МатМодели МУ. Лабораторная работа 3 численное интегрирование в задачах электротехники
 Скачать 8.07 Mb.
|
|
2. Усовершенствованный метод Эйлера Точность метода Эйлера можно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла более точной формулой интегрирования –формулой трапеций. Основная идея этого метода: вычисляемое по формуле (4.5) очередное значение  будет точнее, если значение производной, то есть угловой коэффициент прямой замещающей интегральную кривую на отрезке  будет вычисляться не по левому краю (то есть в точке  ), а по центру отрезка . Но так как значение производной между точками  не вычисляется, то перейдем к сдвоенным участкам  центром, в которых является точка , при этом уравнение прямой получает вид: (4.6)А формула (5) получает вид  (4.7)Формула (4.7) применена только для  , следовательно, значения  по ней получить нельзя, поэтому  находят по методу Эйлера, при этом для получения более точного результата поступают так: с начала по формуле (4.5) находят значение (4.8)В точке  а затем находится по формуле (4.7) с шагом   (4.9)После того как найдено дальнейшие вычисления при  производится по формуле (4.7) ….3. Модифицированный метод (Эйлера-Коши) Повысить точность и устойчивость вычисления решения можно с помощью неявного метода Эйлера следующего вида. Прогноз:  (4.10)Коррекция:  (4.11)Геометрически это означает, что с начало определяется направление интегральной кривой в исходной точке  и во вспомогательной точке  , а в качестве окончательного направления берется среднее значение этих направлений.Благодаря более точной формуле интегрирования, погрешность метода пропорциональна уже квадрату шага интегрирования. 4. Метод Рунге-Кутты Воспользовавшись хорошо зарекомендовавшей себя формулой Симпсона, можно получить еще более точную формулу для решения задачи Коши для ОДУ первого порядка - широко используемого в вычислительной практике метода Рунге-Кутты. В формуле Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла используются значения подинтегрального выражения в трех точках. В интеграле их всего две, поэтому введем дополнительную точку в середине отрезка [xi+1 , xi].  тогда можно определить так   Полученное выражение является неявным, так как в правой части содержатся еще не определенные значения функции yi+h/2 и yi+1. Чтобы воспользоваться этой формулой, надо использовать некоторое приближение для вычисления этих значений  . При использовании различных методов приближенного вычисления этих величин, получаются выражения для методов Рунге-Кутты различного порядка точности. Алгоритм Рунге-Кутты четвертого порядка - (погрешность порядка h4):  где     Алгоритм четвертого порядка требует на каждом шаге четырех вычислений функции соответственно, но является весьма точным. Задание к лабораторной работе №4 Таблица 4.1– Исходные данные для выполнения самостоятельного задания
Вариант выполнения работы соответствует порядковому номеру в журнале проведения занятий преподавателя. Данные выбираются из табл.4.1. Для заданной функции y = f(x) выполнить следующее: 1. Подобрать оптимальный шаг интегрирования дифференциального уравнение методом Эйлера при котором относительное изменение решения составит 5%. Первоначальный шаг h выбрать равным 1/10 интервала интегрирования. Последующие шаги уменьшать в 2 раза. Используя программу расчета в среде Mathcad проверить результаты. 2. Решить дифференциальное уравнение усовершенствованный методом Эйлера взяв шаг интегрирования из пункта 1. Проверить результаты используя Mathcad . 3. Решить дифференциальное уравнение модифицированным методом Эйлера-Коши взяв шаг интегрирования из пункта 1. Проверить результаты используя Mathcad . 4. Решить дифференциальное уравнение методом Рунге-Кутты взяв шаг интегрирования из пункта 1. Проверить результаты используя Mathcad. 5. Сравнить точность расчетов приведенных методом. Содержание отчета Отчет по лабораторной работе должен содержать: 1. Титульный лист, оформленный согласно приложению 1; 2. Условие задания и порядок выполнения расчетов. 