МатМодели МУ. Лабораторная работа 3 численное интегрирование в задачах электротехники

• Название: Лабораторная работа 3 численное интегрирование в задачах электротехники
• Анкор: МатМодели МУ.docx
• Дата: 01.04.2017
• Размер: 8.07 Mb.
• Имя файла: МатМодели МУ.docx
• Тип: Лабораторная работа; #4423
• страница: 1 из 3

Лабораторная работа №3
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Целью работы является исследование методов интегрирования и реализации их в программной среде MathCad.

Содержание работы
1. Исследовать методы интегрирования прямоугольниками;

2. Исследовать метод интегрирования трапециями;

3. Исследовать метод интегрирования параболами (Симпсона).

Перечень необходимых материалов, реактивов, приборов, оборудования

Лабораторная работа проводится в компьютерном классе с сетевым оборудованием со следующим программным обеспечением: ОС MS Windows XP и выше, офисный пакет OpenOffice, система инженерных и математических расчетов MathCad.
Методические указания

Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла.

Численное интегрирование применяется, когда:

• 
  сама подынтегральная функция не задана аналитически;
  
• 
  аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции.
  

В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона — Лейбница


Для приближенного вычисления интеграла  можно использовать метод прямоугольников (правых, левых, средних), метод трапеций и метод парабол.
1.Метод прямоугольников
В этом методе подынтегральная функция заменяется горизонтальной прямой со значением ординаты, т. е. значения функции соответственно слева или справа участка.

Вычисление определенного интеграла (геометрическая интерпретация определенного интеграла) – это вычисление площади криволинейной трапеции.

Формула левых прямоугольников:


- шаг интегрирования;

n - число разбиений.

Левые прямоугольники



Рисунок 3.1
Формула правых прямоугольников:



Правые прямоугольники



Рисунок 3.2

Формула средних прямоугольников:



или





Рисунок 3.3

2. Метод трапеций
Метод трапеций —заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями.



Рисунок 3.4 Аппроксимация функции линейной

зависимостью при интегрировании методом трапеций
Если отрезок является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле



Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования).

3. Метод парабол (Симпсона)

Суть метода парабол заключается в приближении функции на отрезке [a,b] интерполяционным многочленном второй степени p²(x), т.е. приближение графика функции на отрезке параболой. В методе Симпсона для вычисления определенного интеграла весь интервал интегрирования [a,b] разбивается на подинтервалы равной длины h=(b-a)/2N. Число отрезков разбиения 2N должно быть четным числом.





- сумма первого и последнего значения подынтегральной функции;

- сумма членов с чётными индексами умножается на 2;

-сумма членов с нечётными индексами умножается на 4.

4. Погрешности расчетов

Абсолютная погрешность:



где : - точное значение интеграла;

- значение интеграла полученное используемым методом.

Относительная погрешность:


Задание к лабораторной работе №3
Таблица 3.1– Исходные данные для выполнения самостоятельного задания

№ варианта	Функции	Интервал интегрирования
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Вариант выполнения работы соответствует порядковому номеру в журнале проведения занятий преподавателя. Данные выбираются из табл.3.1.

Для заданной функции y = f(x) выполнить следующее:

1. Построить зависимость и определить точное значение интеграла на указанном интервале используя MathCad.

2. Разбить участок интегрирования на 10 равных частей. Рассчитать значения функции в узлах и занести их в таблицу.

i
0
1
N

3. Рассчитать интегралы от приведенной функции в заданном диапазоне методами: прямоугольников, трапеции и параболы (Симпсона).

4. Определить абсолютные и относительные погрешности интегрирования. Сравнить результаты расчетов.

5. Используя программу расчета интегралов в среде MathCad, повторить пункты 3-4 для следующего числа участков интегрирования 2^k , где k =1,2,3,4.
Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1. Титульный лист, оформленный согласно приложению 1;

2. Условие задания и порядок выполнения расчетов.

3. Протокол работы в виде документа Mathcad с текстовыми блоками заголовков заданий и формульных блоков их выполнения по каждому пункту заданию согласно своему варианту;

4. Выводы о проделанной работе.

Контрольные вопросы
1. Объяснить суть метода прямоугольников. От чего зависит точность расчета?

2. Объяснить суть метода трапеций. От чего зависит точность расчета?

3. Объяснить суть парабол (Симпсона). От чего зависит точность расчета?

Лабораторная работа №4

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Целью работы является исследование основных численных алгоритмов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Содержание работы

1. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера;

2. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений усовершенствованным методом Эйлера.

3. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений модифицированным методом (Эйлера-Коши).

4. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений модифицированным методом Рунге-Кутты.
Перечень необходимых материалов, реактивов, приборов, оборудования

Лабораторная работа проводится в компьютерном классе с сетевым оборудованием со следующим программным обеспечением: ОС MS Windows XP и выше, офисный пакет OpenOffice, система инженерных и математических расчетов MathCad.
Методические указания

1. Метод Эйлера

Дифференциальным называется уравнение, содержащее один или несколько производных. В зависимости от количества не зависимых переменных, дифференциальные уравнения делятся на две категории.

1. 
   Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
   
2. 
   Дифференциальные уравнения в частных производных.
   

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции . Их можно записать виде

(4.1)

независимая переменная

Наивысший порядок , входящий в уравнение (4.1) называется порядком дифференциального уравнения.

Простейшим (линейным) ОДУ является уравнение (1) разрешенное относительно производной

(4.2)

Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая функция, которая после ее подстановки в уравнение обращает его в тождество.

Основная задача, связанная с линейной ОДУ известно как задача Каши: найти решение уравнения (2) в виде функции удовлетворяющий начальному условию (4.3)

Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через точку ) при выполнение равенства (2).

Численный с точки зрения задачи Каши означает: требуется построить таблицу значений функции удовлетворяющий уравнение (4.2) и начальное условие (4.3) на отрезке с некоторым шагом . Обычно считается, что то есть начальное условие задано в левом конце отрезка.

Простейшим из численных методов решения дифференциального уравнения является метод Эйлера. В его основе лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной форме или таблицы.

Пусть дано уравнение с начальным условием то есть поставлена задача Каши. Решим вначале следующую задачу. Найти простейшим способом приближенное значение решения в некоторой точке где -достаточно малый шаг. Уравнение (4.2) совместно с начальным условием (4.3) задают направление касательной искомой интегральной кривой в точке с координатами

Уравнение касательной имеет вид



Двигаясь вдоль этой касательной, получим приближенное значение решения в точке :



или

(4.4)

Располагая приближенным решением в точке можно повторить описанную ранее процедуру: построить прямую проходящую через эту точку с угловым коэффициентом , и по ней найти приближенное значение решения в точке .

Заметим, что эта прямая не является касательной к реальной интегральной кривой, поскольку точка нам не доступна, однако если достаточно мало то получаемые приближенные будут близки к точным значениям решения.

Продолжая эту идею, построим систему равно отстоящих точек

.

Получение таблицы значений искомой функции по методу Эйлера заключается в циклическом применение формулы

(4.5)


Рисунок. 4.1. Геометрическая иллюстрация метода Эйлера
Решение ОДУ в некоторой точке x_i называется устойчивым, если найденное в этой точке значение функции y_i мало изменяется при уменьшении шага интегрирования. Для проверки устойчивости, таким образом, надо провести два расчета значения (y_i) – с шагом интегрирования 2h и при уменьшенной (например, двое) величине шага. В качестве критерия устойчивости можно использовать малость относительного изменения полученного решения при уменьшении шага интегрирования



где - решение, рассчитанное с шагом 2h , – решение, рассчитанное с

шагом h .