лабораторных рабо_1 (4). Лабораторная работа 1 Программа для умножения матриц. Оценка числа операций

• Название: Лабораторная работа 1 Программа для умножения матриц. Оценка числа операций
• Дата: 23.05.2023
• Размер: 1.43 Mb.
• Имя файла: лабораторных рабо_1 (4).pdf
• Тип: Лабораторная работа; #1155034
• страница: 2 из 4

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
К вычислению определенного интеграла сводятся многие практические задачи, такие, как вычисление площадей фигур, объемов тел, работы некоторой силы и др.
Пусть для непрерывной функции
( )
f x
, определенной на отрезке [a,b] , требуется вычислить определенный интеграл
( )
b
a
S
f x dx


. Геометрически это означает, что необходимо вычислить площадь фигуры, заключенной между осью x и кривой
( )
y
f x

и ограниченной слева и справа прямыми, проходящими через точки и
x
a
x
b


, иначе называемой криволинейной трапецией (рис. 4).
Обычно понятие определенного интеграла вводится как предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа точек разбиения отрезка [a,b].
Интегральной суммой называется сумма площадей элементарных прямоугольников, которые получаются в результате разбиения отрезка [a,b] на n элементарных отрезков и построения боковых сторон прямоугольников, проходящих через узловые точки
,
0,1, 2,..., :
i
x
i
n

1 1
1
( )
,
,
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
S
s
f x
x
x
x
x






  
 

Рис. 1
В результате этой процедуры искомая площадь криволинейной трапеции заменяется площадью ступенчатой фигуры, состоящей из суммы площадей отдельных прямоугольников, интегральной суммой. Площадь этой ступенчатой фигуры при
0
x
 
стремится к площади криволинейной трапеции.
В случаях, когда подынтегральная функция
( )
f x
задана в аналитическом виде, определенный интеграл можно вычислить по формуле
НьютонаЛейбница, то есть через значение первообразной
( )
F x
( )
( ) |
( )
( ).
b
b
a
a
f x dx
F x
F b
F a




Однако на практике этот способ вычисления определенного интеграла используется редко, поскольку не каждая функция
( )
f x
имеет первообразную, которая выражается через элементарные функции, когда же
( )
f x
задана таблицей, этот метод вообще не применим. В таких случаях применяются методы численного интегрирования.
Вычислительный алгоритм строится следующим образом. Отрезок интегрирования [a,b] разбивается на n равных частичных отрезков

1
[
, ],
1, 2,...,
i
i
x
x
i
n


длиной
(
) /
h
b a
h
 
, а интеграл
( )
b
a
f x dx

заменяется суммой частичных интегралов
1 1
( )
( )
i
i
x
b
n
i
a
x
f x dx
f x dx






Затем подынтегральная функция
( )
f x
на частичном отрезке
1
[
, ]
i
i
x
x

заменяется некоторым интерполяционным полиномом невысокой степени m
,
( )
m i
L
x
, и вычисляется интеграл
1
,
( )
i
i
x
m i
x
L
x dx


. В результате получается приближенное значение интеграла
0
( )
(
).
b
n
k
k
k
a
f x dx
c f x




Эта формула называется квадратурной, точки
k
x
– узлами, а числа
k
c
– коэффициентами этой формулы. Погрешность квадратурной формулы определяется из выражения
0
( )
(
).
b
n
n
k
k
k
a
R
f x dx
c f x





В зависимости от выбора интерполяционного полинома
,
( )
m i
L
x
получаются различные квадратурные формулы. Рассмотрим простейшие из них.
1. Формула прямоугольников
В этом методе функция
( )
f x
на отрезке
1
[
, ]
i
i
x
x

заменяется полиномом нулевой степени
0,
1
( )
( ),
[
]
i
i
i
L
x
f
x x
 



. В результате получается приближенное значение интеграла на частичном отрезке
1 1
( )
( )
( ) ,
i
i
i
i
x
x
i
i
x
x
f x dx
f
dx
f
h








(1) так как
1
( )
const;
i
i
i
f
h
x
x



 