3. Протокол работы в виде документа Mathcad с текстовыми блоками заголовков заданий и формульных блоков их выполнения по каждому пункту заданию согласно своему варианту; 4. Выводы о проделанной работе. Контрольные вопросы 1. Объяснить суть решения дифференциального уравнения методом Эйлера. 2. Объяснить суть решения дифференциального уравнения усовершенствованный методом Эйлера . 3. Объяснить суть решения дифференциального уравнения модифицированным методом Эйлера-Коши. 4. Объяснить суть решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты . Лабораторная работа №5 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Целью работы исследовать методики решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в интегрированной среде MathCad Содержание работы
Перечень необходимых материалов, реактивов, приборов, оборудования Лабораторная работа проводится в компьютерном классе с сетевым оборудованием со следующим программным обеспечением: ОС MS Windows XP и выше, офисный пакет OpenOffice, система инженерных и математических расчетов MathCad. Методические указания 1. Матричный метод (метод Крамера) Требуется найти решение системы m линейных уравнений, которая записывается в общем виде как  (5.1)Эту систему уравнений можно записать также в матричном виде:  (5.2)где    A – матрица системы,  – вектор правых частей,  – вектор неизвестных.При известных A и требуется найти такие  , при подстановке которых в систему уравнений она превращается в тождество.Необходимым и достаточным условием существования единственного решения СЛАУ является условие det A≠0, т.е. определитель матрицы A не равен нулю. В случае равенства нулю определителя матрица A называется вырожденной и при этом СЛАУ либо не имеет решения, либо имеет их бесчисленное множество. При небольшой размерности системы m (m = 2,…,5) на практике часто используют формулы Крамера для решения СЛАУ:  2. Метод Гаусса Наиболее известным и популярным прямым методом решения СЛАУ является метод Гаусса. Этот метод заключается в последовательном исключении неизвестных. Пусть в системе уравнений  (5.3)первый элемент  . Назовем его ведущим элементом первой строки. Поделим все элементы этой строки на  и исключим  из всех последующих строк, начиная со второй, путем вычитания первой (преобразованной), умноженной на коэффициент при в соответствующей строке. Получим (5.4)Если  , то, продолжая аналогичное исключение, приходим к системе уравнений с верхней треугольной матрицей (5.5)Из нее в обратном порядке находим все значения  (5.6)Процесс приведения к системе с треугольной матрицей называется прямым ходом, а нахождения неизвестных – обратным. В случае если один из ведущих элементов равен нулю, изложенный алгоритм неприменим. Кроме того, если какие–либо ведущие элементы малы, то это приводит к усилению ошибок округления и ухудшению точности счета. Поэтому предварительно необходимо выбирать главный элемент путем перестановки строк, а также столбцов с соответствующей перенумерацией коэффициентов и неизвестных так, чтобы выполнялось условие:  т.е. осуществляется выбор первого главного элемента. Переставляя уравнения так, чтобы в первом уравнении коэффициент a11 был максимальным по модулю. Разделив первую строку на главный элемент, как и прежде, исключают x1 из остальных уравнений. Затем для оставшихся столбцов и строк выбирают второй главный элемент и т.д. 3. Метод простой итерации (метод Якоби) Пусть требуется решить систему линейных уравнений, которая в матричном виде записывается как: ,где (5.7)Предположим, что диагональные элементы матриц A исходной системы не равны 0 (aii ≠ 0, i = 1, 2, …, n). Разрешим первое уравнение системы относительно x1, второе относительно x2 и т.д. Получим следующую эквивалентную систему, записанную в скалярном виде:  (5.8) Теперь, задав нулевое приближение  , по рекуррентным соотношениям (5.8) можем выполнять итерационный процесс, а именно: (5.9) Аналогично находятся следующие приближения  , где в (5.9) вместо  необходимо подставить  .