Таким образом, после сравнения результатов можно сказать, что разницу в расчетах можно объяснить погрешность в округлениях результатов.

5. 
   Вычислить числовые характеристики:  выборочную среднюю; выборочную дисперсию; выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, асимметрию, эксцесс по дискретному вариационному ряду и оценить погрешность вычислений характеристик, используя соответствующие функции   Excel.
   

• 
  Выборочная средняя: x_ср=  = ((18.8+18.9+19.1+19.2+19.3+19.9+20.1)*1+(19.6+20.8+20.9+21)*2+(19.8+20.6+20.7)*3+(19.7+20.6+20.7)*4+205*5+20.4*9)/50=20.20
  

используя соответствующие функции   Excel выборочная средняя равна 20,2.

Погрешность вычислений составила 0%.

• 
  Выборочная дисперсия: D_в= -x_ср²
  

= ((18.8²+18.9²+19.1²+19.2²+19.3²+19.9²+20.1²)*1+(19.6²+20.8²+20.9²+21²)*2+ +(19.8²+20.6²+20.7²)*3+(19.7²+20.6²+20.7²)*4+20,5²*5+20.4²*9)/50=408,4

D_в=408,4-20,2²=0,36

используя соответствующие функции   Excel выборочная дисперсия 0,29.

Погрешность вычислений составила *100%=0,2%

• 
  Выборочное среднее квадратическое отклонение: = =0,6
  

Используя в Excel функцию =КОРЕНЬ(СРЗНАЧ) выборочное среднее квадратическое отклонение 0,54.

Погрешность вычислений составила δ=(0,54-0,6)/0,54*100%=0,1%

• 
   Коэффициент вариации:V= =
  

=0,02

используя в Excel функцию =СТАНДОТКЛОН.Г /СРЗНАЧ коэффициент вариации составил 0,03%

Погрешность вычислений составила δ=(0,03-0,02)/0,03*100%=0,3%

• 
  Асимметрия: А_в= , m_З= ³*n_i
  

m₃= *(18.8-20.2)³+(18.9-20.20)³+(19.1-20.20)³+(19.2-20.20)³+(19.3-20.20)³+(19.9+20.20)³+(20.1-20.2)³+(19.6-20.20)³*2+(20.8-20.2)³*2+(20.9-20.2)³*2+(21-20.2)³*2+(19.8-20.2)³*3+(20.6-20.2)³*3+(20.7-20.2)³*3+(19.7-20.20)³*4+(20.6-20.2)³*4+(20.7-20.2)³*4+(20.5-20.2)³*5=0,02

А_в=0,02/0,6³=0.093

используя в Excel функцию =СКОС асимметрия составила -0,9

Погрешность вычислений составила δ=(0,9-0,093)/0,9*100%=0,9%

• 
  Эксцесс: Е_В== , m₄= ⁴*n_i
  

m₄= *(18.8-20.2)⁴+(18.9-20.20)⁴+(19.1-20.20)⁴+(19.2-20.20)⁴+(19.3-20.20)⁴+(19.9+20.20)⁴+(20.1-20.2)⁴+(19.6-20.20)⁴*2+(20.8-20.2)⁴*2+(20.9-20.2)⁴*2+(21-20.2)⁴*2+(19.8-20.2)⁴*3+(20.6-20.2)⁴*3+(20.7-20.2)⁴*3+(19.7-20.20)⁴*4+(20.6-20.2)⁴*4+(20.7-20.2)⁴*4+(20.5-20.2)⁴*5=0.24

Е_в=(0,24/0,6⁴)-3=-1,1

используя в Excel функцию =ЭКСЦЕСС получаем 0,27

Погрешность вычислений составила δ=(0,27-(-1,1))/0,27*100%=5%

6. 
   Оценка генеральной средней и генерального среднеквадратического отклонения
   

Оценку генеральной средней F(х)=а и генерального среднеквадратического отклонения по выборочным статистикам и , используя теорию доверительных интервалов для нормального распределения.

Доверительный интервал для истинного значения количества деталей с надежностью :



S= =0.67

Согласно приложению находим t_y при y=0.95 и известном количестве

n =50. t_{γ =} 2,009

Записываем доверительный интервал:

20.2- *2.009< a <20.2+ *2.009

20.1 < a < 20.3

Таким образом, средняя пропускной способности по данным выборки должна находиться в промежутке:(20,1:20,3)

Запишем доверительный интервал для генерального среднеквадратического отклонения δ=S. При заданных y=0.95 и n=50 по таблице приложения q = 0,21

Так как q<1 , то доверительный интервал записываем в виде:



0.67 ∙ ( 1 ‒ 0,21 ) < σ < 0.67 ∙ ( 1 + 0.21 )

0.52 < σ < 0.81

Cледовательно, отклонения истинных значений пропускной способности участков не должны выходить за пределы промежутка (0,52:0,81)

Вывод: в данной лабораторной работе на основе исходных данных были построены дискретный и интервальный вариационные ряды. Для каждого ряда построен график, кумулята и рассчитана эмперическая функция распределения, мода и медиана. Для дискретного вариационного ряда рассчитаны: выборочная средняя, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, асимметрию и эксцесс при помощи функций Excel эти числовые характеристики были пересчитаны и найдена погрешность, которая в среднем составила 1,3%. Рассчитав значения асимметрии и эксцесса, можно предположить близость данной выборки к нормальному распределению.

Средняя пропускной способности 50 участков эталонного газопровода по данным выборки должна находиться в промежутке:(20,1:20,3) м3 /сут.

Отклонения истинных значений пропускной способности 50 участков эталонного газопровода не должны выходить за пределы промежутка (0,52:0,81) м3 /сут.