Лабораторная работа 121 определение момента инерции физического маятника цель работы
 Скачать 196.77 Kb.
|
|
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 121 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА 1.Цель работы Экспериментальное исследование колебательного движения физическо- го маятника на примере маятника электрических часов. Определение момента инерции физического маятника. 2.Теоретические сведения Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степе- нью повторяемости. Простейшими колебаниями являются гармонические, при которых ко- леблющаяся величина изменяется со временем по законам синуса или косинуса. В механике гармонические колебания возникают (рис.1), если на тело дей- ствует упругая сила (сила Гука) x k F - = , где x - смещение тела от положения равно- весия; k - коэффициент упругости. Знак «-» указывает на то, что сила действует в сторону, противоположную смещению. Второй закон Ньютона (для одномерного движения) при действии упругой силы за- писывается в виде x k t x m - = 2 2 d d Это уравнение, записанное как 0 0 = w + x х && , (1) где m k = w 2 0 , называется дифференциальным уравнением гармонических коле- баний. Его решением будет гармоническая функция ) cos( ) ( 0 0 a + w = t x t x , (2) где x 0 - амплитуда колебаний, равная наибольшему отклонению тела от поло- жения равновесия; w 0 - циклическая (круговая) частота; ( w 0 t + α) - фаза; α- начальная фазой колебаний. Важными величинами, характеризующими гармонические колебания, являются также период Т и частота ν. Период колебаний Т - это время, за кото- 2 рое колебательная система возвращается в исходное положение, пройдя все промежуточные состояния. Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний n. Циклическая частота (число колебаний за время 2p се- кунд) w 0 , частота и период колебаний связаны между собой соотношением Т p = pn = w 2 2 0 . (3) Любое твердое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной гори- зонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести, называется физиче- ским маятником. Покажем, что маятник, отклоненный от поло- жения равновесия на малый угол φ, будет совершать колебания, близкие к гармоническим. Пусть J - момент инерции маятника относи- тельно оси закрепления О , а точка А является цен- тром тяжести тела. Силу тяжести g m P r r = можно раз- ложить на две составляющие, одна из которых 2 P r уравновешивается реакцией опоры и не оказывает влияния на колебания. Маятник совершает колебание под действием другой составляющей 1 P r ; j sin 1 mg P = , образующей вращательный момент М относительно оси O: ] [ P r M r r r = . На основании основного закона динамики вращательного движения М z = J e , имеем J c mgL - = e sin j , (4) где e - угловое ускорение. По определению j j e && = = 2 2 d d t , L с - расстояние от цен- тра тяжести до точки подвеса О. После элементарных преобразований получим 0 sin = j + j J mgL с && . (5) Дифференциальное уравнение (5) не решается в элементарных функци- ях, однако его можно упростить для случая малых колебаний. Если угол φ, вы- раженный в радианной мере, не слишком велик, то справедливо приближенное равенство sin φ ≈ φ. Обозначим J mgL с / 2 0 = w , дифференциальное уравнение колебаний физи- ческого маятника примет вид, аналогичный уравнению (1) 0 2 0 = j w + j && . (6) Решение дифференциального уравнения (6), в соответствии со сказан- ным ранее, может быть записано в виде j L c 1 P r mg 2 P r с O РИС.2 3 ) cos( 0 0 a + w j = j t Период колебаний физического маятника с mgL J T p = w p = 2 2 0 . (7) Частным случаем физического маятника является математический ма- ятник. Под ним понимают материальную точку, подвешенную на невесомой нерастяжимой нити, которая совершает колебания под действием силы тяжести в вертикальной плоскости. Поскольку момент инерции материальной точки массы m относительно оси, удаленной на расстояние L, равен mL 2 , то формула (7) примет вид g L T p = 2 . (8) При анализе колебаний физического маятника удобно пользоваться по- нятием приведенной длины физического маятника L пр , которой называется длина такого математического маятника, период колебаний которого равен пе- риоду колебаний данного физического маятника. Сравнивая формулы (7) и (8), получим c mL J L / пр = 3.