Условие окончания итерационного процесса  (5.10)Достаточное условие сходимости. Если выполнено условие диагонального преобладания, т.е. ,  то итерационный процесс сходится при любом выборе начального приближения. Если исходная система уравнений не удовлетворяет условию сходимости, то ее приводят к виду с диагональным преобладанием. Выбор начального приближения влияет на количество итераций, необходимых для получения приближенного решения. Наиболее часто в качестве начального приближения берут  (5.11)или  .4. Метод Гаусса – Зейделя Расчетные формулы имеют вид:  (5.12)т.е. для подсчета i–й компоненты (k+1) –го приближения к искомому вектору используется уже вычисленное на этом, т.е. (k+1) – м шаге, новые значения первых i–1 компонент. Подробные формулы имеют вид:   (5.13) Достаточное условие сходимости этого метода такое же, как и для метода простой итерации, т.е. диагональное преобладание: Начальное приближение: .Задание к лабораторной работе №5 Таблица 4.1– Исходные данные для выполнения самостоятельного задания
Решить систему линейных уравнений:
Содержание отчета Отчет по лабораторной работе должен содержать: 1. Титульный лист, оформленный согласно приложению 1; 2. Условие задания и порядок выполнения расчетов. 3. Протокол работы в виде документа Mathcad с текстовыми блоками заголовков заданий и формульных блоков их выполнения по каждому пункту заданию согласно своему варианту; 4. Выводы о проделанной работе. Контрольные вопросы 1. Объяснить суть метода решения СЛАУ метод Крамера; 2. Объяснить суть метода решения СЛАУ методом Гаусса; 3. Объяснить суть метода простой итерации. Условия сходимости метода; 4. Объяснить суть метода Зейделя. Условия сходимости метода. Лабораторная работа №6 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Целью работы является исследование установившихся рабочих режимов сложных схем замещения электрических цепей на базе применения аппарата матриц и элементов топологической теории графов. Содержание работы 1. Исследование установившегося режима цепи методом контурных токов; 2. Исследование установившегося режима цепи методом узловых напряжений. Перечень необходимых материалов, приборов, оборудования Лабораторная работа проводится в компьютерном классе с сетевым оборудованием со следующим программным обеспечением: ОС MS Windows XP и выше, офисный пакет OpenOffice, система инженерных и математических расчетов MathCad. Методические указания Режим любой электрической цепи, например изображенной на рис.6.1, однозначно определяется законами Кирхгофа. Вид уравнений электрического состояния цепи, зависит только от схемы соединения ветвей, т.е. от топологической структуры цепи, и не зависит от вида параметров самих элементов. В таком случае, ветви, содержащие различные двухполюсные элементы, можно представлять просто линиями, а структуру цепи - совокупностью этих линий, которая называется графом электрической цепи (рис.6.2). Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа. Граничные точки ветви графа называют узлами графа. Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой.  Рисунок 6.1 Электрическая схема Рисунок 6.2 Граф электрической цепи Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в графе. В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы: Путь – это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются на этом пути только один раз. Например, в схеме на рис. 6.2 ветви 3-6; 2-5; 3-4-5; 1 образуют пути между одной и той же парой узлов 1 и3. Таким образом, путь – это совокупность ветвей, проходимых непрерывно. Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути. Если между любой парой узлов графа существует связь, то граф называют связным. Дерево – это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. Примерами деревьев для графа на рис. 6.2 могут служить фигуры на рис. 6.3.  Рисунок 6.3 Примеры деревьев графа Для аналитического описания структуры электрических цепей применяют топологические матрицы: соединений (узловая) [A] и контуров [В]. Матрица соединений, ее размерность: число строк = число узлов - 1; число столбцов = число ветвей. Матрица состоит из элементов: 1, -1, 0. Если ток ветви подходит к данному узлу то 1, если отходит то -1, если ветви нет то 0.  