1
( )
(
) .
b
n
k
k
a
f x dx
f x h




(2)
В зависимости от выбора точки
i

получаются различные формулы прямоугольников. Если выбрать в качестве
i

координату левой стороны прямоугольника на отрезке
1
[
, ]
i
i
x
x

, то есть
1
,
i
i
x



, получается следующая формула для интеграла (1) (рис. 2а):
Рис. 2 а, б
Подставляя ее в формулу (2) и заменяя для простоты
( )
i
f x
через
i
y
, получим общую формулу прямоугольников:
0 1
2 1
1
( )
(
)
(
) .
b
n
k
n
k
a
f x dx
f x h
y
y
y
y
h




 
 


(3)
При использовании значения
i
i
x


, то есть равное координате правой стороны прямоугольника, получаем следующую величину частичного интеграла (рис. 2б):
1
( )
( ) .
i
i
x
i
x
f x dx
f x h



Значение интеграла для всего отрезка [a,b] принимает вид
1 2
1
( )
( )
(
) .
b
n
i
n
k
a
f x dx
f x h
y
y
y h




 


(4)

Если принять
2/ 2
i
i
x



, то есть равной координате середины отрезка
1
[
, ]
i
i
x
x

, то получается более точная квадратурная формула на частичном отрезке (рис. 3)
1 1/ 2
( )
(
) .
i
i
x
i
x
f x dx
f x
h




и на полном отрезке [a,b ]–
1 1/2 1/2 3/2 5/2 1/2 0
( )
(
)
(
) .
b
n
i
n
i
a
f x dx
f x
x
y
y
y
y
h





 


 


(5) где
( )
i
i
y
f x

. Эта формула обычно называется формулой метода средних.
Оценим погрешность полученных формул приближенного вычисления интеграла. Погрешность формулы (3) на частичном отрезке
1
[
, ]
i
i
x
x

определяется величиной
1 1
1 1
( )
(
)
( ( )
(
))
i
i
i
i
x
x
i
i
i
x
x
r
f x dx
f x
h
f x
f x
dx










Заменяя функцию
( )
f x
формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
1 1
1
( )
(
) (
) '( ),
[
, ]
i
i
i
i
i
f x
f x
x
x
f
x
x
 




 

, имеем
1 2
1 1
(
) '( )
,
2
i
i
x
i
i
i
i
x
r
x
x
f
dx
h M







Где
1
[
, ]
max
'( )
i
i
i
x
x
x
M
f x



Суммируя частичные погрешности на элементарных отрезках, получаем общую погрешность для формулы (3):
2 2
1 1
1 1
,
2 2
2
n
n
i
i
i
i
b a
R
r
h M
nh M
hM









то есть формула (3) является формулой первого порядка точности. Здесь max
i
i
M
M

. Аналогичная оценка погрешности получается и для формулы (4).

Погрешность формулы средних (5) на частичном отрезке
1
[
, ]
i
i
x
x

определяется величиной
1 1
1/ 2 1/ 2
( )
(
)
( ( )
(
))
i
i
i
i
x
x
i
i
i
x
x
r
f x dx
f x
h
f x
f x
dx










Используя, как и прежде, формулу Тейлора
2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
(
)
( )
(
) (
) '(
)
''( ),
2
i
i
i
i
i
x
x
f x
f x
x
x
f
x
f







 

1
[
, ]
i
i
i
x
x



, получаем
1 1
2 3
1/2 1/2 2,
(
)
( ( )
(
))
''( )
,
2 24
i
i
i
i
x
x
i
i
i
i
i
x
x
x
x
h
r
f x
f x
dx
f
dx
M












Где
1 2,
[
, ]
max
''( )
i
i
i
x
x
x
M
f
x



. Полная погрешность формулы (5) на отрезке [a,b] равна
3 2
1/2 2,
2 1
1 1
( )
(
)
,
24 24
b
n
n
n
i
i
i
i
i
i
a
h
b a
R
f x dx
f x
h
r
M
h M














