Решение матричной игры в чистых и смешанных стратегиях. Лаб №1. Лабораторная работа 1 Решение матричной игры в чистых и смешанных стратегиях

• Название: Лабораторная работа 1 Решение матричной игры в чистых и смешанных стратегиях
• Анкор: Решение матричной игры в чистых и смешанных стратегиях
• Дата: 06.11.2021
• Размер: 476.33 Kb.
• Имя файла: Лаб №1.docx
• Тип: Лабораторная работа; #264801

Лабораторная работа №1

«Решение матричной игры в чистых и смешанных стратегиях».
Цель лабораторной работы - научиться находить нижнюю и верхнюю цену игры и решать ее в чистых и смешанных стратегиях, используя электронные таблицы.
Задание на лабораторную работу
У стороны А имеются две стратегии развития фирмы ( у стороны В – три( Известны вероятностные выигрыши сторон при использовании ими той или иной стратегии. Платежная матрица имеет вид:




Используя данные индивидуального задания, найти верхнюю и нижнюю цену игры и сделать вывод об отсутствии седловой точки. Исключить доминируемую стратегию (предполагается, что она есть). Найти решение игры в смешанных стратегиях, выполнив расчеты в среде электронных таблиц.
Вариант индивидуального задания:

Вариант	a11	a12	a13	a21	a22	a23
6	40	70	50	70	35	30

1.Решение игры в чистых стратегиях
Для нахождения оптимальной стратегии необходимо последовательно проанализировать все возможные стратегии и рассчитывать на то, что разумный противник на каждую из них будет отвечать такой, при которой выигрыш игрока А минимален. Минимальные числа в каждой строке обозначим и выпишем в виде добавочного столбца платежной матрицы:


40 70 50 40

70 35 30 30
Предпочтительной для игрока А будет та стратегия, при которой обращается в максимум, т.е. min

Нижняя цена игры — это тот гарантированный минимум, который можно

обеспечить при наиболее осторожной (перестраховочной) стратегии.
maxminqij,

α = 40

Аналогичные рассуждения проводим и для стороны игрока В. Эта сторона должна рассмотреть все свои стратегии, выделяя для каждой из них максимальные значения выигрыша: qij.

Эти значения выписываем в дополнительной строке платежной матрицы. Из всех значений находим минимальное.


40 70 50 40

70 35 30 30

70 70 50
β = min qij.

β = 50 – верхняя цена игры.
Так как не выполняется равенство maxminqij = min qij,

40<50

платежная матрица не имеет седловой точки, задача решений в чистом виде не имеет.
2. Решение игры в смешанных стратегиях
Стратегия, состоящая в случайном применении с определенными вероятностями тех или иных чистых стратегий, называется смешанной стратегией. Простейшая матричная игра 2х2 определяется матрицей
A = ,
Уменьшим порядок платёжной матрицы (количество строк и столбцов) за счёт исключения доминируемых и дублирующих стратегий. Рассмотрим платежную матрицу выигрышей, показанную в таблице 2.1.
Таблица 2.1 — Платёжная матрица с доминируемыми стратегиями

	40	70	50
	70	35	30

Доминируемая стратегия для игрока A, когда все элементы строки матрицы этой стратегии меньше или равны соответствующим элементам строки матрицы другой стратегии. В нашем случае стратегия A2 является доминируемой по отношению к стратегии A1, и ее можно исключить из рассмотрения.

Найдем оптимальную смешанную стратегию, выполнив расчеты в среде Excel.

Заносим на лист Excel исходные данные (платежную матрицу) и проверяем их на наличие седловой точки. Вид листа Excel показан на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 - Вид листа Excel не имеющей седловой точки
Находим доминируемую стратегию для игрока B, когда все элементы столбца матрицы этой стратегии больше или равны соответствующим элементам столбца матрицы другой стратегии. В нашем случае стратегия B2 является доминируемой по отношению к стратегии B3 и ее можно исключить из рассмотрения. Вид листа Excel исключающую стратегию В2 показан на рисунке 2.2.


Рис.2.2 - Вид листа Excel исключающую стратегию В2
Находим min qijи maxminqij,определяем нижнюю и верхнюю цену игры. Определяем вероятности чистых стратегий в смешанной. Вводим соответствующие формулы для организации вычислений. Вид листа Excel для поиска нижней и верхней цены игры показан на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 - Вид листа Excel для поиска нижней и верхней цены игры
Определяем вероятности чистых стратегий в смешанной. Вид листа Excel для поиска вероятности чистых стратегий в смешанной показан на рисунке

Рисунок 2.4 - Вид листа Excel для поиска вероятности чистых стратегий в смешанной
Находим чистую цену игры для игрока А. Вид листа Excel для поиска чистой цены игры для игрока А показан на рисунке 2.5.

Рисунок 2.5 - Вид листа Excel для поиска чистой цены игры для игрока А
Находим чистую цену игры для игрока В. Вид листа Excel для поиска чистой цены игры для игрока В показан на рисунке 2.6.

Рисунок 2.6 - Вид листа Excel для поиска чистой цены игры для игрока В
Вид листа Excel для поиска оптимальной смешанной стратегии показан на рисунке 2.7.


Рисунок 2.7 – Вид листа Excel для поиска оптимальной смешанной стратегии
В результате получены следующие значения вероятностей чистых стратегий в смешанной:

P(A1)=0,8; P(A2)=0,2; P(B1)=0,4; P(B2)=0,6

Это означает, что предприятию A следует производить 80% первого вида продукции и 20% второго вида, а предприятию B — соответственно 40% и 60%. При этом чистая цена игры составит 46 д.е.
Вывод: мы научились находить нижнюю и верхнюю цену игры и решать ее в чистых и смешанных стратегиях, используя электронные таблицы.