Матрица главных контуров, ее размерность: число строк = число контуров - 1; число столбцов = число ветвей. Каждая ветвь должна входить только в один контур. Если ветвь входит в контур и ее направление совпадает с обходом контура то 1, не совпадает -1, ветви нет в контуре 0.  Отметим, что для матриц А, В, составленных для одного и того же графа, должно выполнятся соотношение  (6.1)Матрицы исходных данных и исходных токов  Рисунок 6.4 Обобщенная ветвь с источниками ЭДС и тока  (6.2)Размерности матриц источников тока, ЭДС, сопротивлений и искомых токов определяются количеством ветвей  ;  ;   [вх1] [вх1] [вхв] [вх1] Закон Ома в матричной форме Для обобщенной ветви представленной на рис.6.4 получим  .Это соотношение в матричной форме для всех ветвей схемы . (6.3)Первый закон Кирхгофа в матричной форме Очевидно, что умножив матрицу соединений на матрицу искомых токов мы получим I закон Кирхгофа:  так как  , то  (6.4) Второй закон Кирхгофа в матричной форме Если обе части уравнения закона Ома умножить на матрицу главных контуров  и учесть , что   . (6.5)Метод контурных токов В качестве независимых переменных (контурных токов) принимают токи ветвей связи. Для рассматриваемого примера ветви связи : 1-2 с током I3; 2-3 с током I6; 1-3 с током I1. Если транспонировать матрицу контуров и умножить на матрицу контурных токов то получим матрицу обобщенных токов ветвей I0.  . (6.6)где :  - транспонированная матрица контуров; - столбец матрица контурных токов.Из уравнения II закона Кирхгофа (6.5) с учетом (6.6) получим  откуда выразим контурный ток  (6.7)Метод узловых потенциалов Матрица узловых потенциалов:  (6.8)где  - диагональная матрица проводимостей.Матрица токов ветвей  (6.9)Напряжения ветвей  (6.10)Задание к лабораторной работе №6 В соответствии с вариантом задания выполнить расчет электрической цепи методами контурных токов и узловых напряжений. Выполнить проверку решения путем составления баланса мощностей. Вариант схемы выбирается по журналу преподавателя.
Таблица 6.1 Параметры схемы
Содержание отчета Отчет по лабораторной работе должен содержать: 1. Титульный лист, оформленный согласно приложению 1; 2. Условие задания и порядок выполнения расчетов. 3. Протокол работы в виде документа Mathcad с текстовыми блоками заголовков заданий и формульных блоков их выполнения по каждому пункту заданию согласно своему варианту; 4. Выводы о проделанной работе. Контрольные вопросы
Лабораторная работа №7 АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ Mathcad Целью работы является исследование переходного процесса в цепях постоянного тока операторным методом с применением ЭВМ. Содержание работы 1. Исследование переходного процесса в цепи постоянного тока операторным методом . с использованием Mathcad. Перечень необходимых материалов, приборов, оборудования Лабораторная работа проводится в компьютерном классе с сетевым оборудованием со следующим программным обеспечением: ОС MS Windows XP и выше, офисный пакет OpenOffice, система инженерных и математических расчетов MathCad. Методические указания Сущность операторного метода заключается в том, что решение задачи анализа цепи переносится из области функций действительного переменного t в область функций комплексного переменного p = σ + jω. В результате система интегро-дифференциальных уравнений переменной t заменяется системой алгебраических уравнений комплексной переменной p. Далее по полученному результату решения алгебраических уравнений выполняется обратный переход в область функций действительного переменного. Базируется операторный метод на преобразованиях Лапласа. Из курса математического анализа известно, что если f(t) имеет ограниченный рост, то интеграл  сходится абсолютно и является аналитической функцией комплексного переменного p = σ + jω. Интегральное уравнение (7.1) является прямым преобразованием Лапласа; функция f(t) называется оригиналом , а F(p) – изображением по Лапласу. Таблица 7.1 Изображения типовых функций