где
2
[ , ]
max
''( )
x
a b
M
f
x


таким образом, погрешность формулы средних на [a,b] равна
2
(
)
h

Пример 1.
2,3 2
1,5 0, 3 1, 2
;
1, 6 0, 5
x
dx
I
x
x





Для вычислений по формулам левых и правых прямоугольников при
10
n

разобьем отрезок интегрирования на 10 частей с шагом
2,3 1,5 0, 08 10
b a
h
n





Составим таблицу значений подынтегральной функции в точках деления отрезка:

i
i
x
0,3 1, 2
i
x

2 1, 6 0,5
i
i
x
x


2 0,3 1, 2 1, 6 0,5
i
i
i
i
x
y
x
x




0 1
2 3
4 5
6 7
8 9
10 1.5 1.58 1.66 1.74 1.82 1.90 1.98 2.06 2.14 2.22 2.30 1.2845 1.2938 1.3031 1.3122 1,3214 1.3304 1.3394 1.3483 1.3572 1.3660 1.3748 4.0583 4.2590 4.4603 4.6622 4.8545 5.0673 5.2705 5.4740 5.6778 5.8819 6.0862 0.3165 0.3037 0.2922 0.2815 0.2716 0.2626 0.2541 0.2463 0.2390 0.2322 0.2259 1
2.6997


2 2.6091


В таблице найдены значения сумм:
9 1
0 2.6997
i
i
y



 
;
10 2
1 2.6091
i
i
y



 
Найдем приближенные значения интеграла. По формуле левых прямоугольников получим
9 1
0 0.08 2.6997 0.2158.
i
i
I
h
y






По формуле правых прямоугольников находим
10 2
1 0.08 2.6091 0.2087.
i
i
I
h
y






Эти результаты отличаются уже в сотых долях. За окончательное значение примем полу сумму найденных значений, округлив результат до тысячных:

1 2
0.212 2
I
I
I



.
1 1
( )
( ( )
( ) 2
(
))
2
b
n
k
k
a
h
f x dx
f a
f b
f x







Задание. Вычислить интеграл по формулам левых и правых прямоугольников при n =10. оценивая точность с помощью сравнения полученных результатов.
№
Вычислить интеграл
№
Вычислить интеграл
1
1,4 2
2 0,6 5
;
2 0, 5
x
dx
x
x




14
2,4 0,8 1, 5 2, 3
;
3 0, 3 1
x
dx
x




2
1,2 2
0,4 0, 5 2
;
2 1 0,8
x
dx
x

 

15
2,6 2
1,9 2
1, 7
;
2, 4 1, 2 0, 6
x
dx
x




begin
a, b, n
n
a
b
h


S=f(a)+f(b)
1
,
1


n
i
h
i
a
x



)
(
2
x
f
S
S


S
end
2
h
S
S


#include
#include using namespace std; float f(float t)
{ return
1/sqrt(abs(cos(t)-pow(t,2)));
} int main ()
{ float S,a,b,h,x; int n,i; cin>>a>>b>>n; h=(b-a)/n;
S=f(a)+f(b); for (i=1;i{ x=a+i*h;
S=S+2*f(x);
}
S=S*h/2; cout<}