Экспериментальная установка В данной работе в качестве физического маятника используется маятник часов, показанный на рис. 3. Поскольку период колебаний физического маят- ника определяется формулой (7), то можно решить обратную задачу: по изме- ренному периоду колебаний определить момент инерции маятника относитель- но оси подвеса 2 2 4 p = T mgL J с . (9) Такой маятник с достаточной степенью точности можно рассматривать как систему, состоящую из ци- линдрического стержня массой m 1 и груза массой m 2 Для определения момента инерции по формуле (11) (9) надо знать период колебаний маятника, его общую мас- су и расстояние от оси закрепления до центра масс (цен- тра тяжести) маятника L с . Положение центра масс си- стемы тел вычисляется по формуле å å = = = n i n i i i i c m r m r 1 1 / r r , (10) где радиус-векторы i rr задают положение центров масс стержня и груза. L 1 L 3 L 2 L с O¢ O Рис.3 4 Из соображений симметрии центр масс маятника будет лежать на оси O O ¢ , где находятся центры масс, входящих в систему цилиндров. Применяя формулу (10), получим ) ( 2 ) 2 ( 2 1 2 3 2 1 1 m m L L m L m L c + + + = , (11) где L с - расстояние от точки подвеса маятника O до его центра масс; L 1 - длина стержня; L 2 - высота груза; L 3 - расстояние от верхнего края груза до точки O подвеса маятника. 4. Проведение измерений. 1. Измерьте время t, за которое совершается n =10 колебаний маятника, проведя 3 однотипных измерения. 2. Рассчитайте периоды колебаний для каждого опыта по формуле: n t T i i / = , (12) где i - номер опыта. Результаты запишите в таблицу 1. Таблица 1 № опыта i t i (с) T i (с) J Эi (кг ×м 2 ) < J Эi > (кг ×м 2 ) D J Эi = J Эi -< J Э > å = D N i i J 1 2 Э ) ( 1 2 3 3. Спишите значения L 1 , L 2 , L 3 m 1 и m 2 со схемы, помещенной на уста- новке. 5.Обработка результатов 1. По формуле (11) вычислите расстояние L с от точки подвеса до центра тяжести маятника. 2. Найдите три экспериментальных значения момента инерции физиче- ского маятника J Эi , используя формулу (9) и учитывая, что m = m 1 +m 2 . Опреде- лите среднее арифметическое значение < J Э >. Результаты расчетов запишите в таблицу 1. 3. Рассчитайте погрешность экспериментального значения момента инерции по формуле ) 1 ( ) ( ) ( 1 2 Э Э - D = D å = N N J t J n i i N a , 5 где t N ( a) – коэффициент Стьюдента, N = 3 – число измерений. С целью контроля вычислений, записывайте промежуточные результаты в таблицу 1. 6. Анализ эксперимента. 1. Рассчитайте теоретическое значение момента инерции по формуле 3 ) ( 3 2 1 1 3 2 3 2 2 2 T L m L L L L m J + ú û ù ê ë é + + = 2. Сравните теоретическое значение со средним арифметическим экспе- риментальным значением < J Э >: % 100 Т Э Т × > < - = d J J J J Контрольные вопросы 1. Дайте определение физического маятника. 2. Запишите дифференциальное уравнение, описывающие гармониче- ские колебания. Как получается это уравнение? 3. Запишите уравнение гармонических колебаний и определите величи- ны, входящие в него. 4. От чего зависит период колебаний физического маятника? 5. Выведите выражение, для колебаний математического маятника, ис- ходя из соответствующего выражения для физического маятника. Литература 1. Курс физики: Учебник для вузов. Т.1./Под ред. В.Н. Лозовского. – СПб.: Издательство «Лань», 2000. 2. Савельев И.В. Курс физики. Т.1. М.,2009. 3. Каленков С.Г., Соломахо Г.И. Практикум по физике. Механика: Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: Высш. шк., 1990. |