Для нахождения изображения функции в среде Mathcad используется команда "laplace", расположенная в символьной панели инструментов. Формат записи команды:  . Заметим, что для программы Mathcad оператор записывается буквой s, а не p!Для нахождения неизвестных величин операторным методом можно пользоваться известными электротехническими законами и методиками: законы Ома, Кирхгофа, метод контурных токов, узловых напряжений и т.д. Для составления уравнений в операторном виде первоначально электрическую схему преобразовывают к операторной форме с учетом следующих изображений: - изображение напряжения на индуктивном элементе  (7.2)где  - начальные условия Рисунок 7.1 Схема замещения индуктивного элемента в операторной форме - изображение напряжения на емкостном элементе  где  - начальное условие (напряжение которое было на емкости до коммутации). Рисунок 7.2 Схема замещения емкостного элемента в операторной форме Закон Ома в операторной форме  Рисунок 7.3 Схема замещения ветви   Первый закон Кирхгофа  Второй закон Кирхгофа  Переход от изображения к оригиналу осуществляется либо по табличным данным для стандартны функций, или с использованием формулы разложения. Для выполнения лабораторной работы в среде Matcad переход от изображения к оригиналу осуществляется командой "invlaplace", расположенная в символьной панели инструментов. Формат записи команды:  .Пример: Определить ток в ветви источника ЭДС и напряжение на ёмкости после замыкания ключа. Исходные данные: E=10В, L= 20*10-3 Гн, R=10 Ом, С=500 мкФ, Rн= 5 Ом. Начальные условия нулевые.  Рисунок 7.4 Разветвленная схема Дифференциальное уравнение по II закону Кирхгофа-  Дифференциальное уравнение по I закону Кирхгофа-  Учитывая, что  , данное уравнение запишется в виде  СДУ в форме Коши  В матричной форме  Применим к СДУ прямое преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях:  Перенесем слагаемые с неизвестными в левую часть полученной СЛАУ  Методом Крамера используя Mathcad найдем неизвестные  и определим корни характеристического уравнения. Операции с определителями необходимо выполнять в символьной форме.  Рисунок 7.5 Листинг программы определения корней методом Крамера. Рисунок 7.6 Листинг программы определения корней характеристического уравнения Получив соотношения полиномов  найдем оригиналы тока в ветви ЭДС и напряжения на емкостном элементе. Рисунок 7.7 Листинг программы перехода от изображения к оригиналу После упрощения выражений оригиналов построим зависимости  и  на интервале [0-0.2]. Рисунок 7.8 Зависимость тока ветви источника ЭДС  Рисунок 7.9 Зависимость напряжения на емкостном элементе Содержание отчета Отчет по лабораторной работе должен содержать: 1. Титульный лист, оформленный согласно приложению 1; 2. Условие задания и порядок выполнения расчетов. 3. Протокол работы в виде документа Mathcad с текстовыми блоками заголовков заданий и формульных блоков их выполнения по каждому пункту заданию согласно своему варианту; 4. Выводы о проделанной работе. Контрольные вопросы 1. Для чего применяется операторная форма записи дифференциального уравнения? 2. Операторные формы записи закона Ома, Кирхгофа. 3. Схемы замещения в операторной форме активного , емкостного и индуктивного элементов. 4. Какие команды среды Mathcad позволяют перейти от оригинала к операторной форме Лапласа и обратно? Основная литература 1. Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики: Учебник для студентов вузов/ под ред. В.А. Веникова.- М.: Высшая школа, 2014.-288с. 2. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов. – Мн.: Дизайн – ПРО, 2011. – 640 с. 3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. 3-е изд., перераб. и доп. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. 632 с Дополнительная литература 4. Очков В. Ф. MathCAD 14 для студентов и инженеров /В. Ф. Очков. – СПб. : БХВ-Петербург, 2012. – 512 с. 5. Исаев Ю.Н. Математическое моделирование в электроэнергетике. / Исаев Ю.Н. 2014 – 110 с. |