3
1,8 2
2 0,8 0,8 1
;
1, 5 2
x
dx
x
x




16
1,9 2
0,5 0, 6 2, 3
;
3, 2 0,8 1, 4
x
dx
x




4
2,2 2
1,0 1, 5 0, 6
;
1, 6 0,8 2
x
dx
x




17
2,6 2
1 0, 4 3
;
0, 7 2
0, 5
x
dx
x
x




5
2,2 2
1,0 1, 5 0, 6
;
1, 6 0,8 2
x
dx
x




18
2,1 2
0,7 1, 7 0, 5
;
1, 4 1, 2 1, 3
x
dx
x




6
2,5 2
2 1,3 0, 6
;
1, 4 0,8 1, 3
x
dx
x




19
2,2 2
0,6 1,5 1
;
1, 2 1,8
x
dx
x
x




7
2,6 2
1,2 0, 4 1, 7
;
1,5 1,3
x
dx
x
x




20
3 2
1,2 2
0, 7
;
1, 5 0,8 1
x
dx
x




8
1,6 2
1,2 0, 3 2, 3
;
1,8 2
1, 6
x
dx
x




21
2,7 2
1,3 1, 3 0,8
;
1, 7 2
0, 5
x
dx
x




9
2 2
1,2 0, 6 1, 7
;
2,1 0, 7 1
x
dx
x
x




22
1,4 2
2 0,6 0, 5
;
2 2, 5
x
dx
x
x




10
2,4 2
0,8 0, 4 1, 5
;
2, 5 2
0,8
x
dx
x




23
1,2 2
0,4 2
1
;
0,8 0, 5 2
x
dx
x
x




11
2,8 2
1,2 1, 2 0, 7
;
1, 4 1, 3 0, 5
x
dx
x
x




24
1,8 2
2 0,8 1, 5 2
;
0,8 1
x
dx
x
x




12
2,4 2
2 0,6 1,1 0, 9
;
1, 6 0,8 1, 4
x
dx
x




25
2,2 2
1 0,8 2
;
1, 6 1, 5 0, 6
x
dx
x




13
2,1 2
0,7 0, 6 1, 5
;
2 3
x
dx
x
x




26
2,0 2
2 1,2 0, 5 3
;
2 2
1, 6
x
dx
x
x




2. Формула трапеций
Заменяя в частичном интеграле
1
( )
i
i
x
x
f x dx


функцию
( )
f x
линейным полиномом
1 1
1,
1 1
(
)
( )
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
x
x
x
x
L
f x
f x
y
y
h
h
h
h








 

 

, получаем формулу трапеций на частичном отрезке (рис. 7)


1 1
1 1
1
( )
2
i
i
i
i
x
x
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
x
x
h
f x dx
y
y
dx
y
y
h
h



















(6)
Общая формула трапеций получается суммированием частичных интегралов





1 0
1 1
1
( )
( )
2 2
2
b
b
n
n
i
i
n
i
i
a
a
h
h
f x dx
f x dx
y
y
y
y
y








 




(7)
Погрешность формулы (6) определяется выражением
1 1
1 1,
( )
(
)
( )
( ( )
( ))
2
i
i
i
i
x
x
i
i
i
i
x
x
h
r
f x dx
f x
f x
f x
L
x dx










Используя оценку погрешности аппроксимации функции ( )
f x
полиномом Лагранжа
1 1,
1
(
)(
)
( )
( )
''( ),
[
, ],
2
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
f x
L
x
f
x
x









окончательно получаем
1 3
1 1
(
)(
)
''( )
''( ),
[
, ],
2 12
i
i
x
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
x
h
r
f
dx
f
x
x









 


1 3
2,
2,
[
,
]
, max
''( ) .
12
i
i
i
i
i
x
x
x
h
r
M
M
f
x




Погрешность общей формулы трапеций (7) оценим как сумму погрешностей на отдельных отрезках:
2 2
2
[ , ]
1
(
)
, max
''( ) .
12
n
i
x
a b
i
b a h
R
r
M
M
f
x








Рис. 3
Рис. 4
Формулу трапеций можно получить также из геометрических соображений. В этом случае точки ординат
0 1
,
,...,
n
y y
y соединяем хордами, заменяя на каждом элементарном отрезке подынтегральную функцию ( )
f x линейным полиномом
y
kx d


(рис. 3). В результате непрерывная кривая
( )
y
f x

на отрезке [a,b] заменяется ломаной линией, состоящей из отдельных хорд, а определенный интеграл
( )
b
a
f x dx

заменяется суммой площадей получившихся трапеций.
Площадь отдельной трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту
1 1
(
) / 2, где
1, 2,..., ,
i
i
i
i
i
s
y
y h
i
n h
x
x


 


 
a определенный интеграл будет равен


1 0
1 2
1 1
1
( )
2 2
... 2 2
2
b
n
n
i
i
i
n
n
i
i
a
y
y
h
f x dx
s
h
y
y
y
y
y





  



 



